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大学 高等数学 何春江 课件 ppt

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第二节 不定积分的积分方法一、 第一类换元积分法二、 第二类换元积分法三、 分部积分法四、 简单有理函数的积分五、 积分表的使用例1综合上述分析，此题的正确解法如下：解定理1 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分法”.用第一换元积分法求不定积分的步骤是 还应注意到，在换元积分还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 = u,还需要在被积表达式中再凑出 即 ,也就是 ,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为 在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.例2 求例3 求 例4 求例5 求例6 求 用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各式中，a，b均为常数，且 ) : 例7 求例8 求例9 求类似地，有例10 求例11 求例12 求解 二、第二类换元积分法定理2设是单调可导的函数，且如果则有 第二类换元法求不定积分的步骤为例13 求解例12例13的解题方法称为根代换法,一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形：例14 求例15 求例16 求例14例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形：补充的积分公式：公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定即一般情况下，u与dv按以下规律选择例1 求例2 求例3 求例4 求例6 求例7 求例8 求 在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.对于某些特殊类型的被积函数的积分，如有理函数、三角函数有理式等，可通过恒等变形，应用上述两种方法进行求解 例1 求解: 因为 所以,可设 乘等式两边，得 得于是例2 求 解两端去分母得 令 于是例3 求 解去分母,得 令令于是例4 求 解作变换则而，于是 则 把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果.现在a=3，b=2, 于是例1 求例2 求解 被积函数为无理函