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大学 高等数学 何春江 课件 ppt

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第一节 二重积分的概念及性质一、引例二、二重积分的定义三、二重积分的性质解 分三步解决这个问题.引例1 质量问题.已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量) 随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密度.得引例2 曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.其中任意两小块 和 除边界外无公共点.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.取极限 若记 ，则定义为所讨论的曲顶柱体的体积.定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点， 既表示第i小块，也表示第i小块的面积.存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为二重积分 的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积). 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则性质6(估值定理) 若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D的面积，则(3)证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有 (5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 使 取f(x