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大学
高等数学
何春江
课件
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大学高等数学-何春江-课件PPT,大学,高等数学,何春江,课件,ppt
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第三节 平面与直线,一、平面的方程,二、直线的方程,三、平面、直线的位置关系,1平面的点法式方程,法向量,因为,所以有,该方程称为平面 的点法式方程,解 由平面方程的点法式得所求平面方程为,例1 求过点 且垂直于向量 的平面方程,即,解 因为 在该平面上,已知平面的法向量,故,所求平面的法向量 与向量 和 都垂直,即,由公式得该平面的方程为,例3 求过点 和 三点的平面方程,故,解 所求平面的法向量 与向量 和 都垂直，而,由公式 得该平面方程为,即,从平面的点法式方程得,令,该方程称为平面的一般式方程.,2平面的一般式方程, 得,它表示过点 且以 为法向量的平面,可见，任一三元一次方程（ 不全为零）都表示一个平面.系数 为平面法向量的坐标,平面通过原点(图9.16),(2)当 时，,图9.17,方程 的特殊情况:,(1)当 时，,该平面平行于 轴（图9.17）,图9.18,(3)当 时,表示的平面通过 轴(图9.18),分别表示通过 轴和 轴的平面.,(4)当 时，,图9.19,当 时,该平面平行于 坐标面(图9.19),它表示 坐标面,同理，方程 和 分别表示平行 面和 面的平面;方程 和 分别表示 面和 面.,方程为,代入原方程并化简,得所求平面方程为,例4 求通过 轴和点 的平面方程.,解 因平面通过 轴,由以上讨论,可设其方程为,解 设所求平面方程为,例5 一平面经过 三点，求此平面的方程.,又因 三点都在平面上,所以有,后两个方程分别减去第一个方程,得,所以,代入第一个方程得,即,因为 不能同时为零,所以 ,于是有,即得所求平面方程为,3平面的截距式方程,解此方程组得,设一平面过三点 (图9.20),求此平面方程,设平面方程为 ，,因为 三点在该平面上,所以有,即得所求平面方程为,此方程称为平面的截距式方程,其中 分别称为平面在 轴、 轴、 轴上的截距.,解,方程两边同除以5,得平面的截距式方程为,其中,例6 将平面 化为截距式方程,1直线的点向式方程与参数方程,方向向量:,所以由两向量平行的充要条件可知,此方程组称为直线的点向式方程（或称标准方程）,设点 为直线L上任意一点则点 在直线 上的充要条件是 ,因为,注：当 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零,记其比值为t,则有,此式称为直线L的参数方程，t为参数,方向向量,故所求直线的方程为,上式也称为直线的两点式方程,解,解 因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量s垂直于两平面的法向量 及,例8 求过点 且平行于两平面 及 的直线方程.,所以取,因此,所求直线方程为,即,2直线的一般方程,设平面 的方程分别为：,则两个平面 的交线L的方程为,此方程称直线的一般方程,解 先求直线上的一点,不妨令 ,代入原方程组得,再求该直线的一个方向向量,所以可取,所以直线的点向式方程为,令上式为 ,可得已知直线的参数方程为,1平面与平面的位置关系,两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).,法向量,因此 与 的夹角的余弦为：,特别地,两平面的法向量分别为,所以两平面的夹角的余弦为,所以两平面夹角,解,2直线与直线的位置关系,两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).,方向向量,因此 与 的夹角的余弦为,的方向向量分别为,解,则两直线 与 的夹角的余弦为,所以两直线的夹角,3直线与平面的位置关系,直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角,设直线 与平面 的垂
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