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积分
- 关 键 词：
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大学
高等数学
何春江
课件
ppt
- 资源描述：
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大学高等数学-何春江-课件PPT,大学,高等数学,何春江,课件,ppt
- 内容简介：
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第一节 微分中值定理,一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理,定理1 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔中值定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.,一、罗尔中值定理,罗尔中值定理几何意义：,若曲线弧在a,b上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.,定理2 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续；,(2) 在开区间(a,b)内可导；,则至少存在一点,分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.,二、拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理的几何意义：,如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.,弦线的方程为,作辅助函数,即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.,推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.,事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得,由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：,位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.,推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有,其中C为某常数.,由推论1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.,f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得,例 试证,对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.,证 设f(x)=arctan x ,不妨设ab .,由于arctan x在a,b上连续，在(a,b)内可导.,可知必定存在一点 ,使得 由于,因此arctan x在a,b上满足拉格朗日中值定理条件.,由于 ，因此,从而有,例 当x0时,试证不等式,分析,取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.,则f(t)=ln(1+t) 在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.,说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，
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