资源目录
压缩包内文档预览：(预览前20页/共39页)
编号：21836174
类型：共享资源
大小：34.29MB
格式：ZIP
上传时间：2019-09-06
上传人：QQ24****1780
认证信息
个人认证
王**（实名认证）
浙江
IP属地：浙江
25
积分
- 关 键 词：
-
大学
高等数学
何春江
课件
ppt
- 资源描述：
-
大学高等数学-何春江-课件PPT,大学,高等数学,何春江,课件,ppt
- 内容简介：
-
一、定积分的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 、在直角坐标系中求平面图形的面积 、在极坐标系下求平面图形的面积 三、用定积分求体积 、旋转体的体积 四、平面曲线的弧长,第一节 定积分的几何应用,微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法. 定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积). 采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过 分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值. 其中第二步是关键. 下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤,确定各部分量的近似值(小矩形面积);,分割区间a,b,将所求量(曲边梯形面积 ) 分为部分量(小曲边梯形面积 ）之和;,求曲边梯形面积的四个步骤:,求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);,对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.,于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累加”, 即从 到 的定积分. 这个方法通常称为 微元分析法,简称微元法.,其中形式 与积分式中的被积式 具有相同的形式.如果把 用 替代, 用 替代, 这样上述四个步骤简化为两步：,第二步找到面积微元 求定积分.,第一步选取积分变量 并确定其范围 ；,概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题, 一般可通过微元法得到解决 操作步骤： 建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间； 找到相应的微元； 以此微元作积分表达式,在积分区间上求定积分. 微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的应用,由微元法分析： 其中面积微元为 ， 它表示高为 、底为 的一个矩形面积.,、在直角坐标系中求平面图形的面积 由定积分几何意义可知,当 时,由曲线 ，直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积 为定积分 即,由定积分几何意义可知,当 时,由曲线 ，直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积A为 .,当 在区间 上的值有正有负时，则曲线 ，直线 与 轴围成的面积是在 轴上方和下方曲边梯形面积的差. 同样可由微元法分析,其中面积微元为., 一般地，根据微元法由曲线 及直线 所围的图形（如图所示）的面积为,注意：曲线 的上下位置,由微元法分析： (1)在区间 上任取小区间 ,在此小区间上的图形面积近似于高为 ,底为 的小矩形面积,从而得面积微元为,(2)以 为被积表达式,在区间 作定积分就是所求图形的面积.,类似地,由曲线 及直线 所围成的平面图形(如图所示)的面积为,其中面积微元,注意：曲线 的左右位置.,利用微元法求面积： 例1 计算由两条抛物线 所围成图形的面积,解:作出图形，确定积分变量 ， 解方程组 得两条抛物线的交点为 (0,0)和(1,1)， 则积分区间为0,1 （如右图所示）, 在积分区间0,1上任取一小区间 ， 与之相应的窄条的面积近似地等于高为 、 底为 的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）, 从而得面积微元,求定积分得所求图形面积为,解:(方法一) (1) 作图，选定 为积分变量， 解方程组 得两曲线的交点为(1,1)， 可知积分区间为0,1. （如右图所示）,例:求曲线 与 轴围成平面图形的面积,(2)在区间0,1上任取小区间 ，对应的 窄条面积近似于高为 底为 的矩形面积，从而面积微元为,（3）所求图形的面积为,在0,1上的微元为 在1,2上的微元为,解:(方法二)若选取 作为积分变量，容易得出积分区间为0,2，但要注意，面积微元在0,1和1,2两部分区间上的表达式不同（如下图所示）,故所求面积为,这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可使问题简化,另外，还应注意利用图形的特点（如对称性），以简化分析、运算,解 由右图所示 选取 为积分变量， 记第一象限内阴影 部分的面积为 ， 利用函数图形的对称性，,例3 求 与半圆 所围图形的面积,可得图形的面积为:,步骤： 作草图，确定积分变量和积分限； 求出面积微元； 计算定积分 注意： 积分变量选取要适当； 合理利用图形的特点（如对称性）.,即曲边扇形的面积微元为 曲边扇形的面积为,、在极坐标系下求平面图形的面积 计算由曲线 及射线 围成的曲边扇形的面积（如下图所示）,利用微元法，取极角 为积分变量，它的变化区间为 .在任意小区间 上相应的小曲边扇形的面积可用半径为 中心角为 的圆扇形的面积近似代替，,解: 取 为积分变量, 面积微元为 于是,例 计算阿基米德螺线 上对应 于 从变到 的一段 曲线与极轴所围成图形的 面积.（右图所示）,例5 计算双纽线 所围成的平面图形的面积（下图所示）,解 因 ,故 的变化范围是 , 图形关于极点和极轴均对称 面积微元为,故所求面积为,设一立体介于过点 且垂直于 轴的两平面之间，如果立体过 且垂直于 轴的截面面积 为 的已知 连续函数，则称此立体为 平行截面面积已知的立体， 如右图所示,、平行截面面积已知的立体体积,下面利用微元法计算它的体积,三、用定积分求体积,于是所求立体的体积为,即体积微元为,取 为积分变量,它的变化区间为 ,立体中相应于 上任一小区间 的薄片的体积近似等于底面积为 ,高为 的扁柱体的体积(右图所示)，,解：(法一) 取平面与圆柱体底面的交线为 轴,底 面上过圆中心且垂直于 轴的直线为 轴,建立 坐标系.如右图所示 此时,底圆的方程为 立体中过点 且 垂直于 轴的截面 是一个直角三角形.,例6 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角 (如下图)，计算这个平面截圆柱所得立体的体积.,它的两条直角边的长度分别是 及 即 及 于是截面面积为,故所求立体的体积为,(法二) 取坐标系同上（下图所示），过 轴上点 作垂直于 轴的截面,则截得矩形, 其高为 、底为 ,从而截面面积为,于是所求立体的体积为,从而,所求的体积为,、旋转体的体积 应用定积分计算由曲线 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而形成的 立体体积（下图所示）,取 为积分变量,其变化区间为 ,由于过点 且垂直于 轴的平面截得旋转体的截面是半径为 的圆,其面积为,该旋转体的体积为,类似地,若旋转体是由连续曲线 ,直线 及 轴所围成的图形,绕 轴旋转 一周而成(下图所示),解： 如右图所示,所求体积,例 求由曲线 与直线 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.,例8 求底圆半径为 高为 的圆锥体的体积,解 以圆锥体的轴线为 轴，顶点为原点建立直角坐标系（下图所示） 过原点及点 的直线方程为 此圆锥 可看成由直线 及 轴所围成的 三角形绕 轴旋转而成，,故其体积为,设有一条光滑曲线弧 ,现在计算它的长度（称为弧长） ,所谓光滑曲线是指曲线 在 上连续，在 内各点存在不垂直于 轴的切线， 并且切线随切点的移动 而连续转动； 即 在 上连续， 在 内连续,四、平面曲线的弧长,以 为积分变量，相应于 上任一小区间 的一段弧长 可用曲线在 点 处切线上相应小段直线 的长度来近似代替（如上图
- 温馨提示:
1: 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
2: 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
3.本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
人人文库网所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
川公网安备: 51019002004831号