内容简介：: 14、导数及其应用数的概念【知识网络】 1 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程 2 了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数 3 体会导数的思想及其内涵 4通过函数图象直观地理解导数的几何意义【典型例题】例 1（ 1）曲线 y=两点 M（2， 1）， N（， 0），则直线斜率是（） A 1 B 1 C2D2（ 2）若曲线 4的一条切线 l 与直线 4 8 0 垂直，则 l 的方程为（） A 4 3 0 B 4 5 0 C 4 3 0 D 4 3 0 （ 3）在函数 3 的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是（） A 3 B 2 C 1 D 0 （ 4）已知 f(x)=2x )()(= （ 5）曲线 1 2在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 . 例 2 已知 f(x)=1 1x（ 1）求 f(x)在区间 1， 2， 12， 1上的平均变化率；（ 2）求 f(x)在 x=1 处的瞬时变化率。例 3 如图，已知一个倒置的正四棱锥形容器的底面边长为 10为 10m，现用一根水管以 9ml/s 的速度向容器里注水（ 1）将容器中水的高度 h 表示为时间 t 的函数，并作出其图象（ 2）求第二个 1 s 内水面高度的平均变化率例 4 设函数 23)( 3 别在1x、 2x 处取得极小值、极大值面上点 A、B 的坐标分别为 )(,( 11 )(,( 22 求点 A、 B 的坐标【课内练习】 1 已知函数 f(x)=2x 1 图象上一点 P（ 1， 2），点 Q 也是图象上一点，且 Q 位于点点 Q 无限逼近 P，则直线斜率（） A 不断增大且为负 B不断增大且为正 C不断减小且为正 D不断减小且为负 2 已知函数 y=1 的图象上一点 A（ 1， 2）及其邻近一点 B（ 1 x,2 y） ,则直线斜率是（） A 2 B 2x C 2 x D 2 ( x)2 3 一质点做直线运动，由始点经过的距离为 s=14416则速度为 0 的时刻是（） A 4s 末 B 8 C 0 D C 04s 末， 8 4 满足 f (x)=f(x)的函数是（） A f (x)=1 x B f (x)=x C f (x)=0 D f (x)=1 5 直线 y= 2x 1上两点的横坐标增量 6 一质点的运动方程是 S=21（位移单位： m，时间单位： s),则平均变化率是 7 对正整数 n，设曲线 )1( n 在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为则数列1的前 n 项和的公式是 8 设函数 y=f(x)=1，（ 1）当自变量 x 由 1 变到 1 1 时，求函数值增量 y；（ 2）当自变量 x 由 1 变到 1 1 时，求函数值的平均变化率；（ 3）求该函数图象在点（ 1，的切线方程 9 已知抛物线 y=c(a 0)经过点（ 1， 1），且在点（ 2， 1）处的切线与直线 y=x 3重合，求 a,b, 10 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y （升）关于行驶速度 x （千米 /小时）的函数解析式可以表示为： 313 8 ( 0 1 2 0 ) 8 0 0 0 8 0y x x x 已知甲、乙两地相距 100 千米。（ I）当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？数的概念 A 组 1 在点（ 1， 1）处切线斜率为 1 的函数可以是（） A y= B y= 2 C y= x D y=21 设曲线 y=点 P 处的切线斜率为 3，则 P 点的坐标是（） A（ 3， 9） B（ 3， 9） C（ 39,24） D（ 39,24） 3 对于 f（ x），若满足（ x 1）） 0，则必有（） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） B. f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） C. f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） D. f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） 4 某运动员参加 100m 赛跑，最后 10m 离开起点的距离 s=9t 90（ t 的单位是 s） ,他冲过终点线瞬间的速度为 5 如果曲线032 23 在与处的切线互相垂直，则 6 利用导数的定义求函数 y= 1x 的导数 7 求函数 y= 2 2导数 8 已知函数 2( ) 8 , ( ) 6 l n .f x x x g x x m 是否存在实数 ,m 使得 ()y f x 的图象与()y g x 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。 B 组 1 已知函数 f(x)=象上两点 P， Q，且 Q 位于点 P 的左边，若点 Q 无限逼近 P，则直线斜率（） A一定为正 B一定为负 C先为正后为负 D先为负后为正 2 下列说法错误的是（） A路程是时间 t 的二次函数时，质点运动的瞬时速度是定值。 B速度是时间 t 的二次函数时，质点运动的瞬时加速度是定值。 C质点运动的平均速度是定值时，路程是时间 t 的一次函数。 D路程是时间 t 的一次函数时，质点运动的平均速度是定值。 3 已知函数 f(x)=c，且 f (1)=2,则（） A 1 B 2 C 1 D 0 4 若 f (x)=2x 1，则 f(x)的表达式可以是 5 曲线 y=点（ 1,32）处的切线方程是 6 某一运动物体，在 x（单位： s）时离开出发点的距离（单位： m）是 f(x)=232x，（ 1） f(1)表示什么？（ 2）求在第 1s 内的平均速度；（ 3）求在 1s 末的瞬时速度；（ 4）经过多少时间该物体的运动速度达到 14m/s? 7 求曲线 y= 8 设函数 f(x) (x 1)ln(x 1)，若对所有的 x 0，都有 f(x) 立，求实数 a 的取值范围数的概念【典型例题】例 1 （ 1） D 提示：用斜率公式（ 2）与直线 4 8 0 垂直的直线 l 为 40x y m ，即 4在某一点的导数为 4，而 34 ，所以 4在 (1， 1)处导数为 4，此点的切线为 4 3 0 ，故选 A （ 3） D提示：考虑切线斜率即导数值的大小（ 4） 33x x（ x） 2 4x 2 x 提示：直接计算（ 5） 34 先求出两条曲线在交点处的切线例 2、（ 1） 12， 2；（ 2） 1提示：联想定义例 3、（ 1） 13h t， h=33t ；（ 2） h(2) h(1)=3(32 1),在第二 1s 内水面高度的平均变化率为 3(32 1) 例 4、令 033)23()( 23 得 11 当 1x 时 , 0)( 当 11 x 时 , 0)( ,当 1x 时 , 0)( 所以 ,函数在 1x 处取得极小值 ,在 1x 取得极大值 ,故 1,1 21 4)1(,0)1( 所以 , 点 A、 B 的坐标为 )4,1(),0,1( . 【课内练习】 1 C 提示：观察图形 2 C 提示：用 x 表示邻近点的坐标，再用斜率计算公式 3 D 提示：联想速度与路程的关系 4 C 提示：求导后再作比较，注意等式要恒成立 5 2 提示：联想斜率与比值大小的关系 6 4t 2 t 7 / 1 12 2 2 , : 2 2 2 ( 2 )n n n y n x 切线方程为，令 x=0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为 0 12，所以 21 ，则数列1的前 n 项和 12 1 2 2212 8 (1)(2)(3)y=2x 2 9 a=3,b= 11,c=9提示：用待定系数法 10 （ I）当 40x 时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 时，要耗没 313( 4 0 4 0 8 ) 2 . 5 1 7 . 51 2 8 0 0 0 8 0 （升）。答：当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油。（速度为 x 千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 100耗油量为 () 依题意得 321 3 1 0 0 1 8 0 0 1 5( ) ( 8 ) . ( 0 1 2 0 ) ,1 2 8 0 0 0 8 0 1 2 8 0 4h x x x x 33228 0 0 8 0( ) ( 0 1 2 0 ) 0 6 4 0x 令 ( ) 0,得当 (0,80)x 时， ( ) 0, ( )h x h x 是减函数；当 (80,120)x 时， ( ) 0, ( )h x h x 是增函数。当 80x 时， ()80) 因为 ()0,120 上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 80 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为数的概念 A 组 1 D 提示：（ 1， 1）既满足原函数的表达式，又满足导函数的表达式 2 C 提示：注意 P 点在曲线上 3 依题意，当 x1 时， f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 1，）上是增函数；当 x1 时， f（ x）0， f（ x）在（， 1）上是减函数，故 f（ x）当 x 1 时取得最小值，即有 f（ 0） f（ 1）， f（ 2） f（ 1），故选 C 4 11 m/s 56363 提示：考虑切线斜率（即导数）互为负倒数 6 y = 121x 7 y =提示：先化简函数 8 函数 ()y f x 的图象与 ()y g x 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ( ) ( ) ( )x g x f x 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 22( ) 8 6 l n ,6 2 8 6 2 ( 1 ) ( 3 ) ( ) 2 8 ( 0 ) ,x x x x mx x x xx x xx x x 当 (0,1)x 时， ( ) 0, ( ) 是增函数；当 (0,3)x 时， ( ) 0, ( ) 是减函数；当 (3, )x 时， ( ) 0, ( ) 是增函数；当 1,x 或 3x 时， ( ) ( ) (1 ) 7 , ( ) ( 3 ) 6 l n 3 1 5 .x m x m 最大值最小值当 x 充分接近 0 时， ( ) 0,x 当 x 充分大时， ( ) 要使 ()x 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ( ) 7 0 ,( ) 6 l n 3 1 5 0 , 最大值最小值即 7 1 5 6 所以存在实数 m ，使得函数 ()y f x 与 ()y g x 的图象有且只有三个不同的交点， 7,15 6 ). B 组 1 A 提示：画图观察 2 C 提示：联想相关定义 3 A 提示：直接求导 4 f(x)=x 1等提示：逆向思考，该函数的常数项可以变化 5 3 3 6 3 3 0 提示：求导求斜率后用点斜式方程 6 (1)1s 时物体离开出发点的距离（ 2） 113m/s；（ 3） 6 m/s；（ 4） 2s 7 切点为（ 1， e），切线方程是 y=示：设切点为（ x0,求出函数在切点的导数即切线的斜率是 0切线方程是 y 0x 该切线过原点，则 0xe 切点在曲线上， 0故 8 解法一：令 g(x) (x 1)ln(x 1) 对函数 g(x)求导数： g(x) ln(x 1) 1 a 令 g(x) 0，解得 x 1 1， (i)当 a 1 时，对所有 x 0， g(x) 0，所以 g(x)在 0， )上是增函数，又 g(0) 0，所以对 x 0，都有 g(x) g(0)，即当 a 1 时，对于所有 x 0，都有 f(x) ( a 1 时，对于 0 x 1 1， g(x) 0，所以 g(x)在 (0， 1 1)是减函数，又 g(0) 0，所以对 0 x 1 1，都有 g(x) g(0)，即当 a 1 时，不

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