2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］
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接证明与 间 接证明 【 知识网络 】 1、 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点 ； 2、 了解反证法是间接证明的一种基本方法 ,了解反证法的思考过程和特点 ； 3、 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题 。 【 典型例题 】 例 1：（ 1） 已知 0, ，则在 222 ； 2 2)2( ；2)2(222 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案： C。解析： 恒成立 。 （ 2） 利用数学归纳法证明 “ *),12(312)()2)(1( n ”时，从“ ”变到 “ 1时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12 k B 112 )22)(12( k 132 C。 （ 3） 命题“关于 x 的方程 )0(0 解是唯一的”的结论的否定是 （ ） A、无解 B、两解 C、至少两解 D、无解或至少两解 答案： D。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。 （ 4） 定义运算 ( )( )a a b a b ，例如， 1 2 1，则函数 2( ) (1 )f x x x 的最大值为_ 答案： 3- 52。 （ 5） 若 ， *，且ca 11恒成立，则 n 的最大值是 。 答案： 4。 解析： 因 ， *，所以ca 11同解于 又 42 cb n 。 例 2： 设 0,10 2 求证：81lo g 2)( 答案： 证明：因为 22 2222 ， 又 10 a ，所以 22 2( ) ( 2 ) 2l o g l o g l o g 2a aa a a =221 1 1lo g ( )2 2 8a x 81 析法 证明。 例 3： 若 均为实数，且62,32,22 222 求证： 中至少有一个大于 0。 答案 ：（用反证法） 假设 都不大于 0，即 0,0,0 则有 0 而3)632()1()1()1()62()32()22( 222222 3)1()1()1( 222 222 )1(,)1(,)1( 大于或等于 0， 03 ， 0 这与假设 0 盾，故 中至少有一个大于 0。 例 4： 是否存在常数 , 是等式 2 2 2 2 2 4 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )n n n n n a n b n c 对一切 )*成立？证明你的结论 。 答案： 存在 0,41,41 学归纳法证明略 . 【 课内练习 】 1 已知 , 均大于 1，且 4 下列各式中，一定正确的是 （ ） A B C D 答案： B。解析： 41 ba 利用基本不等式证得。 2 记凸 k 边形 的内角和为 )(则 )()1( 等于 （ ） A 2B C 23D 2 答案： B。 3 设 M 是 ),()(,30,32, 定义且内一点 ，其中 m、 n、 p 分别是 1),21()(, 则若的面积的最小值是 （ ） A 8 B 9 C 16 D 18 答案： ： D。 解析： 由已知得 111,22x y x y ， 1 4 1 4 42 2 5 1 8y y x y x y 。 4 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元 /次，一年的总存 储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 吨 答案： 20。解析： 某公司一年购买某种货物 400 吨 ,每次都购买 x 吨 ,则需要购买 400 运费为 4 万元 /次 ,一年的总存储费用为 4x 万元 ,一年的总运费与总存储费用之和为40044 万元 , 40044 160,当 1600 4 即 x 20 吨时 ,一年的总运费与总存储费用之和最小 . 5 已知集合 M 是满足下列条件的函数 f（ x）的全体： 当 ),0 x 时，函数值为非负实数； 对于任意的 )()()(),0, 都有 在三个函数 )1)(,12)(,)(321 于集合 M 的是 。 答案： )(),( 21 解析： 根据 条件 证得 。 6 用数学归纳法证明“ )12(212)()2)(1( n ”（ 时，从 “ 1 ”时，左边应增添的式子是 _ _。 答案： )12(2 k 。 7 给出下列四个命题： 若 ;11,0 则若1,0 则若 ;22,0 则2,12,0,0 则且若的最小值为 9. 其中 正确 命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案： 。 8 用反证法证明命题“ , 可以被 5 整除，那么 中至少有一个能被 5 整除。”那么假设的内容是 答案： a,b 中没有一个能被 5 整除。解析：“至少有 n 个”的否定是“最多有 ”。 9 三个 内角 A、 B、 C 成等差数列， 求证： 311。 答案： 证明：要证 311，即需证3 cb 即证1 cb c。 又需证 )()()( ，需证 222 个内角 A、 B、 C 成等差数列。 B=60。 由余弦定理，有 60 ，即 222 。 222 成立，命题得证。 10 已知函数 )( * ，满足条件： 2)2( f ； )()()( ； *)( ；当 时，有 )()( . (1) 求 )1(f ， )3(f 的值； (2) 由 )1(f ， )2(f ， )3(f 的值，猜想 )(解析式； (3) 证明你猜想的 )(解析式的正确性 . 答案 ： (1)解： )1()2()2( ，又 2)2( f ， 1)1( f . 又 4)2()2()22()4( 4)4()3()2(2 且 *)3( 3)3( f . (2)解：由 1)1( f ， 2)2( f ， 3)3( f 猜想 )()( * (3)证明： 用数学归纳法证明： 当 1n 时， 1)1( f ，猜想正确； 假设 ),1( * 时，猜想正确，即 )( 1若 k 为正奇数，则 1k 为正偶数，211( 1 ) ( 2 )2kf k f 11( ) ( 2 ) 2 122f k 2若 k 为正偶数，则 22k为正整数， 22( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 )k f f f 2 222k k ，又 ( ) ( 1 ) ( 2 ) 2k f k f k f k k ，且 *( 1)f k N 所以 1)1( 即当 1，猜想也正确 由，可知， )()( * 成立 . 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆【 作业本 】 A 组 1 若 110,则下列结论 不正确 的是 ( ) 22 2ab b 2 a b a b 答案： D。解析： 取 3,2 入可得 。 2 某个命题与正整数 n 有关，如果当 )( 命题成立，那么可推得当1命题也成立 . 现已知当 7n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A当 n=6 时该命题不成立 B当 n=6 时该命题成立 C当 n=8 时该命题不成立 D当 n=8 时该命题成立 答案： A。解析： 若 n=6 成立，则根据假设知 n=7 成立，与已知矛盾 。 3 已知不等式 1( )( ) 9 , 对任意正实数 x， 正实数 ） A 2 B 4 C 6 D 8 答案： B。解析： 左边 =221 1 2 ( 1 ) , ( 1 ) 9 , 4y a a a a 。 4 用一根长为 12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框 架 (不计损耗 )，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 . 答案： 3m 与 析： 设长为 宽为21 2 2 1 93 , ( 3 ) ( 3 )4 2 2 2 2x x xS x x ，当 x=3 时，面积 S 有最大值 。 5 若函数 32)1( 2 偶函数，则 )43(f， )1( 2 a R）的大小关系是 )43(f)1( 2 答案： 。解析： 由已知得 m=0，从而 2 3 , ( )y x f x 在 0, 上递减，又33( ) ( )44 ， 2 2 21 3 3 31 ( ) , ( ) ( 1 )2 4 4 4a a a f f a a 。 6 已知二次函数 2 , （ 1） 若 且 01 f ,证明 : 图像与 x 轴有两个相异交点 ; （ 2） 证明 : 若对 且 212122 答案：证明：要证212122 只需证212122 a0，两边均大于零，因此只需证2222 )21()21( (222211441 222222 ， 只需证)1(22122 ，只需证)21(211 2222 即证2122 显然成立。原不等式成立。 8 用数学归纳法证明： （）)12(2)1()12)(12(532311 222 ； （ 7 分） （） 1214131211 ； （ 7 分） 答案 ： （ 1）可以用数学归纳 法 （ 2） 当 1，左边 12 12 1()12 1211( 1（12121 ） 1212 边，命题正确 B 组 1 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 11 2 ( )2 3 4 1 2 4 2n n n n 时，若已假设 2( 偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A 1等式成立 B 2等式成立 C 22 等式成立 D )2(2 等式成立 答案： B。解析： 当 k 为偶数时，其后继偶数应是 k+2。 2 、 为锐角 a= )， b= ，则 a、 b 之间关系为 （ ） A a b B b a C a=b D不确定 答案： B。解析： s i n ( ) s i n c o s s i n c o s s i n s i n （因，为锐角故c o s , c o s ( 0 , 1) ） 。 3 用反证法证明命题 :“三角形的内角中至少有一个不大于 60 ”时 ,反设正确的是（ ） A、 假设三内角都不大于 60 度； B、 假设三内角都大于 60 度； C、 假设三内角至多有一个大于 60 度； D、 假设三内角至多有两个大于 60 度。 答案： B。解析： “至少有 n 个”的否定是“最多有 ”。 。 4 设 11,1,0,0,0 则若答案： 9。 解析 ：93111 5 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 答案：丙。 解析 ：若甲获奖，则四人说的 话全错，同理可推知乙、丙、丁获奖情况。 6 设 3)(,0 函数 在 ),1 上是单调函数 . （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）设0x 1， )( 1，且00 )( ， 求证：00 )( . 答案：（ 1） ,3)( 2 若 )( ,1 上是单调递减函数，则须2k 项 ,3,0 2 即 这样的实数 a 不存在 ( ,1 上不可能是单调递减函数 . 若 )( ,1 上是单调递增函数，则 a 23x ， 由于 33,1 2 a 3. （ 2）方法 1：可知 )( ,1 上只能为单调增函数 . 若 1 )(00 ，则 ,)()(000 矛盾若 1 )(),()(,)(000000 即则矛盾， 故只有00 )( 成立 . 方法 2：设00 )(,)( 则， ,03030 两式相减 得 330 0 0( ) ( )x u a x u u x 020200 ,0)1)( 1,u 1， 30,32020 ， 012020 )(,0 0000 证毕亦即即 7 数列 )(32,1 211 （ ）是否存在常数 ， n 若存在是等比数列使得数列 2求 、 的值，若不存在，说明理由。 （）设 321121证明：35)12)(1( 62 答案： ( ) 解法 1: 设 )(2)1()1(32 22121 可化为 即 2(2 21 故 1230 解得 11 )(2)1()1(32 22121 可化为且 01121 a 故存在 n 21,1 使得数列是等比数列 解法 2: 2 21 )1()1(22222)(21)23(21)1(212)12(32使 n 2 是等比数列的充要条件是00)(21)23(21)1(211 11 且 满足 011 a 故存在 n 2,1,1 使得数列是等比数列 ( ) 证明 1212 2)11( nn 得 212 故 21121 211211411122 n2112112712512512311,2321时 35211321 )2()12)(1( 6 nS : 当 ,454112 21 453 12)12)(1( 6 nn n 时成立 111)1( 11,3 2 11()4131()3121()211(321 1111 n 且12 61612 )12)(1( 61 nn nn nS ：）45411,2 212 时不等式成立故 25453 12)12)(1( 6 n）假设 时)2( 成立)12)(1( 6 kk kS k)12()1(186)1(1)12)(1( 622211 )32)(2( )1(6)12()1( 186 22 kk 2)(2)(12()1(254016)32)(2)(12()1()12()1(6)32)(2)(186(2232322)(2( )1(61 kk 根据），可知 nS n ,2)12)(1( 6 对于都成立 8 设 ()1,0 上的函数，若存在 *x )1,0( ，使得 (),0 *x 上单调递增，在1, *x 上单调递减，则称 ()1,0 上的单峰函数， *x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 . 对任意的 1,0 上的单峰函数 ()面研究缩短其含峰区间长度的方法 . （ 1）证明：对任意的 21,1,0( ， 21 ，若 )()( 21 ，则 ),0( 2x 为含峰区间；若)()( 21 ，则 )1,( 1x 为含峰区间； （ 2）对给定的 ) 证明：存在 21,1,0( ，满足 12 ，使得由（ 1）所确定的含峰区间的长度不大于 r （ 3）选取 21,1,0( ， 21 ，由（ 1）可确定含峰区间 ),0( 2x 或 )1,( 1x ，在所得的含峰区间内选取3x，由3 x 或3x 类似地可确定一个新的含峰区间 0( 2x 的情况下，试确定
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