内容简介：: 坐标系与坐标变换【知识网络】 1. 几种常用的坐标系：直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系及其相互转化 . 2. 平面坐标系中几种常见变换：平移变换、伸缩变换 . 【典型例题】例 1.（ 1）点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ C） A (2, )3B (2, )3C 2(2, )3D ( 2 , 2 ) , ( )3k k Z 提示： 2( 2 , 2 ) , ( )3k k Z 都是点 M 的极坐标 . （ 2）在极坐标系中有下列各点： ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A B C D ， ( , )E , ( , )(F 其中 0) , ,过原点且垂直于极轴的直线对称； , , ,其中正确的结论是（ A） A B C D 提示：在极坐标系中作出上述各点即可 . （ 3）伸缩变换的坐标表达式为4，曲线 C 在此变换下变为椭圆 22 116，则曲线 C 的方程为（ A） A 221 B 224 C 2216 D 22 14提示：直接将4代入的方程 . （ 4）已知空间点 A 的球坐标为 5(2, , )44，则 A 点的空间直角坐标为 _. ( 1, 1, 2 ) 提示：设一点的球坐标为 ( , , )r ，直角坐标为 ( , , )x y z ，则 s i n c o s , s i n s i n , c o sx r y r z r . （ 5）在极坐标系中，若点 ,3, ), ( 4 , )36，则 |_， .（其中 O 是极点） 5,6 提示：2，为直角三角形 . 例 2，求圆 2216在此伸缩变换下的方程，并指出变换后的方程表示什么曲线 . 解：由 32可得1312 ，代入圆的方程得 221694，即 221144 64，它表示中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 . 例 ( 4 , 1 , 9 ) , ( 1 0 , 1 , 6 ) , ( 2 , 4 , 3 )A B C为顶点的三角形是等腰三角形 . 证明： ( 6 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 6 )A B A C . 不存在实数满足 C , ,点不共线 ,即可以构成三角形 . 又因为 | | | | 7A B A C, 是等腰三角形 . 例 4.在 x 轴上求一点，使它到点 ( 4,1,7)A 与到点 (3,5, 2)B 的距离相等 . 解 :设所求的点为 ( ,0,0) 2 2 2| | ( 4 ) 1 7 8 6 6A C x x x , 2 2 2 2| | ( 3 ) 5 ( 2 ) 6 3 8B C x x x , | | | |C , 228 6 6 6 3 8x x x x , 解之得 2x . 所求的点为 ( 2,0,0) . 【课内练习】 (4, )3和 ( 4, )3的位置关系是（ D） A. 表示同一点 B 关于极点对称 C 关于极轴对称 D 关于过极点且垂直于极轴的直线对称 1,1,3) ，则其在相应的柱坐标系中的坐标为（ B）提示：设该点在相应的柱坐标系中的坐标为 ( , , )z ，则 2 2 2 , t a n ,yx y z . 3. 点 (5, )6M 为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标： ( 5, )6； 7(5, )6； ( 5, )6； 7( 5, )6 关于极点的对称点的坐标的是（ C） A. B C D 提示：在极坐标系中画出各点，或根据极坐标的意义 . 4. ( 4,3)P 按向量 ( 1, 5)a 平移至点 Q ，则点 Q 的坐标为（ B） A. ( 3,8) B ( 5, 2) C (3, 8) D (5,2) 提示：设点 Q 的坐标为 ( , )，则 ( , ) ( 4 , 3 ) ( 1 , 5 ) ( 5 , 2 ) 5. 点 M 的直角坐标为 ( 3, 1) ,在 0 , 0 2 的要求下 ,它的极坐标为 . 11(2, )6 提示：点 M 的直角坐标为 3 , 1 ， 22 2 ， 3t a 6. 在直角坐标系中，点 (2, 3)A 关于直线 10 对称的点是 . ( 2,1) 提示：设点 A 关于直线 10 对称的点为 ( , )Bx y ，则中点为 23( , )22，点 M 在直线 10 上，且直线直线 10 垂直 . 29 1 6 3 6 3 2 1 2 4 0x y x y 的焦点坐标为；将此双曲线按向量 a 平移后，可化为标准方程，则 a . ( 3,1), (7,1) ； ( 2, 1) 提示：将 229 1 6 3 6 3 2 1 2 4 0x y x y 配方，得 229 ( 2 ) 1 6 ( 1 ) 1 4 4 0 ，即 22( 2 ) ( 1 ) 11 6 9. 双曲线的中心为 (2,1) ，对称轴平行于坐标轴，又 5c ，焦点坐标为 ( 3,1), (7,1) . 设 ( , )a h k ，则有 2 0 , 1 0 . 2 3 1 2 0l x y 按向量 ( 2,3)a 平移后的方程 . 解：设直线 l 上任意一点的坐标为 ( , )，平移后的直线上任意一点的坐标为 ( , ) 则有 23，即 23，代入直线 l 的方程，得 2 ( 2 ) 3 ( 3 ) 1 2 0 ，化简得 2 3 1 0 . 直线 l 平移后的方程为 2 3 1 0 . 224沿 x 轴方向均匀压缩为椭圆 . 22 14，写出坐标变换公式 . 解：设坐标变换公式为 X ，由此得11 ，将其代入圆的方程，得 224，即 221442 14比较，得 224 1, 4 4， 1 ,12. 坐标变换公式为 2. ( 2 , ) , ( 4 , ) , ( 0 , 0 )66A B O，设中的面积和 D 点的极坐标 . 解： 522 , 4 ,6 6 3O A O B A O B ， 22 4 s i n 4 33A O . 又为钝角，点 D 在延长线上，且3， 1| | | | 22O D O B，点 D 的极坐标为 7(2, )6. 作业本 A 的坐标为 ( 1, 3) ，则在相应的极坐标系中它的极坐标可以是（ C） A. 5(2, )6B 5(2, )3C 5( 2, )3D 11( 2, )6 的直角坐标为 (1,1, 2) ，则在相应的球坐标系中，点 M 的坐标为（ D） A. (2, , )43B (2, , )44C ( 2, , )43D ( 2, , )44提示：由球坐标到直角坐标的坐标变换公式为：c o s s i ns i n s i nc o ，所以由直角坐标到球坐标的坐标变换公式为：2 2 2 2c o st a nx y . 3. 将直角坐标系按向量 ( , )a m n 平移，新坐标系中的点 B 与原坐标系中的点 (1,2)A 有相同的坐标，且 | | 5，则必有（ D） A. 3, 4 B 1, 2 6 C 225 D 2225 提示：设点 B 在原坐标系中的坐标为 ( , )则有 1, 2x m y n ，点 B 在原坐标系中的坐标为 (1 , 2 )， 2 2 2 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 5 ，即 2225.（注意坐标系不变，点按向量平移与坐标系按向量平移的区别） 4. 点 M 的极坐标为 5(5, )6,则它的直角坐标为 . 5 3 5( , )225. 直线 2 3 1 0 经过变换可以化为 10mx ，则坐标变换公式是 . 提示：设直线 2 3 1 0 上任一点的坐标为 ( , )直线 6 6 1 0 上任一点的坐标为 ( , )，坐标变换公式为 x ，即11 ，将其代入直线方程 2 3 1 0 ，得 23 10 ，将其与 6 6 1 0 比较，得 11,32. 点 5(4, )12M 关于直线3的对称点的坐标 . 解：设点 5(4, )12M 关于直线3的对称点为 ( , )M ，线段交直线3于点 A ，则 51 2 3 1 2M O A M O A ，点 M 的极角 3 12 4 ，又点 , 的极半径相等， 4 ，点 M 的极坐标为 (4, )4. 7.（ 1）在极坐标系中，求点 (6, )4M 绕极点按顺时针方向旋转6后的坐标；（ 2）在直角坐标系中，求点 (6, 2 3)A 绕原点按逆时针方向旋转3后的坐标 . 解：（ 1）点 (6, )4M 绕极点按顺时针方向旋转6后，极半径不变，极角变为4 6 12 ，旋转后点 M 的对应点的坐标为 (6, )128. 将圆 224按向量 ( 1, 2)a 平移后再按坐标变换公式1213 进行伸缩变换，求所得图形的中心坐标、焦点坐标及准线方程 . 解：圆 224按向量 ( 1, 2)a 平移后所得的方程为 22( 1 ) ( 2 ) 4 . 设圆 22( 1 ) ( 2 ) 4 上任意一点的坐标为 ( , )伸缩变换后对应点的坐标为 ( , )，坐标变换公式为1213 ， 23 ，

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