2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］
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2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］,年高,数学,一轮,复习,温习,书稿,新课程,整理,收拾,整顿,86
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间几何体 柱体、 锥 体 、台体和球的概念 【 知识网络 】 1、 棱柱、棱锥、棱台的几何特征，它们的形成特点及平移的概念，简单作图方法 。 2、 圆柱、圆锥、圆台、球及简单几何体的几何特征，它们的形成特点和画法 。 3、 简单几何体的形状，善于将复杂的几何体转化为简单的几何体。解决棱台的有关问题时，注意联系棱锥的性质；在画棱柱、棱锥、棱台时，注意做到实虚分明。 4、 识别一些复杂几何体的组成情况，注意球与球面，多面体与旋转体的区别。了解处理旋转体的有关问题一般作出轴截面，然后在轴截面中去寻找各元素的关系。 【 典型例题 】 例 1：（ 1） 在棱柱中（ ） A只有两个面平行 B所有的棱都平行 C所有的面都是平行四边形 D两底面平行，且各侧棱也互相平行 答案： D。 解析：由棱柱的概念知。 （ 2） 一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为 4 9，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为（ ） A 4 9 B 2 1 C 2 3 D 2 5 答案： B。 解析：截得小棱锥与原棱锥的侧棱之比为 2： 3，故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为 2： 1。 （ 3） 在 C=90 ， 4,3 则以斜边 用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是 （ ） A、512B、524C、 5 D、 10 答案： B。 解析：最大截面圆的直径为 边上高的 2 倍。 （ 4） 填 表 底面形状 侧面形状 对角面形状 平 行 底面的截面与底面关系 三棱柱 四棱柱 五棱柱 答案： 底面形状 侧面形状 对角面形状 平行底面的截面与底面关系 三棱柱 三角形 平行四边形 无 全等三角形 四棱柱 四边形 平行四边形 平行四边形 全等四边形 五棱柱 五边形 平行四边形 平行四边形 全等五边形 （ 5） 在半径为 30m 的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面顶角为 120，若要光源恰好照亮 整个广场，则光源的高度应为 _ 答案： 解析：作出圆锥的轴截面： 光源高度 3 0 / t a n 6 0 1 0 3。 例 2： 在三棱锥 P B=， 0 ，一只蚂蚁从回到 蚂蚁经过的最短路程是多少？ 答案： 解：如图 三棱锥 P 棱 ，蚂蚁经过的最短路程应是 A ，又 0 ， A = 22 。 例 3： 试画出图形并加以说明，正方体的截面可能是什么图形？若正方体的棱长为 1，当截面边数最少时截面的最大面积是多少？ 答案 ：正方体的截面可能是三角形及其内部、四边形及其内部、五边形及其内部、六边形及其内部 . 当截面边数最少时截面的最大面积是23. 例 4： 如图（ 1）是一个半径为 3，圆心角为 120 的扇形，现将它卷成一个圆锥，沿虚线粘好如图（ 2），求圆锥的底面圆半径。 （ 1） （ 2） 答案 ： 由于扇形恰好卷成一个圆锥，扇形的弧长 圆锥的底面圆半径为 r ，则 r2 圆弧 扇形中，由于 20 ，故圆弧 的圆周长的31， 圆弧 23231 r。 r2 2 ，故 r =1 故所求圆锥的底面圆半径为 1。 【 课内练习 】 1 给出下列命题 （ 1）多面体是由若干个平面多边形所围成的图形 （ 2）棱柱、棱锥、棱台是简单多面体（一个几何体表面经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体） （ 3）有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 （ 4）有两个面是相同边数的多边形，其余各面 是梯形的多面体是棱台 其中正确命题的个数是 （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 答案： B 。 解析： 正确 。 2 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） A、圆锥 B、圆柱 C、球体 D、以上都可能 答案： B。解析： 用平行于 轴的 平面去截圆柱，得到的截面是四边形 。 3 将 梯形沿某一方向平移形成的几何体是 （ ） A、四棱柱 B、四棱锥 C、四棱台 D、五棱柱 答案： A。解析： 多边形平移形成的几何体是棱柱，梯形是四边形 。 4 用一张 48轴截面的面积为 （接头忽略不计）。 A B 120O答案： 232解析： 以 4 8底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为232 5 四棱台有 个顶点， 个面， 条边。 答案： 8； 6； 12。 6 旋转体中母线上（除与轴相交的点之外）每一个点在绕轴旋转的过程中形成的轨迹（运动的点的集合）都是一个 。 答案： 圆 。 7 将一个半径为 5圆锥的母线长为 答案： 5。 解析： 扇形卷成圆锥的侧面时，圆锥的母线长等于扇形的半径，半圆可看成圆心角为 180 的扇形 。 8 已知甲命题：棱柱是直棱柱 ；并给出下列 4个乙命题： 棱柱有一条侧棱与底面垂直； 棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直； 棱柱有一个侧面与底面多边形的一条边垂直； 棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直。 其中乙命题是甲命题的 （ 1）必要不充分条件的序号是 ； （ 2）充要条件的序号是 。 （注：把所有满足题意的乙命题的序号都填上） 答案： （ 1） ；（ 2） 。 9 如图是正方体的表面展开图， A、 B、 C、 四点，求在正方体中， 别为多少？当正 方体的棱长为 2时， 答案： 将正方体的表面展开图还原成正方体如下图所示，由于正方体的各个面均为正方形， 故 5 ，又 从而 D= 0 。 当正方体的棱长为 2时，则 D=22 ， 即 以 22 为边长的正三角形，从而 32)22(43 2 S。 10 如图所示，在直角坐标系中有一直角三角形 将该三角形分别绕 到两个几何体，这两个几何体是同一种类型的几何体吗？ 答案：解：不是同一种类型的几何体，如图所示 ， 而它绕 一个圆锥而组成，如图 所示。 B O O O 作业本 】 A 组 1 下列命题正确的是 （ ） A棱柱的底面一定是平行四边形 B棱锥的底面一定是三角形 C棱台的底面是两个相似的正方形 D。棱台的侧棱延长后必交于一点 答案： D。解析： 棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形 。 2 一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是 （ ） A、圆柱 B、圆台 C、圆锥 D、以上 均不对 答案： B。解析： 由圆台的形成过程知 . 3 下列命题中： 空间中与定点的距离等于定长的点的集合是球面；球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；一个平面与球相交，其截面是一个圆 面 。其中正确命题的个数为 （ ） A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 答案： D。 4已知三棱锥 三角形 A=C= 32 ，62设 S、 A、 B、 为球心的球面上，则球的表面积是 _。 答案： 24 。 解析 ： 如图所示， 是 外心即 中点，易得 B=S，故球半径为 6 ， 球的表面积为 24 。 5 将一个形状为长方体的橡皮切三刀，这块橡皮最多被割成 块 . 答案： 8块 。 6 如图所示，已知 （ 1）如果你认为 以它为底，画一个三棱柱； （ 2）如果你认为 以它为底，再画一个三棱柱。 答案 ： （ 1）答：如图（ 1）所示；（ 2）答：如图（ 2）所示 7 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示， A， B， 在正方体盒子中， 答案： 以连排的三个正方形中间的一个为底面，将 平面图还原成正方体如图，由于正方体各个面是边 长相等的正方形，故 B、 别是三个正方形的对角线。 C= 故 0 。 8 一块扇形铁皮 0 ， 2剪下一扇环 圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且由剩下的扇形 剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它 取多长？ 答案 ： 解：设圆台上、下底面半径分别为 r 、 R，如图所示， 扇形 O ， 切点， , 圆弧 2602 R， 361221121230s i n,12 6 B 组 1 一棱台被平行于底面的平面截成上、下两个棱台，它们的体积分别是 y 和 x ，则 y 和x 的函数图像大致是（ ） 答案 :C。解析：设棱台的体积为 V（为定量），则 x+y=V，故选 C。 2 边长为 5从 的最短距离是 （ ） A、 10 B、 C、 D、 答案： D。解析： 沿 圆柱的母线剪开，并展开侧面，则在侧面展开图中 52，最短距离为225( ) 52 3 已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所 得的图形如下，则 （ ） 2）（ 4）是正确的 1）（ 2）（ 3）是正确的 1）（ 2）是正确的 答案： D。 4 如图所示，在直三棱柱 C= 2 ， ， 0， E、 棱柱的 表面从 两点的最短路径的长度为 。 o x y o x y o x y o x y A B C D 11 . . . 答案： 3 22。 解析 ： 将 7 22，侧面绕 面平 面，则 112，将 1 3 22，经比较最短路径为 3 22。 5 一个四面体的所有棱长都为 2 ， 四个顶点在同一个球面上 ,则此球的表面积为_. 答案： 3 。 解析：将正四面体看作由单位正方体的面对角线所形成，则四面体的外接 球，即为正方体的外接球，其直径为正方体的对角线长 3 。故此球表面积为 3。 6 画一个六面体： （ 1）使它是一个四棱柱； （ 2）使它由两个三棱锥组成； （ 3）使它是五棱锥 。 答案： （ 1）如图甲是一个四棱柱；（ 2）如图乙是一个由两个三棱锥组成的几何体；（ 3）如图丙是一个五棱锥。 甲 乙 丙 。 7 如图， , ，将五边形 所在的直线旋转一周，由此形成一个几何体。问： （ 1） 这个几何体由哪些简单几何体构成？ （ 2） 你能画出这个几何体的大致形状吗？ 解：（ 1）这个几何体从上到下依次由圆台、 圆柱、圆锥构成。 （ 2）右图 8 如图，半径为 1 的球内切于一个圆锥，当圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体积最小？ 解答：解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则由相似三角形知 22( 1 )1 ,2h ， 锥的体积 322 2113 3 3 22r h 2222 ( 2 ) ( 4 )3 ( 2 ) 3 ( 2 )h h h h hV ，当 (2,4)h 时， 0V ，当 4h 时， 0V ， 当 V=4 时， V 取最 小 ，此时 2r 即圆锥的底面半径为 2 时，圆锥的体积最小，最小值为 83。 柱体、锥体、台体、球有关的性质 【 知识网络 】 1、 柱体、锥体、台体、球的有关性质； 2、 展开图及内接、外接问题； 3、 不规则的图形的有关计算。 【 典型例题 】 例 1：（ 1） 一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ）A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 答案： D。解析：正四棱柱的条件是底面为正方形 的直棱柱。 （ 2） 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是 （ ） A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥 答案： D。 解析：只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道 （ 3） 在棱长为 1 的正方体 G、 E 分别为 F 是正方形 中心，则四边形 正方体六个面上的射影图形面积的最大值为 _。 答案： 38。解析：考察在三组对面上的投影即可。 （ 4） 棱锥的高为 16面积为 512行于底面的截面积为 50截面与底 面的距离为 答案： 11解析： 2 50 , 5 , 1 6 5 1 11 6 5 1 2h h h c m 。 （ 5） 把半径为 r 的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为 _。 答案： ( 6 13 )r 。解析：四只小球的球心组成正四面体形状， 26223R r r，即6(1 )3 。 例 2： 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形 ,两条侧棱长为 213 , 试求第三条侧棱长的取值范围 答案： : 如图 , 四面体 ,C=, C= 213 , 只有棱 长 x 是可变的 在三角形 , M 为 中点 , 321213 22 3 由 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 。 答案： 1503a。解析：有四种情况： 边长为 5a 的边重合，表面积为 224 28a ； 边长为 4a 的边重合，表面积为 224 32a ； 边长为 3面积为 224 36a ； 两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为 212 48a 。 212 48a 224 28a ， 1503a。 7 如图所示，把边长为 26 的正方形剪去图中阴影部分，沿图中的线折成一个正三棱锥，求出此棱锥的底面积，侧面积和高 . 答案： 如图 所示， 由对称性知， 5 ，又 C（都是底边）， 5 的等腰三角形。 取 ，连 在 215c o 615c o s 底面积为： 32 32221s i F D E F 。 5 ， 5 ，取 ，连结 6 5 ， 324 26)26(75s i n 336)32(2213 。 如图 所示，过 O 面 ，则 3 3223 32 332,26 39153233226 2222 8 如图，已知四边形 平面 A， 平面 分别交 E、 F、 G， （ 1）， 求证：面 （ 2）求证： A、 E、 F、 答案：（ 1）， ， 面 又 面 面 面 （ 2）易知 A C面 ， 面 面 即 00，同理 00，四边形 角线互补， 四边形 接于圆，即 A、 E、 F、 G 四点共圆。 9 如图，在三棱锥 中， 面 1 2 D 为 中点 （ 1）判断 否垂直，并说明理由； （ 2）若三棱锥 的体积为63，且 为 钝角，求二面角 S 的平面角的正切值； （ 3）在（）的条件下，求点 A 到平面 距离 答案： （ 1）因为 底面 的射影 垂直，否则与 C 且 D 为 中点矛盾，所以 垂直； （ 2）设 则63212131 2 s 23以 060 （舍）， 0120 平面 C， D 为 中点 , ， 则 是二面角 S A 的平面角 在 中， 4 故二面角的正切值为、 （ 3）由（ 2）知， 面 以平面 平面 点 A 作 面 是点 A 到平面 距离为 从而17172 s 到平面 距离为17172 10 已知三视图： （ 1） 画出该几何体的直观图； （ 2） 求该几何体的表面积 答案 ： 解：（ 1） 211222正视图 侧视图 俯视图A CD2 ）由题意可知，该几何体是由正四棱柱 A B C D A B C D 与正四棱锥 P A B C D 构成的简单几何体 由 图 易 得 ： 2 , 1 , 1A B A D A A P O ，取 点 Q ， 连 接 从而2 2 2 2 1 1 2P Q P O O Q ，所以该几何体表面 积 1 4 2 1 2 B B C C D D A P Q A B B C C D D A A A A B A D 【 作业本 】 A 组 1 下列命题中错误的是 （ ） A圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C圆台的所有平行于底面的截面是圆 D圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 答案： B。解析：只有当顶角为 90时，面积才为最大。 2、设 M 为正四面体 线 一点，连结 0，则 （ ） A、 512B、 512C、 2 D、 1 答案： D。解析：设四面体的棱长为 a， MH=x，则 213 在 212( )3x a a，解得 66 H=12 1 3 如果球的内接正方体的表面积为 24 ，那么球的体积等于 （ ） A 43 B 23 C 32 3 D 823答案： A。解析： 26 2 4 , 2 , 2 2 3a a R ，即343 , 4 33R V R 。 4 四面体的一条棱长为 x，其它各棱长为 1，若把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f(x)，则 f(x)的增区间为 ，减区间为 。 答案：（ 0，26 326， 。解析： 2( ) 34xf x x，利用不等式或导数即可判断。 5 设 P 是平面外一点，且 P 到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是 。 答案：圆外切四边形 。解析： P 在内的射影到各边的 距离相等。 6 已知一个圆锥的底面半径为 R ，高为 H ，在其中有一个高为 x 的内接圆柱， （ 1）求圆柱的侧面积； （ 2） x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 答案：解：（ 1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图： 因为 r H ，所以 ， 从而 2222 RS r x R x 圆 柱 侧 面 （ 2）因为 2 0，所以当 2422b R 时， 而当2圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大 7 一块边长为 10正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下 ,然后用余下的四 个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器 ,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式 ,并求出函数的定义域 . 答案：解 :如图 ,设所截等腰三角形的底边边长为 在 , 15,2E F c m O F x c m, 所以 21254E O x, 于是 22112534V x x依题意函 数的定义域为 | 0 1 0 从边长为 2a 的正方形铁片的四个角各截去一个边长为 x 的正方形（如图），再将四 边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度 x 与底面正方形的边长的比值不超过常数 t。 （ 1）把铁盒的容积 V 表示成 x 的函数，并指出其定义域； （ 2） x 值何值时，容积 V 有最大值？ 答案： （ 1） V=(2x=4x(,由22x 得 2012t（ 2）由 ，等号成立的条件是 2x=3当 ； 当 时，上式中等号不成立，此时，取 V=4x(, 在 上是增函数， 当 时， V 有最大值。 33 2716)32(2)(22 3m a x 2716,34121 23 此时可取得时即41321 2 212,0( 12B 组 1、 下列三个命题，其中正确的有 （ ） （ 1）、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 （ 2）、两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台 （ 3）、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案： A。解析： A 中截面是否平行于底面不确定， B、 C 中没有 侧棱交于同一点这一条件 。 2 一个平面多边形的斜二侧图形的面积是 S ，则这个多边形的面积是 （ ） A 2S B 2S C 22S D 4S 答案： C。解析：取特殊例子进行分析。 3 若四面体各棱的长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体 积的值是 （ ） A、 1112B、 1412C、 116D、以上都有可能 答案： D。解析：分别为下列三种情况：有一个边长为 1 的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共有四种情况：两边为 1，一边为 2；一边为 1，两边长为 2；三边全为 2。显然只有最后一种是可能的。如果这些三角形中，不存在边长为 1 的正三角形，则只有两种可能情况 ：四面体的 6 条棱中，只有一组相对棱的长度为 1，其余棱长全为 2；只有一条棱长为 1，其余棱长全为 2。 4 点 P 在直径为 2 的球面上，过 P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍，则这三条弦长之和为最大值是 答案：5702。解析：设三边长为 x,2x,y，则 2254， 令 4 4 2c o s , 2 s i n , 3 3 c o s 2 s i n 7 05 5 5x y x y 。 5 在底面边长为 6、高为 14的正三棱柱内放入相同的 球半径尽量大，则 n 。 答案： 4。解析： 143 , 423r 。 6 如图，正三棱锥 S 的侧面是边长为 a 的正三角形， D 是 中点， E 是 转一周所得旋转体的体积 答案： 解：如图，连接 由题意得 E ，又 D 是 中点，所以 A ，又 2 2 2 232,22S E S B B E a D E S E S D a F ，垂足为 F ，则 D F S E D E S D ，所以2622632a S a ，则所求旋转体的体积： 231 6 1 63 6 3 a S F A E 7 如图所示的多面体是由底面为 中 ， ， 。 求异面直线 求截面与底面所成二面角的正切值； 答案： （ 1）过 E 作 /D 交 H 点， /D ， /D ，又 C=1=45 ，即 成的角为 045。 （ 2）由已知得 平行四边形， 2 , 1B G G C ，延长 交于 N，连结 C 作 N 于 M，连结 为所求二面角的平面角。 1 1 4/ / , ,4 4 4 3 D F C 在 中， 1122B C C C N B N C M 4 1 5, t a G M C 8 如图所示，已知 t 们与平面 0 ，且 段 1在平面 恰是 知 0 . 求异面直线 若二面角 A 0， 求三棱锥 （ 3）求直线 答案： 面 面 G A B C D F H E G N M C B A D 0， ， ，四边形 面 异面直线 0。 取 ，连结 面 结 三垂线定理知 0，在 C = 3 ， ， 3312232213131111 C 三棱锥 33 面 在 1t 1 间几何体的表面积与体积 【 知识网络 】 1、 球的表面积和体积； 2、 圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积； 3、 棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积； 4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。 【 典型例题 】 例 1：（ 1） 直三棱柱 体积为 V，点 P、 Q 分别在侧棱 如图， 1Q，则四棱锥 B 体积为 （ ） A2B； 解析 ：取 P、 Q 分别为 中点，设矩形 面积为 S，点 距离为 h，则 111 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 2 3 3B A P Q C A B h S h A C h A A A A S V 。 （ 2） 半径为 R 的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 （ ） A、 2 B、 4 C、 2 D、 4 案： B。解析：2 2 2 2 2 2 212, , 6 423a a R a R a R 。 （ 3） 平行六面体的棱长都是 a，从一个顶点出发的三条棱两两都成 60角，则该 平行六面体的体积为 A 3a B 321322323C。解析：322s i n 6 0 32V a a a a 。 （ 4） 已知直平行六面体 1111 的各条棱 长均为 3， 60长为 2 的线段 一个端点 M 在 1运动，另一端点 N 在底面 运动，则 中点 P 的轨迹（曲面）与共一顶点 D 的三个面 所围成的几何体的体积为为 _ _。 答案： 29。解析： P 点的轨迹是以 D 为球心、半径为 1 的六分之一球， 1 4 26 3 9V 。 （ 5） 已知球的内接正方体的表面积为 S，那么球的体积为 。 答案： 32224S。解析：26 , , 2 366 S R ，即 122 3 32 24 1 23 8 2 422 。 例 2： 过半径为 R 的球面上一点 P 引三条长度相等的弦 们间两两夹角相等。 （ 1）若 ，求弦长关于 的函数表达式 ； （ 2）求三棱锥 P 积的最大值 。 答案：解：（ 1）由题知 P 正三棱锥，作其高 则 O为正 中心 ,球心 O 在 ， 设 =h,PA=a .,s i s i 4s i 1()2()2(2,)1()s i ,s i s i 22222242222222222的函数表达式即为得代入将即则交球面于延长的大圆的平面截球的截面为球与过又即中在 B1( 2 ) 3P A B C A B h，设 ,BO b 则 223 3 3( 3 )44b b ， 在 中， 2 ( 2 )B O P O O Q h R h ， 2 2 33 3 3 3 3( 2 )4 3 4 2 4P A B C hV b h R h h R h h ， 令 3 2 23 3 3 3( ) , ( ) 34 2 4f h h R h f h R h h ，令 ()=0， 当 43h， V 有最大值， 当正三棱锥的高 43，体积最大3m a x 83() 27P A B 。 例 3： 一个棱长为 6密封正方体盒子中放一个半径为 1小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。 答案：在正方体的 8 个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：331 4 48 1 ( 1 ) 88 3 3 ，除此之外，在以正方体的棱为一条棱 的 12 个 1 1 4 的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为 21 1 1 4 ( 1 ) 4 4 8 1 24 。其他空间 小 球 均 能 到 达 。 故 小 球 不 能 到 达 的 空 间 体 积 为 ：34 4 0( 8 ) 4 8 1 2 5 6 ( )33 。 例 4： 如图在三棱柱 ，已知底面 底角等于 30 ，底边 34的等腰三角形，且 22, 面 与面 45 ， 与 于点 E。 （ 1） 求证： ； （ 2） 求异面直线 距离； （ 3） 求三棱锥 的体积。 答案： 证：取 点 D，连 的中点，是 / 221 , 又 是底角等于 30 的等腰 ， ,B D A C B D D E D , 即面 解：由知 的一个平面角，是二面角 B 23 33230t 45 B ， 22 2224245co E 中： ,2 是等腰是异面直线 距离，为 2 连 ，面又 B E ,2, 2, 面面 338)(213131 3342121 B 【 课内练习 】 1 球与它的内接正方体的表面积之比是 （ ） A3B4C2D 答案： C。解析： 223 , 4 : 622R a R a 。 2 如图，正四棱锥 P 底面的四个顶点 , , ,A B C D 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上 ，如果 163P ， 则球 O 的表面积是 （ ） A、 4 B、 8 C、 12 D、 16 答案： D。解析：21 1 62 2 , 2 , 4 833V R R R R S R 。 3 一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、 E、 F，且知 A=F： ： 1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 （ ） A、2923B、2719C、3130D、2723答案： ： D。 解析： 当平面 于水平位置时，容器盛水最 多 2121s i i F27431323221 2723274 4 两球的体积之比为 8： 27，那么这两个球的表面积的比为 答案： 4:9 。解析：1 2 1 2 1 2: 8 : 2 7 , : 2 : 3 , : 4 : 9V V R R S S 。 5 有一棱长为 a 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 _. 答案为： 22 a 。 解析： 222 , 4 22R a S R a 。 6. 等体积的球和正方体 ,它们的表面积的大小关系是 正 方 体(填 ”大于、小于或等于 ”). 答案： 小于。解析： V 球 =V 正 ， 33 3 ,4VR a V， S 球 = 3224 3 6 ， S 正 = 3226 216， S 球 S 正 。 7 已知 圆台的上下底面半径分别是 2、 5,且侧面面积等于两底面面积之和 ,求该圆台的母线长 . 答案：解 :设圆台的母线长为 l ,则圆台的上底面面积为 224S 上圆台的上底面面积为 25 2 5S 下所以圆台的底面面积为 29S S S 下上又圆台的侧面积( 2 5 ) 7S l l 侧 ， 于是 7 25l ， 即 297l 为所求 . 8 如图，甲、乙是边长为 4a 的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。 （ 1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明； （ 2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。 答案：（ 1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为 2a，高为 a 的正四棱柱。 将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为 2a，斜高为 3 （ 2）正四棱柱的底面边长为 2a，高为 a，其体积 32 4)2( 锥。 又正四棱锥的底面边长为 2a，高为 a3(h 22 ， 其体积 323 2822)2(31 锥。 091691 2 816)3 28(4 22 ， 即 333 284,3 284 ，锥柱 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。 （说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等） 9 如图，直三棱柱的底面为 0， ， 5，将两侧面 平在一个平面内，得矩形 A B . 此时 A B 棱柱的侧面积 . 答案： 解：在 , 648)15c o i 2,415c o i ,11211111111111 B侧中在翻折后10如下图，在正四棱柱 ， 1 E、 M 分别为 点 B、 M 三点的平面 点 N. E（ 1）求证： 面 （ 2）求二面角 B 正切值； （ 3）设截面 该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 求 2 的值 . 答案：（ 1）证明：设 中点为 F，连结 E 为 中点， 1又 四边形 平行四边形 . 平面 平面 面 （ 2）解：作 H，连结 面 二面角 B 平面角 . 面 平面 面 面 1N， 又 四边形 平行四边形 . 1F. 设 a，则 a， t ， 21211 = 5 a， 1=52 . 在 ， 1a52 =54 a. 在 ， =5. （ 3）解：延长 于 P，则 P平面 P平面 又平面 面 M， P 直线 于一点 P. 又平面 面 几何体 棱台 . 21 2a a=21 a21a=41 棱台 高为 a， 1 2a（ 2241 +41=67 a 2a a67172177. 【 作业本 】 A 组 1 在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 ,则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的凸多面体的体积是 （ ） A、 23B、 76C、 45D、 56答案： A。解析： 1 1 1 1 2183 2 2 2 3V 。 2 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 1、 2 、 3 ，则此三棱锥的外接球面积为 （ ） A、 6 B、 12 C、 18 D、 24 答案： A。解析： 262 6 , , 4 62R R S R 。 3 一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直 立时，油的高度与桶的高之比是 （ ） A、41B、2141C、81D、2181（ ） 答案： B。解析：2 2 21 1 1 1( ) ,4 2 4 2 R l R h l 。 4 三条侧棱两两垂直且长都为 1 的三棱锥 接于球 O，求球 O 的表面积与体积 。 答案： 表面积 3 ，体积 32。解析：233 4 32 3 , , 4 3 ,2 3 2R R S R V R 5 球的半径为 8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成 45角，则这个平面截球的截面面积为 。 答案： 32 。解析： 4 2,R 所以截面面积 2 32。 6 已知正四面体 表面积为，其四个面的中心分别为、设四面体 表面积为，则 。 答案：91。解析：四面体 任何一个面是对应面的面积的 19。 7 经过正三棱柱底面一边 与底面成 30角的平面，已知截面三角形 面积为 32截面截得的三棱锥 D 体积 . 答案： S 底面 =S 设底面边长为 x，则有 8,233243 2 B 中点 E，在 ， 0， 故 )(82 330t B 底所以8. 如图，四边形 矩形， 面 中， ，若在线段 存在点 E 使得 线段取值范围，并求当线段 有且只 有一个点 E 使得 ，二面角 E A 正切值的大小 . 答案 ： 若以 直径的球面与线段 交点 E，由于点 E 与 定的平面与球的截面是一个大圆，则必有 此问题转化为以 直径的球与线段 交点。 设 中点为 O（即球心），再取 中点 M，易知 平面 点 E，连结 以 为点 O 到直线距离，又因为 P， D 在球 O 外，所以要使以 直径的球与线段 交点，只要使 B=R） 即可。 由于 求得 2416 4 所以 + 2244 即 9+ 2244 解之得 R 2 3 ；所以 R 4 3 ，所以 取值范围 4 3 ，+ ) ， 当且仅当 4 3 时，点 E 在线段 惟一存在，此时易求得二面角 E A 的平面角正切值为21。 B 组 1 三棱台 ， ： 2 则三棱锥 （ ） A、 1： 1： 1 B、 1： 1： 2 C、 1： 2： 4 D、 1： 4： 4 答案： B。解析：由棱台、棱锥公式可求得。 2 一平面截一球得到直径是 6圆面，球心到这个平面的距离是 4该球的体 积是 ( ) P B C A D A、33100 3208 3500 33 3416 C。解析： R=5，所以334 5 0 033V R c m。 3 如图，棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的 边长为 1 的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各 面）是 。 A、 258 B、 234 C、 222 D、 210 答案： B。解析：注意重叠交叉的部分。 4已知正三棱柱 B C D 底面边长是 10，高是 12，过底面一边 与底面 060 角的截面面积是 _。 答案： 48 3 。 解析：注意截面是一个等腰梯形。 5 若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的 14，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为 _ 答案： 1 8。解析：截面为锥体的中截面。 6 斜三棱柱 底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长等于 b，一条侧棱 底面相邻两边 成 450 角，求这个三棱柱的侧面积 。 解 析 ：过点 B 作 M，连结 ， C， 50， 公用边， 00， 平面 直截面，又 M=2a， 长为2a=(1+ 2 )a，且棱长为 b， S 侧 =(1+ 2 ) 在平行四边形 ， AD=a， a， 0， M、 N 分别是 折痕把平行四边形折成三棱柱 两个侧面，求三棱柱体积的最大值 . 答案：解：在平行四边形 ，连结 已知， AD=a,a, 0 N ，故折成三棱柱 ， 二面角 A C 的平面角， 这个三棱柱的直截面 3m a ,90s 23,23 C三棱柱三棱柱即折成直二面角时当设8 三棱柱 111 中， C=a， 0，顶点 1A 在底面 的射影为 的中点 M。 （ 1）求证： 直于 1A ， A， M 三点确定的平面； （ 2）如果三棱锥 111 的体积为 3棱锥侧面 11底面 成锐二面角的大小。 答案：（ 1）连结 M。 M 是 1A 在平面 的射影， 面 平面 ， 1 。由 C， M 是 点，有 。 面 （ 2）过 M 在平面 作 于 N，连结 则 1 。 是侧面 11底面 成的锐二面角的平面角。 由于三棱锥 111 的高等于 长， 又三棱锥 111 的体积为 3123a，三角形 111 面积为 221a， 312 1232131 ， 31 。 为等腰直角三角形， M 为斜边中点， ， 在 中， 3 601 侧面 11底面 成的锐二面角为 60。 影与直观图的画法 【知识网络】 1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。 2、简单组合图形三视图的画法 ,由三视图想象实物模型 ,并画模型草图。 3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。 4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。 【典型例题】 例 1：（ 1） 如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： C。解析： 由斜二测画法规则知 。 （ 2） 如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ） 长方体 圆锥 三棱锥 圆柱 A B C D 答案： A 。解析： 由 三视图的画法知 。 （ 3） 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2的正三角形 ,俯视图是直径为 2的圆 ,则此几何体的外接球的表面积为 （ ） A 34B 38C 316D 332答案： C。 解析：由三视图知该几何体是底面半径为 1，高为 3 的圆锥，其外接球的直径为 433。 （ 4） 水平放置的 所示，已知 2,3 则 。 答案： 析： 根据直观图的画法规则易求 。 （ 5） 如上图 所示，用中心投影法作正方体 只有一个消点 S，且3211 则 1 。 答案： 1。解析： 由中心投影法的定义知 。 xy)(OABC1yO例 2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？ 答案 : 这些正方体货箱的个数为 7个 例 3：（ 1） 如下图 所示，已知 ，则 。 （ 2）如上图所示，现有一水平放置的边长为 1的正方形 ，其中对角线 在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积。 答案 :（ 1）取 的中点 M ，连结 即可。 （ 2）解：四边形 在水平位置， 为正方形， 在四边形 2,22 22 C 例 4： 一个几何体的三视图如右图所 示，其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形 . （）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 如何组拼？试证明你的结论； （）在（）的情形下 ,设正方体 棱 中点为 E, 求平面 平面 成二面 角的余弦值 . 答案： 解：（ ）该几何体的直观图如图 1 所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥 . 其中底面 边长为 6 的 正方形，高为 ，故所求体积 是 726631 2 V（ ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍， 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体， 其拼法如图 2 所示 . 证明 :面 面 面 全等的 正方形，于是 C 111111 故所拼图形成立 （）方法一：设 延长线交于点 G， AB CABCD侧视图 俯视图 A B C D 1 A B C D 1 1 图 2 连结 底面 作 足为 H， 连结 平面 平面 成二面角或其补角的平面角 . 在 ， 180则 512180126 5182121 32co s 11 故平面 平面 成二面角的余弦值为32. 方法二：以 C 为原点， x、 y、 z 轴建立直角坐标系（如图 3），正方体棱长为 6，则 E（ 0， 0， 3）， 0， 6， 6）， A（ 6， 6， 0） . 设向量 n=（ x， y， z），满足 n 1 n 1 于是066036解得 取 z=2，得 n=（ 2， 2） . 又 1 0， 0， 6），321812|,c o s 111 故平面 平面 成二面角的余弦值为32. 【课内练习】 1一个圆柱随位置放置不同其主视图可能发生变化，但不可能是下面的那一个？（ ） A长方形 B. 圆 C. 正方形 答案 : D。 2利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形。 以上结论，正确的个数是 （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 答案： B。解析：正确。 3下列说法错误的是 （ ） A、正投影主要用于绘制三视图 B、在中心投影中，平行线会相交 C、斜二测画法是采用斜投影作图的 D、在中心投影中最多只有一个消点 答案： D。解析：在中心投影中可以有多个消点。 4 若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 _。 答 案 ： 2和 32 。 5一个几何体的三个视图都是全等的正方形，则这个几何体是 _;一个几 何体的三视图都是半径相等的圆，则这个几何体是 _. 答案 :正方体；球。 主视图 俯视图 2 32 左视图 A B C D 1 1 E H x y z G 图 3 6在用斜二测画法画水平放置的 A=90，则在直观图中， A=_。 答案： 45或 135。 解析：根据斜二测画法规则知。 7 一个物体的三视图是下面三个图形，该物体的名称为 _. 答案 :长方体。 8
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