2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］
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间几何体的表面积与体积 【 知识网络 】 1、 球的表面积和体积； 2、 圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积； 3、 棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积； 4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。 【 典型例题 】 例 1：（ 1） 直三棱柱 体积为 V，点 P、 Q 分别在侧棱 如图， 1Q，则四棱锥 B 体积为 （ ） A2B； 解析 ：取 P、 Q 分别为 中点，设矩形 面积为 S，点 距离为 h，则 111 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 2 3 3B A P Q C A B h S h A C h A A A A S V 。 （ 2） 半径为 R 的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 （ ） A、 2 B、 4 C、 2 D、 4 案： B。解析：2 2 2 2 2 2 212, , 6 423a a R a R a R 。 （ 3） 平行六面体的棱长都是 a，从一个顶点出发的三条棱两两都成 60角，则该 平行六面体的体积为 A 3a B 321322323C。解析：322s i n 6 0 32V a a a a 。 （ 4） 已知直平行六面体 1111 的各条棱 长均为 3， 60长为 2 的线段 一个端点 M 在 1运动，另一端点 N 在底面 运动，则 中点 P 的轨迹（曲面）与共一顶点 D 的三个面 所围成的几何体的体积为为 _ _。 答案： 29。解析： P 点的轨迹是以 D 为球心、半径为 1 的六分之一球， 1 4 26 3 9V 。 （ 5） 已知球的内接正方体的表面积为 S，那么球的体积为 。 答案： 32224S。解析：26 , , 2 366 S R ，即 122 3 32 24 1 23 8 2 422 。 例 2： 过半径为 R 的球面上一点 P 引三条长度相等的弦 们间两两夹角相等。 （ 1）若 ，求弦长关于 的函数表达式 ； （ 2）求三棱锥 P 积的最大值 。 答案：解：（ 1）由题知 P 正三棱锥，作其高 则 O为正 中心 ,球心 O 在 ， 设 =h,PA=a .,s i s i 4s i 1()2()2(2,)1()s i ,s i s i 22222242222222222的函数表达式即为得代入将即则交球面于延长的大圆的平面截球的截面为球与过又即中在 B1( 2 ) 3P A B C A B h，设 ,BO b 则 223 3 3( 3 )44b b ， 在 中， 2 ( 2 )B O P O O Q h R h ， 2 2 33 3 3 3 3( 2 )4 3 4 2 4P A B C hV b h R h h R h h ， 令 3 2 23 3 3 3( ) , ( ) 34 2 4f h h R h f h R h h ，令 ()=0， 当 43h， V 有最大值， 当正三棱锥的高 43，体积最大3m a x 83() 27P A B 。 例 3： 一个棱长为 6密封正方体盒子中放一个半径为 1小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。 答案：在正方体的 8 个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：331 4 48 1 ( 1 ) 88 3 3 ，除此之外，在以正方体的棱为一条棱 的 12 个 1 1 4 的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为 21 1 1 4 ( 1 ) 4 4 8 1 24 。其他空间 小 球 均 能 到 达 。 故 小 球 不 能 到 达 的 空 间 体 积 为 ：34 4 0( 8 ) 4 8 1 2 5 6 ( )33 。 例 4： 如图在三棱柱 ，已知底面 底角等于 30 ，底边 34的等腰三角形，且 22, 面 与面 45 ， 与 于点 E。 （ 1） 求证： ； （ 2） 求异面直线 距离； （ 3） 求三棱锥 的体积。 答案： 证：取 点 D，连 的中点，是 / 221 , 又 是底角等于 30 的等腰 ， ,B D A C B D D E D , 即面 解：由知 的一个平面角，是二面角 B 23 33230t 45 B ， 22 2224245co E 中： ,2 是等腰是异面直线 距离，为 2 连 ，面又 B E ,2, 2, 面面 338)(213131 3342121 B 【 课内练习 】 1 球与它的内接正方体的表面积之比是 （ ） A3B4C2D 答案： C。解析： 223 , 4 : 622R a R a 。 2 如图，正四棱锥 P 底面的四个顶点 , , ,A B C D 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上 ，如果 163P ， 则球 O 的表面积是 （ ） A、 4 B、 8 C、 12 D、 16 答案： D。解析：21 1 62 2 , 2 , 4 833V R R R R S R 。 3 一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、 E、 F，且知 A=F： ： 1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 （ ） A、2923B、2719C、3130D、2723答案： ： D。 解析： 当平面 于水平位置时，容器盛水最 多 2121s i i F27431323221 2723274 4 两球的体积之比为 8： 27，那么这两个球的表面积的比为 答案： 4:9 。解析：1 2 1 2 1 2: 8 : 2 7 , : 2 : 3 , : 4 : 9V V R R S S 。 5 有一棱长为 a 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 _. 答案为： 22 a 。 解析： 222 , 4 22R a S R a 。 6. 等体积的球和正方体 ,它们的表面积的大小关系是 正 方 体(填 ”大于、小于或等于 ”). 答案： 小于。解析： V 球 =V 正 ， 33 3 ,4VR a V， S 球 = 3224 3 6 ， S 正 = 3226 216， S 球 S 正 。 7 已知 圆台的上下底面半径分别是 2、 5,且侧面面积等于两底面面积之和 ,求该圆台的母线长 . 答案：解 :设圆台的母线长为 l ,则圆台的上底面面积为 224S 上圆台的上底面面积为 25 2 5S 下所以圆台的底面面积为 29S S S 下上又圆台的侧面积( 2 5 ) 7S l l 侧 ， 于是 7 25l ， 即 297l 为所求 . 8 如图，甲、乙是边长为 4a 的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。 （ 1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明； （ 2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。 答案：（ 1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为 2a，高为 a 的正四棱柱。 将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为 2a，斜高为 3 （ 2）正四棱柱的底面边长为 2a，高为 a，其体积 32 4)2( 锥。 又正四棱锥的底面边长为 2a，高为 a3(h 22 ， 其体积 323 2822)2(31 锥。 091691 2 816)3 28(4 22 ， 即 333 284,3 284 ，锥柱 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。 （说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等） 9 如图，直三棱柱的底面为 0， ， 5，将两侧面 平在一个平面内，得矩形 A B . 此时 A B 棱柱的侧面积 . 答案： 解：在 , 648)15c o i 2,415c o i ,11211111111111 B侧中在翻折后10如下图，在正四棱柱 ， 1 E、 M 分别为 点 B、 M 三点的平面 点 N. E（ 1）求证： 面 （ 2）求二面角 B 正切值； （ 3）设截面 该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 求 2 的值 . 答案：（ 1）证明：设 中点为 F，连结 E 为 中点， 1又 四边形 平行四边形 . 平面 平面 面 （ 2）解：作 H，连结 面 二面角 B 平面角 . 面 平面 面 面 1N， 又 四边形 平行四边形 . 1F. 设 a，则 a， t ， 21211 = 5 a， 1=52 . 在 ， 1a52 =54 a. 在 ， =5. （ 3）解：延长 于 P，则 P平面 P平面 又平面 面 M， P 直线 于一点 P. 又平面 面 几何体 棱台 . 21 2a a=21 a21a=41 棱台 高为 a， 1 2a（ 2241 +41=67 a 2a a67172177. 【 作业本 】 A 组 1 在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 ,则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的凸多面体的体积是 （ ） A、 23B、 76C、 45D、 56答案： A。解析： 1 1 1 1 2183 2 2 2 3V 。 2 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 1、 2 、 3 ，则此三棱锥的外接球面积为 （ ） A、 6 B、 12 C、 18 D、 24 答案： A。解析： 262 6 , , 4 62R R S R 。 3 一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直 立时，油的高度与桶的高之比是 （ ） A、41B、2141C、81D、2181（ ） 答案： B。解析：2 2 21 1 1 1( ) ,4 2 4 2 R l R h l 。 4 三条侧棱两两垂直且长都为 1 的三棱锥 接于球 O，求球 O 的表面积与体积 。 答案： 表面积 3 ，体积 32。解析：233 4 32 3 , , 4 3 ,2 3 2R R S R V R 5 球的半径为 8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成 45角，则这个平面截球的截面面积为 。 答案： 32 。解析： 4 2,R 所以截面面积 2 32。 6 已知正四面体 表面积为，其四个面的中心分别为、设四面体 表面积为，则 。 答案：91。解析：四面体 任何一个面是对应面的面积的 19。 7 经过正三棱柱底面一边 与底面成 30角的平面，已知截面三角形 面积为 32截面截得的三棱锥 D 体积 . 答案： S 底面 =S 设底面边长为 x，则有 8,233243 2 B 中点 E，在 ， 0， 故 )(82 330t B 底所以8. 如图，四边形 矩形， 面 中， ，若在线段 存在点 E 使得 线段取值范围，并求当线段 有且只 有一个点 E 使得 ，二面角 E A 正切值的大小 . 答案 ： 若以 直径的球面与线段 交点 E，由于点 E 与 定的平面与球的截面是一个大圆，则必有 此问题转化为以 直径的球与线段 交点。 设 中点为 O（即球心），再取 中点 M，易知 平面 点 E，连结 以 为点 O 到直线距离，又因为 P， D 在球 O 外，所以要使以 直径的球与线段 交点，只要使 B=R） 即可。 由于 求得 2416 4 所以 + 2244 即 9+ 2244 解之得 R 2 3 ；所以 R 4 3 ，所以 取值范围 4 3 ，+ ) ， 当且仅当 4 3 时，点 E 在线段 惟一存在，此时易求得二面角 E A 的平面角正切值为21。 B 组 1 三棱台 ， ： 2 则三棱锥 （ ） A、 1： 1： 1 B、 1： 1： 2 C、 1： 2： 4 D、 1： 4： 4 答案： B。解析：由棱台、棱锥公式可求得。 2 一平面截一球得到直径是 6圆面，球心到这个平面的距离是 4该球的体 积是 ( ) P B C A D A、33100 3208 3500 33 3416 C。解析： R=5，所以334 5 0 033V R c m。 3 如图，棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的 边长为 1 的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各 面）是 。 A、 258 B、 234 C、 222 D、 210 答案： B。解析：注意重叠交叉的部分。 4已知正三棱柱 B C D 底面边长是 10，高是 12，过底面一边 与底面 060 角的截面面积是 _。 答案： 48 3 。 解析：注意截面是一个等腰梯形。 5 若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的 14，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为 _ 答案： 1 8。解析：截面为锥体的中截面。 6 斜三棱柱 底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长等于 b，一条侧棱 底面相邻两边 成 450 角，求这个三棱柱的侧面积 。 解 析 ：过点 B 作 M，连结 ， C， 50， 公用边， 00， 平面 直截面，又 M=2a， 长为2a=(1+ 2 )a，且棱长为 b， S 侧 =(1+ 2 ) 在平行四边形 ， AD=a， a， 0， M、 N 分别是 折痕把平行四边形折成三棱柱 两个侧面，求三棱柱体积的最大值 . 答案：解：在平行四边形 ，连结 已知， AD=a,a, 0 N ，故折成三棱柱 ， 二面角 A C 的平面角， 这个三棱柱的直截面 3m a ,90s 23,23 C三棱柱三棱柱即折成直二面角时当设8 三棱柱 111 中， C=a， 0，顶点 1A 在底面 的射影为 的中点 M。 （ 1）求
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