2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］
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2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］,年高,数学,一轮,复习,温习,书稿,新课程,整理,收拾,整顿,86
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6. 平面向量 量的 线性 运算 【知识网络】 表示 标 运算 ：加法、减法、数乘 【典型例题】 例 1.（ 1） 下列命题中正确的是 （ D） A O A O B B 0A C 00 D A B B C C D A D 提示： 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量， B ； ,A 是一对相反向量，它们的和应该为零向量， 0A （ 2） 化简 （ D） A B C D 0 提示： 0A D B D A B A D D B A B A B A B （ 3） 若 O 为 的内心，且满足 ( ) ( 2 ) 0O B O C O B O C O A ，则 的形状 为 （ A） （ 4） 已知向量 ,为 3,4 ，则 |的取值范围是 . 1,7 提示： , ， , . （ 5） 在锐角 中 ,已知 | | 4 , | | 1 ,A B A C A B C 的面积为 3 ,则 C 的值为 _. 2 提示：先求 值 . 例 2. ， ,C 的中点， G 为 交点，若 AB a ， AD b ， 试以 a ， b 表示 解： 1122D E A E A D A B B E A D a b b a b 1122B F A F A B A D D F A B b a a b a G 是 重心， 1 1 1 ()3 3 3C G C A A C a b 例 行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和 证明： 设 ,A B a A D b则 ,AC a b ,DB a b 22 2 2 2 2( ) ( ) 2 2A C D B a b a b a b 22 2222A C D B a b ，即 平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和 例 直角 ，已知 BC a ，若长为 2a 的线段 点 A 为中点，问 夹角 取何值时 Q 的值最大？并求出这个最大值。 解： , 0 A C A B A C , , ,( ) ( )A P A Q B P A P A B C Q A Q A C Q A P A B A Q A C 222222()1212c o s A Q A P A C A B A Q A B A P A C A B A P A B A Q B Q B 故当 ，即 0( 与 向相同 ） 时 ， Q 最大，其最大值为 0 . 【课内练习】 单位向量，则下列结论中正确的是 （ C） A00001C00| | | | 2D00| | 2提示： 因为是单位向量，00| | 1, | | 1 ， ,A B a B C b A C c ，则 |a b c （ C） A. 0 B. 3 C. 22 D. 2 提示： C ， | | | 2 |a b c c . 3. 已知向量 ,且 2 ( 4 3 ) 3 ( 5 4 ) 03 a c c b ，则 c .(用 , 8 1239 13 4.O A a O B b， C 为线段 距 A 较近的一个三等分点， D 为线段 距 C 较近的一个三等分点，则用 , 表示 表达式为 （ A） A. )54(91 B . )79(161 C. )2(31 D. )3(41 提示： AB b a ， 22,33D B C B C B A B 55()99A D A B b a ， O D O A . 5. 已知向量 ,当 0ma 时，有 m ， n . 0,0 提示：若 , ，比方 0m ，则有 ，从而 , 6. 若菱形 边长为 2 ，则 A B C B C D . 2 提示： 2A B C B C D A B B C C D A C C D A D | 8 , | | 5A B A C,则 |取值范围是 . 3,13 提示 : | | | | | | | | | |A B A C B C A B A C . ,三个向量，试判断下列各命题的真假 （ 1）若 a b a c 且 0a ，则 （ 2）向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 （ 是 a 与 b 的夹角），方向与 a 在 b 相同 或相反的一个向量 解：（ 1） 若 a b a c 且 0a ，则 ，这是一个假命题 因为 , ( ) 0a b a c a b c ，仅得 ()a b c （ 2）向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 （ 是 a 与 b 的夹角），方向与 a 在 b 相 同或相反的一个向量 这是一个假命题因为 向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量，而非向量。 角线互相平分的四边形是平行四边形 . 证明：设四边形 对角线交点为 O ，则有 A B A O O B O C D O D C ， 且 D ， 平行四边形 . , , ,O A a O B b O C c O D d O E e ，设 ，如果 3 , 2 ,a c b d ()e t a b，那么 t 为何值时， ,C 点在一条直线上？ 解： 由题设知， 2 3 , ( 3 )C D d c b a C E e c t a t b ， ,C 点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k ，使得 CE ，即 ( 3 ) 3 2t a t b k a k b ， 整理得 ( 3 3 ) ( 2 )t k a k t b . 若 , t 可为任意实数； 若 ,有 3 3 020 ，解之得， 65t. 综上， , t 可 为任意实数； ,65t. 量的坐标 运算 【知识网络】 算 及其运算性质 . 【典型例题】 例 1.（ 1） 设点 (2,0)A ， (4,2)B ,若点 P 在直线 ，且 | | 2 | |P ，则点 P 的坐标为 （ C） A (3,1) B (1, 1) C (3,1) 或 (1, 1) D无数多个 提示： 设 ( , )Px y ， 则 ( 2 , 2 ) , ( 2 , )A B A P x y ， 由 | | 2 | |P 得 2P ， 或 2P . （ 2） 设 3( , 2a ， 1( )3b ，且 /a b ，则锐角 为 （ D） A 30 B 60 C 75 D 45 提示： 0031 s i n c o s , s i n 2 1 , 2 9 0 , 4 523 （ 3） 如果把圆 02: 22 向量 )1,( 平移后得到圆 C ，且 C 与直线 043 切，则 m 的值为 . 35 提示 : 圆 02: 22 心为 (0,1) ,半径为 1 1,( 平移后 ,圆心为 ( ,0),由题设得 , | 3 | 15m . （ 4） 若 (2,8)， ( 7, 2) ，则31 . ( 3, 2) 提示： ( 9 , 6 )A B O B O A （ 5） 已知 )1,2(a 与 )2,1(b ，要使 |a 最小，则实数 t 的值为 . 45提示： 当 45t时即可 例 2. 经过点 ( 2,3)M 的直线分别交 x 轴、 y 轴于点 , | | 3 | |M ，求点 ,坐标 . 解：由题设知， , 三点共线，且 | | 3 | |M ，设 ( , 0 ), (0 , )A x B y ， 点 M 在 ,有 3M ， ( , ) 3 ( 2 , 3 )x y x 解之得： 3, 3 ， 点 , 3, 0), (0, 3) . 点 M 不在 ,有 3M ，同理，可求得点 ,( ,0)2， (0, 9) . 综上，点 , 3, 0), (0, 3) 或 3( ,0)2， (0, 9) . 例 3. 已知三点 ( 2 , 3 ) , ( 5 , 4 ) , ( 7 , 1 0 ) A M A B A C，试求实数 的取值范围，使 M 落在第四象限 . 解：设点 ( , )M x y ，由题设得 ( 2 , 3 ) ( 3 , ) ( 5 , 7 ) ( 3 5 , 7 ) ， 3 3 , 4 ， 要使 M 落在第四象限，则 3 3 0 , 4 0 ， 解之得 14. 例 8 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 6 , 1 2 ) , ( 6 , 4 )a b c p ，问是否存在实数 ,时满足两 个条件： (1 ) ; ( 2 ) 1p x a y b z c x y z ？如果存在，求出 ,值；如果不存在，请说 明理由 . 解：假设满足条件的实数 ,在，则有8 3 6 62 3 1 2 41x y zx y zx y z ，解之得：121316 满足条件的实数 1 1 1,2 3 6x y z . 【课内练习】 b 与向量 (1, 2)a 的夹角是 且 | | 3 5b ，则 b (A) A )6,3( B )6,3( C )3,6( D )3,6( 提示： 设 ( , 2 ) , 0b k a k k k ，而 | | 3 5b ，则 25 3 5 , 3 , ( 3 , 6 )k k b . 2 , 3 ) , ( 3 , ) , ( 4 , )A B a C 有 （ C） A 3, 5 B 10 C 23 D 20 提示： (1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , / / 3 2 6 , 2 3A B a A C b A B A C b a a b 3. 设向量 (1 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , 若表示向量 4 , 3 2 ,a b a c 的有向线段首 尾相接能构成三角 形，则向量 c 为 (D) A.（ 1， 1） B.（ 1， 1） C. （ 4， 6） D. （ 4， 6） 提示： 4 (4, 12)a ， 3 2 ( 8 , 1 8 ) ，依题意， 得 4 ( 3 2 ) 0a b a c 4. 已知向量 (1,2)a ， ( 2,3)b ， (4,1)c ，若用 a 和 b 表示 c ，则 c = . 2 提示： 设 c xa ，则 ( , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 2 3 ) ( 4 , 1 )x x y y x y x y 2 4 , 2 3 1 , 2 , 1x y x y x y 5. 已知向量 )a ，向量 )1,22( b ，则 |3| 的最大值是 . 6 提示 : 22| 3 | ( 3 c o s 2 2 ) ( 3 s i n 1 ) 1 8 ( 1 2 2 c o s 6 s i n ) 1 2 2 c o s 6 s i n 1 8 c o s ( ) 1 8 .( 其中 满足 : 2 2 1c o s , s i .) 2 , 3 ) , ( 1 , 1 ) , ( 6 , )A B C k ，其中 k 为常数 | | |C ，则 夹 角 的余弦值 为 . 0 或 2425提示 :由 | | | |C 先求出 0k 或 6k ,然后用余弦定理或向量的数量积求出 夹 角 的余弦值 . 4222 向量 )2,1(a 平移后 ,恰好与直线 02 切 ,则 实数 的值为 _. 3 或 13 提示 : 圆 04222 圆心为 ( 1,2) ,半径为 5 ,圆按向量 )2,1(a 平移后 ,圆心 为 (0,4) ,由题意得 , | 8 | 55 . 2,1), (5, 8)12,B 的两个三等分点（自 A 至 B ），求12, 解： (3, 9),由题设知，1212,33A P A B A P A B. 设1 1 1 2 2 2( , ) , ( , )P x y P x y,则1 1 1 1( 2 , 1 ) ( 3 , 9 ) ( 1 , 3 )3A P x y , 113, 2, 13,2) . 2 2 2 2( 2 , 1 ) ( 3 , 9 ) ( 2 , 6 )3A P x y , 224, 5,24,5) . 12,3,2) 和 (4,5) . 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( )a b c a b R . (1) 何值时 ,|c 最小 ?此时 c 与 b 的位置关系如何 ? (2) 何值时 , c 与 a 的夹角最小 ? 此时 c 与 a 的位置关系如何 ? 解 : (1 3 , 2 4 )c , 2 2 2 2| | (1 3 ) ( 2 4 ) 5 1 0 2 5c 212 5 ( ) 45 当 15时 , |c 最小 ,此时 86( , )55c , 86( 3 , 4 ) ( , ) 055 , 当 15时 , |c 最小 ,此时 . (2)设 c 与 a 的夹角为 ,则225 5 1c o s| | | | 5 2 5 1 0 5 5 2 1 , 要 c 与 a 的夹角最小 ,则 最大 , 0 ,故 的最大值为 1 ,此时 0 , 21c o s 1 , 15 2 1,解之得 0 , (1,2)c . 0 时 , c 与 a 的夹角最小 , 此时 c 与 a 平行 . 求证 :与 不平行 . 证明 :设1 1 2 2( , ) , ( , )a x y b x y, , 1 2 2 1 0x y x y. 假设 ,则有1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x y y x x y y , 化简得 ,1 2 2 1 0x y x y,这与 , 与 不平行 . 向量的数量积 【知识网络】 【典型例题】 例 1.（ 1） 已知圆 O 的半径为 3 ，圆 周上两点 与原点 O 恰构成正三角形，则向量 数量积是 （ C） A. 21B. 23C. 23D. 233（ 2） 平面向量 , (4, 3)a ， |b =1，且 5 ，则向量 b = . 43( , )55 提示： | | 5 , c o s , 1 , ,| | | |a b a 方向相同， 1 4 3( , )5 5 5 （ 3） 在边长为 1 的正三角形 ，设 ,B C a A B c A C b ，则 的 值是 （ C） B C D 提示： 12， 12， 12. （ 4） 若 (1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 )A B C ，则 形状 是 . 直角三角形 提示： (1 , 1 ) , ( 3 , 3 ) , 0 ,A B A C A B A C A B A C . （ 5） | | 3, | | 4，向量 ,0 ，则 | 2 | . 13 提示： 2 2 2| 2 | | | 2 | | 1 3a b a a b b ， | 2 | 1 3 . 例 1,2)a , )2,3(b ,当 k 为何值时， （ 1） ka b 与 3垂直？ （ 2） b 与 3a b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 解： (1 , 2 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 2 2 )k a b k k k , 3 (1 , 2 ) 3 ( 3 , 2 ) (1 0 , 4 ) （ 1） ()ka b( 3 )， 得 ()ka b ( ) ( 3 ) 1 0 ( 3 ) 4 ( 2 2 ) 2 3 8 0 , 1 9k a b a b k k k k （ 2） ( ) /ka b ( 3 )，得 14 ( 3 ) 1 0 ( 2 2 ) ,3k k k 此时 1 0 4 1( , ) ( 1 0 , 4 )3 3 3k a b ，所以方向相反。 例 3 已知 ( c o s , s i n )a ， ( c o s , s i n )b ， 其中 0 (1)求证： 与 互相垂直； (2)若 b 与 b 的长度相等，求 的值 (k 为非零的常数 ) 证明： 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( c o s s i n ) ( c o s s i n ) 0a b a b a b 与 互相垂直 （ 2） ( c o s c o s , s i n s i n )b k k , ( c o s c o s , s i n s i n )b k k , 2 1 2 c o s ( )k a b k k , 2 1 2 c o s ( )a k b k k , 而 221 2 c o s ( ) 1 2 c o s ( )k k k k co s( ) 0， 2 例 4. 证明：对于任意的 , , ,a b c d R ，恒有不等式 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a c b d a b c d 证明：设 ( , ) , ( , )x a b y c d，则 2 2 2 2, | | , | |x y a c b d x a b y c d , 而 | | | | c o s , | | | | | | | c o s | | | | |x y x y x y x y x y 即 | | | | |x y x y ，得 2 2 2 2a c b d a b c d 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a c b d a b c d 【课内练习】 ，下列等式中错误的是 （ B） A.|a a a B | | | | | |a b a b C ()a b a b D | | | | | |a b a b 提示： | | | | | | | c o s |a b a b ，可知 B 是错误的 . 2. 已知平面向量 (3,1)a ， ( , 3)，且 ，则 x （ C） A 3 B 1 C 1 D 3 提示： 3 1 ( 3 ) 0 , 1 3. 已知点 ( 2 , 4 ), (1, )A B a ，若 为钝角，则 a 的取值范围是 （ C） A (1,2) B ( , 1 ) (1, ) C (1,3) D ( ,1) (3 , ) 提示： ( 3 , 4 ) , ( 1 , )B A a B O a ， 为钝角，则 0O. , 的坐标满足 )3,4(),1,2( ，则 等于 （ C） A 5 B 1 C 5 D 1 提示： (1 , 2 ) , ( 3 , 1 ) 5. 若 (2, 2)a ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为 . 2 2 2 2( , ) , ( , )2 2 2 2或提示： 设所求的向量为 22 2( , ) , 2 2 0 , 1 ,2x y x y x y x y 4,3(),s co s ，其中 )2,0( ，则 的最大值为 . 5 提示： 3 c o s 4 s i n 5 s i n ( ) （其中 34s i n , c o ）， 由题设及 的正、余弦值知可取 (0, )2，故 (0, ) . a 与 b 的夹角为 60 ,| | 4b ， ( 2 ) ( 3 ) 7 2a b a b ，则向量 |a . 6 提示： 22( 2 ) ( 3 ) 7 2 | | 6 | | 7 2a b a b a a b b ， | | | | c o s 6 0 2 | |a b a b a ， 2| | 2 | 2 4 0 . 3与 75垂直， 4与 72垂直，求 a 与 b 的 夹角 . 解：设 a 与 b 的夹角为 . 由题设得， 22( 3 ) ( 7 5 ) 0 7 | | 1 6 1 5 | |a b a b a a b b 22( 4 ) ( 7 2 ) 0 7 | | 3 0 8 | |a b a b a a b b 15 8 ，得 22| | | |， | | | |. ，得 22( ) | |a b b ， 1c o | |， 60 . a 与 b 的夹角为 60 . 9. 已知向量 ( s i n , 1 ) , ( 1 , c o s ) ,22 . （ 1）若 ，求 ； （ 2）求 |的最大值 . 解：（ 1） 0 s i n c o s 0a b a b ， 22 ， 4. （ 2） 22| | | ( s i n 1 , c o s 1 ) | ( s i n 1 ) ( c o s 1 ) 3 2 2 s i n ( )4 ， 22 ， 34 4 4 ， s i n ( ) 1 , 3 2 2 s i n ( ) 3 2 244 ， | | 3 2 2 2 1 ，即 |的最大值为 21 . 10. 平面向量 13( 3 , 1 ) , ( , )22 ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，使 2( 3 )x a t b , ,y ka 且 ，试求函数关系式 ()k f t . 解：由 13( 3 , 1 ) , ( , )22 得 0 , | | 2 , | | 1a b a b 222 2 2 ( 3 ) ( ) 0 , ( 3 ) ( 3 ) 0a t b k a t b k a t a b k t a b t t b 3 3 3114 3 0 , ( 3 ) , ( ) ( 3 )44k t t k t t f t t t 平面向量的综合应用 【典型例题】 例 1.（ 1） 若 O 为 的内心，且满足 ( ) ( 2 ) 0O B O C O B O C O A ，则 的形状为 （ A） C. 直角三角形 提示： O B O C C B， 2 ( ) ( )O B O C O A O B O A O C O A A B A C ， C 是以 ,C 为一组邻边的平行四边形的一条对角线，而 另一条对角线， ( ) ( 2 ) 0O B O C O B O C O A 表明这两条对角线互相垂直，故以 ,B 一组邻边的平 行四边形为菱形 . （ 2）若向量 n 与直线 l 垂直，则称向量 n 为直线 l 的法向量，则直线 2 3 0 的一个法向 量是 （ A） A.(1,2) B.(1, 2) C.(2,1) D. (2, 1) 提示 :直线 2 3 0 的斜率为 12,则它的一个方向向量为 (2, 1) 设 ( , )n x y , 则 (2, 1) 0n , n 可以是 (1,2) . （ 3） 已知三个力1 2 3( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 3 )f f f 同时作用于某物体上一点 ,为使物体保 持平衡 ,再加上一个力4f,则4f （ D） A.( 1, 2) B.(1, 2) C. ( 1,2) D.(1,2) 提示 :由物理知识知 :1 2 3 4 0f f f f . （ 4） 已知 ( , )Px y 是椭圆 14 22 一点， 12, 12为钝角，则 x 的取值范围为 . 提示：由题设知， ( 3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) ，12( 3 , ) , ( 3 , )P F x y P F x y ， 若12钝角，则 2212 ( 3 , ) ( 3 , ) 3 0P F P F x y x y x y ， ( , )Px y 在 椭圆 14 22 ，由此得， 22 3 1 04 ，解得 2 6 2 633x . （ 5） 已知向量 ( 2 , 1 ) , (1 , 7 ) , ( 5 , 1 ) ,O P O A O B 设 X 是直线 的一点，（ O 为坐标原点）， 那么 B 的最小值是 _ 8 提示：设 (2 , ) ，则 (1 2 , 7 ) , ( 5 2 , 1 )X A X B ， 2(1 2 , 7 ) ( 5 2 , 1 ) 5 ( 2 ) 8X A X B . 例 2.从 x 轴上一点 A 向点 )6,4(M 连线延长后交 y 轴于 B 点， 若 |21| ，求 A、 B 两点的坐标 . 解：设 ( , 0 ), (0 , )A x B y ，则 ( 4 , 6 ) , ( , )A M x A B x y ，则 12B即 114 , 622x x y ， 8, 12 . A、 B 两点的坐标分别为 ( 8, 0), (0, 4) . 例 1, 0 ) , (1, 0 ), 且点 P 使 ,M P M N P M P N N M N P 成公差小于零 的等差数列 . （ 1） 点 P 的轨迹是什么曲线 ? （ 2） 若点 P 的坐标为00( , )记 为 ,N 的夹角 , 求 . 解：（ 1）记 ( , )Px y , 由 ( 1, 0 ) , (1, 0 )得 ： (1 , )M P x y ， (2, 0)， (1 , )P N x y. 2 (1 )M P M N x , N221, 2 (1 )N M N P x . 于是 ,M P M N P M P N N M N P 成公差小于零的等差数列 等价于 2 2 2 211 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 32x y x x x y ,且 2 (1 ) 2 (1 ) 0 ,即 0x . 所以点 P 的轨迹是以原点为圆心 , 半径为 3 的右半圆 . （ 2）点 P 的坐标为00( , )22 3P M P N x y , 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0| | | | ( 1 ) ( 1 ) 4 2 4 2 2 4P M P N x y x y x x x . 201c o s| | | | 4P M P P N x. 003x, 1 2 , 03. 22 0220031s i n 1 c o s 144 200s i nt a n 3 | |c o s . 例 轮以 30 海里 /小时的速度航行，在 A 点测得 海面 上油井 P 在南偏东 60 度，向北航行 40 分钟后到达 B 点，测得 油井 P 在南偏东 30 度，海轮改为北偏东 60 度航行 60 分钟到达 C 点 ,求 , 解 :由题设知 , 30,| | | | 2 0A P A B,| | 30. 北 B A P C 以 A 为坐标原点 ,向东的方向为 x 轴正方向 ,建立平面直角坐标系 , 则 (0, 20)， (1 0 3 , 1 0 ), (1 5 3 , 1 5 ) ， (1 5 3 , 3 5 )A C A B B C ， ( 5 5 , 4 5 )P C A C A P ， 22| | ( 5 3 ) 4 5 1 0 2 1 ， ,0 21 海里 . 【课内练习】 0)(,0( 向量 a 平移后的对应点的坐标为 )0,(m ，则向量 a 是 （ B） A ),( B ),( C ),( D ),( 提示： 设 ( , )a x y ，则 点 )0)(,0( 向量 a 平移后的对应点的坐标为 ( , )x y m ， 由题设得， ,x m y m . O A a O B b，则 平分线上的向量 （ B） A.| | | |. ( ),| | | |由 定 C. |D. | | | | | | |b a a 提示：|B 方向上的单位向量，| | | |以|边的平行四边形过 O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故| | | | 平分线 上 ，但 平分线上 的向量 点的位置 由 定 . 的三个顶点 ,平面内一点 P ，且 P A P B P C A B ，则点 P 与 的位置关系是 （ D） 内部 外部 上或其延长线上 上 提示 :由题设得 , 0 2 0P A P B P C A B P A P B P C B A P A P C , 2A , P 在 上 . 0,2(A 、 )0,3(B ，动点 2( , )P x y P A P B x满 足 ，则点 P 的轨迹是 （ D） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 提示： ( 2 , ) , ( 3 , )P A x y P B x y ， 2 2 2( 2 ) ( 3 )P A P B x x x y x ，化简得， 2 6 . ,足 3 , 4 , 5 ,A B B C C A 则 A B B C B C C A B的值等于 . 25 提示 : 为直角三角形 , C , 0C, 3c o s ,54c o s 5, 角的余弦为 45 , 角的余弦为 35 , 432 0 ( ) 1 5 ( ) 2 555A B B C B C C A C A A B . 1, 2)A ,若向量 (2,3)a 同向 ,| | 2 13 ,则点
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