内容简介：: 参数方程【知识网络】 1. 参数方程的概念 . 2. 曲线的参数方程与普通方程的互化 . 3. 利用曲线的参数方程解决有关问题 . 【典型例题】例 1.（ 1） 3将参数方程 222 s i n (s i 为参数 ) 化为普通方程为（ C） A 2 B 2 C 2 ( 2 3 )y x x D 2 ( 0 1 )y x y 提示：将 2 代入 22 即可，但是 20 . （ 2）参数方程为 1 (2 为参数 ) 表示的曲线是（ D） A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线提示： 2y 表示一条平行于 x 轴的直线，而 2 , 2 或，所以表示两条射线（ 3）直线112 (3332 为参数 ) 和圆 2216交于 , 中点坐标为（ D） A (3, 3) B ( 3,3) C ( 3, 3) D (3, 3) 提示： 2213(1 ) ( 3 3 ) 1 622 ，得 2 8 8 0 ， 1212 8 , 42 中点为11432333 3 42x （ 4）直线 34(45为参数 ) 的斜率为 _. 54提示： 4 5 53 4 4 （ 5）抛物线2414（ t 为参数）在 x 轴上截得的弦长为 . 提示：令 0y ，得 12t. 当 12t时， 2x ；当 12t时， 2x ，抛物线与 x 轴交于点 (2, 0), ( 2, 0) . 例参数方程1 ( ) c o ) s i e ey e e 化为普通方程：（ 1）为参数， t 为常数；（ 2） t 为参数，为常数；解：（ 1）当 0t 时， 0 , c o ，即 | | 1, 0且；当 0t 时，c o s , s i ) ( )22t t t e e e而 22s i n c o s 1，即 2222111( ) ( )44t t t e e e（ 2）当 ,k k Z时， 0y ， 1 ()2 e e ，即 | | 1, 0且；当 ,2k k Z 时， 0x ， 1 ()2 e e ，即 0x ；当 ,2k 时，得2c o i ，即222c o s s i o s s i 得 2 2 2 22 2 ( ) ( )c o s s i n c o s s i x y x 即 221c o s s i 。例 0( , )M x 的直线 l 的参数方程 . 解：设点 ( , )M x y 为直线 l 上的任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，过点0M作 x 轴的平行线，两直线相交于点 Q l 向上的方向为正方向 . 当0l 同方向或0,因00|M M M M,由三角函数定义 , 有0 0 0c o s , s i M M Q M M M; 当0l 反方向时 , 00,M M M Q Q 上式依然成立 . 设0M M t,取 t 为参数 , 0 0 0,M Q x x Q M y y , 00c o s , s i nx x t y y t , 即00c o s , s i nx x t y y t , 直线 l 的参数方程为 00c o ss x ty y t. 例 , )Px y 是圆 222x y y上的动点，（ 1）求 2的取值范围；（ 2）若 0x y a恒成立，求实数 a 的取值范围。解：（ 1）设圆的参数方程为， 2 2 c o s s i n 1 5 s i n ( ) 1 5 1 5 s i n ( ) 1 5 1 5 1 2 5 1 ,即 2的取值范围为 5 1, 5 1 . （ 2） c o s s i n 1 0x y a a ( c o s s i n ) 1 2 s i n ( ) 1 2 14a , 实数 a 的取值范围为 2 1, ) . 【课内练习】 21xt 为参数 ) 等价的普通方程为（ D） A 2 14y22 1 ( 0 1 )4y x 22 1 ( 0 2 )4y y 22 1 ( 0 1 , 0 2 )4y 2222 2 2, 1 1 , 1 ,44t t x x 而 0 , 0 1 1, 得 02y 的参数方程为21 c o s 2s （为参数），则曲线 C 上的点的轨迹是（ D） A直线 2 2 0 B以 (2,0) 为端点的射线 C圆 22( 1) 1 D以 (2,0) 和 (0,1) 为端点的线段提示：将曲线的参数方程化为普通方程得 2 2 0 ( 0 2 , 0 1 )x y x y 5(12 为参数 ) 与坐标轴的交点是（ B） A 21(0, ) ( , 0)52、B 11(0, ) ( , 0)52、C (0, 4) (8, 0) 、 D 5(0, ) (8, 0)9 、提示：令 0x ，得 25t，此时 1125 ，曲线与 y 轴的交点为 1(0, )5；令 0y ，得 12t，此时 1252 ，曲线与 x 轴的交点为 1( ,0)2. (1 为参数 ) 被圆 22( 3 ) ( 1 ) 2 5 所截得的弦长为（ C） A 98 B 1404C 82 D 93 4 3 提示：2222 21 2122 ，把直线 21 代入 22( 3 ) ( 1 ) 2 5 得 2 2 2( 5 ) ( 2 ) 2 5 , 7 2 0t t t t 21 2 1 2 1 2( ) 4 4 1t t t t t t ，弦长为 122 8 2 (14x at 为参数 ) 恒过定点 _. (3, 1) 提示：将参数方程化为乭方程得 4 ( 3 ) ( 1 ) 0x a y ，当 3x 且 1y 时，此方程对于任何 a 都成立，所以直线恒过定点 (3, 1) . 6. 直线122 (112 为参数 ) 被圆 224截得的弦长为 _. 14 提示：直线为 10 ，圆心到直线的距离 1222d ，弦长的一半为 222 1 42 ( )22，得弦长为 14 . 7. 已知曲线 22 (2x pt ty 为参数， p 为正常数 ) 上的两点 ,且120，那么 _. 14 | |数方程 222x 表示的曲线为抛物线 2 2y ，线段直于抛物线的对称轴， 1 2 1| | 2 | | 2 | 2 |M N p t t p t 8. 选取适当参数，把直线方程 23化为参数方程 . 解：选，则 23，由此得直线的参数方程为23. 也可选 1，则 21，由此得直线的参数方程为 121. 可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程 . 20c o i v ty v t g t . （ 1）求发射角3时，弹道曲线的普通方程和射程；（ 2）设0 可以变动，求证：当4时射程最大 . 解：（ 1）发射角3时，弹道曲线的参数方程为020123122x v ty v t g t ，由012x v t，得02xt v ，代入 203122y v t g t并化简，得 2202 3gy x . 令 0y ，得 2032 0x ，可知射程为 2032弹道曲线的普通方程为2202 3gy x ，射程为 2032 （ 2）证明：由弹道曲线的参数方程 020c o i v ty v t g t 消去 t ，得到它的普通方程为 22201t a n2 c o x ，由（ 1）知，射程为 20 v g ， 02， 02，当4时射程最大，为 202116 12上找一点，使这一点到直线 2 1 2 0 的距离的最小值 . 解：设椭圆的参数方程为 4 c o s ， 4 c o s 4 3 s i n 1 25d 4 5 4 5c o s 3 s i n 3 2 c o s ( ) 35 5 3 当 co s( ) 13 ，即 53时，，此时所求点为 (2, 3) . 作业本化为以 t 参数的参数方程是（ D） A1212 B t C t D t 提示： 1， x 可取一切非零实数，而 A， B， C 中的 x 都取不到一切非零实数 . 2. 直线： 3 4 9 0 与圆： 2 （其中为参数）的位置关系是（ D） A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但直线不过圆心提示：圆的普通方程为 224，圆心 (0,0)O 到直线 3 4 9 0 的距离为 9,59025. 2 c o s （为参数）的焦距为（ B） A 21 B 2 21 C 29 D 2 29 提示：椭圆的普通方程为 22( 4 ) ( 1 ) 14 2 5，椭圆可通过平移将其方程化为 2214 25， 5, 2 1 . l 的参数方程为 (x a t ty b t为参数 ) ， l 上的点1点1 , )之间的距离是 . 12| |2 2 21 1 1 1 1| | ( ) ( ) 2 2 | |P P a t a b t b t t 距离为 221 1 12t t t. 与圆 4 2 c o s2 s 相切，则 _. 6，或 56提示：直线为，圆为 22( 4 ) 4 ，圆心为 (4,0) ，由2s i n| 4 | 4 t a n | c o s | 4 s i n | 211 t a n |c o s ， 1或 1， 6或 56. 6. 动点 M 作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12 ，运动开始时，点 M 位于 (1,1)A ，求点 M 的轨迹的参数方程 . 解：设动点运动的时间为 t ，点 M 的坐标为 ( , ) 由题设知， 1 9 , 1 1 2 ( 0 )x t y t t ，点 M 的轨迹的参数方程为 191 12（ 0t ） . 1，求直线被圆 224截得的弦长 . 解：把直线的参数方程代入圆的方程，得 22(1 ) (1 ) 4 ，得 2 1t ， 1t 或 1t ，分别代入直线方程，得 1202,20，直线与圆的交点为 (0,2)A 和 (2,0)B ， | | 2 2，即直线被圆所截得的弦长为 22. 8. 设直线 : 3 8 7 2 0l x y ，椭圆 22:11 0 0 2 5 到直线 l 的最小距离（即椭圆

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