内容简介：: 曲线的极坐标方程【知识网络】 1. 曲线的极坐标方程的意义 . 2. 直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程 . 【典型例题】例 1.（ 1）化极坐标方程 2 c o s 0 为直角坐标方程为（ C） A 2 0y2x 或 1y B 1x C 2 0y2x 或 1x D 1y 提示： 22( c o s 1 ) 0 , 0 , c o s 1x y x 或（ 2）在平面直角坐标系中，以点 (1,1) 为圆心， 2 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（ A） A 2 2 c o s ( )4B 2 2 s i n ( )4C 2 2 c o s ( 1 ) D 2 2 s i n ( 1 ) 提示：圆的直角坐标方程为 22( 1 ) ( 1 ) 2 ，化为极坐标方程为 22( c o s 1 ) ( s i n 1 ) 2 ， 2 2 c o s ( ) 04 ，曲线 2 2 c o s ( ) 04 也过极点， 2 2 c o s ( ) 04 与 2 2 c o s ( ) 04 等价，对应的极坐标方程为 2 2 c o s ( )4. （ 3）极坐标方程 c o s 2 s i n 2 表示的曲线为（ C） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆提示： 2c o s 4 s i n c o s , c o s 0 , 4 s i n , 4 s i n 或即则 ,2k 或 224x y y （ 4）极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为 _. 22提示 :圆心分别为 1( ,0)2和 1(0, )2（ 5）极坐标方程 32 4 c o s 表示的曲线是 . 双曲线提示： 32 4 c o s 等价于321 2 co s ， 2e . 例的直线与圆 22( 1) 1的一个交点为 P ，点 M 为线段中点，当点 P 在圆上移动一周时，求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线 . 解：圆 22( 1) 1的极坐标方程为 2 ()22 ，设点 P 的极坐标为11( , )，点 M 的极坐标为 ( , ) ，点 M 为线段中点， 112, ，将112, 代入圆的极坐标方程，得 . 点 M 轨迹的极坐标方程为 ()22 ，它表示原心在点 1( ,0)2 ，半径为 12 的圆 . 例 3. 过抛物线 2 8的焦点 F 作倾斜角为4的直线，交抛物线于 ,线段的长度 . 解：对此抛物线有 1, 4，所以抛物线的极坐标方程为 41 ， , 和 54 ， 4| | 4 ( 2 2 )1 c o s 4 ， 4| | 4 ( 2 2 )51 c o s 4 ， | | | | | | 1 6A B F A F B . 线段长度为 16 . 例 4. 长为 2a 的线段，其端点在和正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为 M ，求点 M 的轨迹的极坐标方程（为极轴），再化为直角坐标方程 . 解：设线段的端点分别为 , 在正方向上， B 在的正方向上，设点 M 的极坐标为 ( , ) ，则 O B M A O M ，且 | | 2 a ， | | c o s 2 s i n c o s s i n 2O A a a ，点 M 的轨迹的极坐标方程为 s i n 2 ( 0 )2a . 由 a 可得 322 s i n c o ， 3222( ) 2x y a 其直角坐标方程为 322 2( ) 2 ( 0 , 0 )x y a x y x y . 【课内练习】坐标方程 2 c o s 2 1 6 化为直角坐标方程是（ C） A 2 16x B 2 16y C 2216 D 2216 提示： 2 2 2 2 2 2c o s 2 1 6 ( c o s s i n ) 1 6 1 6 . 0 表示的曲线为（ D） A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线提示： c o s 2 0 , c o s 2 0 ,4k ，为两条相交直线 c o s 5 3 s i n 的圆心坐标是（ A） A 4( 5, )3B ( 5, )3C (5, )3D 5( 5, )3提示：圆的普通方程为 225 5 3( ) ( ) 2 522 ，圆心为 5 5 3( , )22，半径为 5 . 5 5 3c o s , s i . 4. 两直线和 c o s ( ) a 的位置关系是（） A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D 重合提示：的直角坐标方程为 c o s ( ) a 化为直角坐标方程为 c o s s i n 0x y a ，其斜率为，直线的斜率为，两直线互相垂直（2时也成立） . 5. 设曲线的普通方程为 2 2 2x y R ,则它的极坐标方程为 . R 提示：用 c o s , s i 代入即得 . c o s s i n 0的极坐标方程为 _. 2k 提示：直线的极坐标方程为 c o s ( ) 0 . 2, )2M ,且平行于极轴 ,则它的极坐标方程为 . 提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为 2y . 的弦 ,求各弦中点的轨迹方程 . 解 :设所求曲线上的动点 M 的极坐标为 ( , ) ,圆 2 上的动点的极坐标为11( , )由题设可知 , 11 2,将其代入圆的方程得 : c o s ( )22a . 所求的轨迹方程为 c o s ( )22 . co ，求此曲线的直角坐标方程，并讨论 e 在不同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中 e 和 p 为正的实常数） . 解：方程写成 c o se ，将 22和代入，得 22x y ex ，即 22x y ex ，两边平方，得 2 2 2 2 2 2 22x y e x e p x e p 整理得， 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 0e x y p e x e p . 由上述方程可知，当 1e 时，方程表示双曲线；当 1e 时，方程表示抛物线；当 01e时，方程表示椭圆 . 10. 过椭圆 2 2 2 2 2 2b x a y a b的左焦点作直线，交椭圆于 ,明： 11| | | |B为定值 . 证明：椭圆 2 2 2 2 2 2b x a y a b方程可化为 221， 2 2 2 2,c a a c be p ca c c c ，以椭圆的左焦点极点， x 轴正方向为极轴的方向建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为21 c o . 设点 A 的极坐标为 ( , ) ，则点 B 的极坐标为 ( , ) ， 22 21 c o s 1 c o s ( )1 1 2| | | | F B 为定值 . 作业本角坐标方程 2 12化为极坐标方程1 时，极点和 a 的值分别是（ D） A 坐标原点 ,12O B 坐标原点 ,6O C 焦点 ,12F D 焦点 ,6F 提示：由直角坐标方程 2 12知， 6p ，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知，极点是圆锥曲线的焦点 . 2. 设曲线的极坐标方程为 2 s i n ( 0 ),则它表示的曲线是（ D） A 圆心在点 ( ,0)a 直径为 a 的圆 B 圆心在点 (0, )a 直径为 a 的圆 C 圆心在点 ( ,0)a 直径为 2a 的圆 D 圆心在点 (0, )a 直径为 2a 的圆提示：曲线的直角坐标方程为 2220x y a y ，即 2 2 2()x y a a . 相切的一条直线的方程为（ A） A B C 4 s )3D 4 s )3提示： 4 的普通方程为 22( 2 ) 4 ，的普通方程为 2x 圆 22( 2 ) 4 与直线 2x 显然相切 4. 设曲线的极坐标方程为 4 ,则它的直角方程为 . 2240x y x 提示： 4 与 2 4 co s 等价 . 2,0)M ,且垂直于极轴 ,则它的极坐标方程为 . 6. 过抛物线 2 4的焦点 F 作倾斜角为的直线，交抛物线于 , 11| | | |B的值 . 解：抛物线 2 4中， 2p . 在以抛物线的焦点 F 为极点，为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为 21 ，设 A 点的极坐标为 ( , ) ，则点 B 的极坐标为 ( , ) ，则 1 1 1 c o s 1 c o s 1| | | | 2 2F A F B ， 11| | | |B的值为 1 . 7. 一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上 0 千米时，极半径和轨道的轴成3角且求它的近日点离太阳的距离 . 解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，设轨道的极坐标方程为1 ，因为3时， 0 ， 81 . 6 1 0 21 c o s 3p p ， 78 10p ，轨道的极坐标方程为 78 101 ，当时， 74 10 . 这颗慧星轨道的极坐标方程为 78 101 ，它的近日点离太阳的距离为 74 10 千米 . 引一条直线和圆 2 2 22 c o s 0a a r 相交于一点 Q ，点 P 分线段成比 :点 Q 在圆上移动时，点 P 的轨迹方程，并指出它表示什么曲线

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