2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］
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元一次不等式组与简单的线性规划问题 【 知识网络 】 1、 二元一 次 不等式组以及可 化 成二元一次不等式组的不等式的解法； 2、 作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值； 3、 线性规划的实际问题和其中的整点问题。 【 典型例题 】 例 1： （ 1） 已知点 P（ 点 A（ 1， 2）在直线 0823: 异侧，则（ ） A 02300 00 23 C 82300 82300 D。解析：将（ 1， 2）代入 l 得小于 0，则003 2 8 0 。 （ 2） 满足 2 整点的点（ x， y）的个数是 （ ） A 5 B 8 C 12 D 13 答案： D。解析：作出图形找整点即可。 （ 3） 不等式 (x 2y 1)(x y 3) 0 表示的平面区域是 （ ） 答案： C。 解析：原不等式等价于0301203012 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域 （ 4） 设实数 x, y 满足 202 4 02 3 0 ，则 答案 : 32。解析：过点 3(1, )2时， 2。 （ 5） 已知 1224 ，求 42t a b的取值范围 答案： 10,5 。 解析：过点 31( , )22时有最小值 5，过点（ 3， 1）时有最大值 10。 例 2： 试求由不等式 y 2 及 |x| y |x| 1 所表示的平面区域的面积大小 答案 : 解：原不等式组可化为如下两个不等式组： 210210 它所围成的面积 S21 4 221 2 1 3 例 3： 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x) 2x ( )求函数 g(x)的解析式； ( )若 h(x) g(x) f(x) 1在 1， 1上是增函数，求实数 的取值范围 。 答案 : ( )设函数 y f x 的图象上任意一点 00,Q x ,P x y ，则00000, ,y y y 即 点 00,Q x y f x 的图象上 2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x ， 即 故 （ ） 21 2 1 1h x x x 1 4 1 1 , 1h x x 当 时 ， 在 上 是 增 函 数 ，1 当 时 ， 对 称 轴 的 方 程 为） 11 1 , 1 当 时 , 解 得） 11 1 , 1 0 , 解 得 0. 综 上 ， 例 4： 要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要 A、 B、 C 三种规格的成品分别为 15、 18、 27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？ 答案 :：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，则 00273182152x， y 都是整数 求目标函数 z x y 取得最小值时的 x， y 的值 如图，当 x 3， y 9 或 x 4， y 8 时， z 取得最小值 需截第一种钢板 3 张，第二种钢板 9 张或 第一种钢 板 4 张，第二种钢板 8 张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少 【 课内练习 】 1 双曲线 224的两条渐近线及过（ 3， 0）且平行其渐近线的一条直线 与 x=3 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ） A、003003 B、003003 C、003003 D、003003 答案： A。解析：双曲线 224的两条渐近线方程为 ， 过（ 3， 0）且平行于 的直线是 3 和 3 ，围成的区域为 A。 2 给出平面区域如下图所示，其中 A（ 5， 3）， B（ 1， 1）， C（ 1， 5），若使目标函数 z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 ） A32B21C 2 D23答案 :B。解析： 11,22 ， 即 12a。 3 设集合 ( , ) | , , 1 A x y x y x y 是三角形 的三边长 ，则 A 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分 )是 ( ) 答案 :A。解析：12111,21 12y x yx y x y xy x x ，故选 A A(3,1)B(7,9)某实验室需购某种化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元在满足需要的条件下，最少要花费 元 答案 : 500。解析：设需第一种原料 x 袋，第二种原料 y 袋， 3 5 2 4 1 0 6,y N ，令140 120z x y，过（ 1， 3）时 00z 元。 5 已知 20402 5 0 ， 求 | 2 4 |z x y 的最大值为 。 答案： 21。解析：可行域如图，当 3, 1时，m 2 4 ) 1 ，于是可知可行域内各点均在直线 2 4 0 的上方，故 2 4 0 ，化简得 24z x y 并平行移动，当过C（ 7， 9）时，1z 。 6 要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小 钢板的块数如下表所示： 类 型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板 1 1 3 每张钢板的面积 ,第一种为 21m ,第二种为 22m ,今需要 A、 B、 C 三种规格的成品各 12、 15、 27 块 ,问各截这两种钢板多少张 ,可得所需三种规格成品 ,且使所用钢板面积最小？ 答案：解：设需截第一种钢板 x 张 ,第二种钢板 y 张 ,所用钢板面积为 2 则有0,0,273,152,12如图 ) 目标函数为 作出一组平行直线 2 (t 为参数 ) 12 ,273yx ),215,29(A 由于点 )215,29(A 不是可 行域 内的 整数 点 , 而 在可 行域 内的 整数点 中 , 点 (4,8) 和点 (6,7) 使 z 最小 , 且20726824m z . 答 :应截第一种钢板 4 张 ,第二种钢板 8 张 ,或第一种钢板 6 张 ,第二种钢板 7 张 ,得所需三种规格的钢板 ,且使所用的钢板的面积最小 . 7 已知 3 x 6，31x y 2x，求 x y 的最大值和最小值 答案：原不等式组等价于363020 作出其围成的区域如图所示， 将直线 x y 0 向右上方平行移动， 当其经过点（ 3， 1）时取最小值，当其经过（ 6， 12）时取最大值 (x y) 3 1 4， (x y)6 12 18 即 x y 的最大值和最小值分别是 18 和 4 8 一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每 3 份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半该厂每天能获得的原料是 2000L 李子汁和 1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产 1L 甲种饮料得 3 元，生产 1L 乙种饮料得 4 元那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？ 答案 :（ 1）列表 李子汁 苹果汁 获得利润 分配方案 甲 3/4 1/4 3 元 x 乙 1/2 1/2 4 元 y 受限条件 2000L 1000L （ 2）线性约束条件 312000421110004200 （ 3）作出可行域： 图略。 （ 4）构建目标函数 34z x y，即 3144y x z （ 5）求出满足条件的最大值： 2 0 0 0 , 1 0 0 0时， z 取到最大值 10000 9 预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1 5 倍，问桌、椅各买多少才行？ 答案 :：设桌、椅分别买 x， y 张，则 0, 0 02050x， y N* 3 -1 y x O 由0002050 解得72007200 A 的坐标为（7200,7200） 由得27525 点 B 的坐标为（ 25，275） 所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分 由图形直观可知，目标函数 z x y 在可行域内的最优解为（ 25，275），但 x， y N*，故 y 取 37 买桌子 25，椅子 37 是满足题设的最好选择 【 作业本 】 A 组 1 如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为 （ ） A、 3 3 0 B、 3 3 0 C、 3 3 0 D、 3 3 0 答案 :C。解析：用（ 0， 0）代入验证。 2 设点 ( , )Px y ，其中 ,x y N ，满足 3的点 P 的个数为 （ ） A、 10 个 B、 9 个 C、 3 个 D、无数个 答案 :A。解析： x,y 可取 0， 1， 2， 3 且满足条件即可。 3 不等式组31表示的区域为 D，点 0， 0， 0），则 （ ） A 21 且 B 21 且 C 21 且 D 21 且 答案： C。解析： 代入检验。 4 设 , 2 12,0 3,0 则使得目标函数 65z x y的值最大的点 ( , ) 答案 : (2,3) 。解析：作出可行域即可发现。 5 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力 限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为 货物 体积（每箱） 重量（每箱） 利润（每箱） 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制 24 13 答案： 4 ， 1。解析：设甲、乙各托运的箱数为 x,y，则 5 4 242 5 13， 20 10z x y， 2 2 0 当过（ 4， 1）时有最大值。 6 试求由不等式 |x| |y| 1 所表示的平面区域的面积大小 答案 :原不等式等价于0,0,10,0,10,0,10,0,1 S ( 2 )2 2 7 已知 ( ) ( 3 1 ) , 0 , 1 f x a x b a x ，若函数 ( ) 1恒成立，求 a+ 答案：已知 ( ) 1恒成立，则 102 2 0 作出可行域 令 z a b ，当 z a b 经过 由 102 2 0 解得 14( , )33A，3z 。 8某企业生产 A、 B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表： 产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦） A 产品 3 9 4 B 产品 10 4 5 已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电 200 千瓦，试问该企业生产A、 B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？ 答案：设生产 A、 B 两种产品各为 x、 y 吨，利润为 z 万元，则 0,020054360493001037x 12y 作出可行域，如图阴影所示 当直线 7x 12y 0 向右上方平行移动时，经过 M（ 20， 24）时 z 取最大值 该企业生产 A、 B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时，才能获得最大利润 B 组 1 若 x， y 满足约束条件00012则 x 2y 的最大值为 （ ） A 0 B21C 2 D以 上都不对 答案： C 解析：约束条件所表示的可行域如图所示 当直线 x 2y 0 平行移动到经过点（ 0， 1）时， x 2y 取到最大值 0 2 1 2 2 已知点 ( 3, 1)A 与点 (4, 6)B 在直线 3 2 0x y a 的两侧，则 a 的取值范围 （ ） A、 ( 24,7) B、 ( 7,24) C、 ( , 2 4 ) ( 7 , ) D、 ( , 7 ) ( 2 4 , ) 答案 :B。解析： ( 9 2 ) ( 1 2 1 2 ) 0 , 7 2 4a a a 。 3 不等式组 13 1xy 示的平面区域的面积为 （ ） A、 2 B、23C、223D、 2 答案 :B。解析：区域的顶点 1 1 1 1 3( , ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , 2 ( 1 )2 2 2 2 2S 。 4 的三个顶点坐标分别为 ( 0 , 4 ) , ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )A B C ，则 内任意一点( , )满足的条件为 答案 : 0242 4 0 。解析：分别计算三边的直线方程，然后结合图形可得。 5 已知点 P（ 1， 其关于原点的对称点均在不等式 012 示的平面区 域内，则 b 的取值范围是 答案： )21,23( 。解析： P（ 1， 2）关于原点的对称点为（ 1， 2）， 2 2 1 0 31,2 2 1 0 22b 。 6 已知 的三边长 ,b c a ，2c a b ，求 答案 ： 解：设 则121210 , 0y ， 作出平面区域（如右图）， y x O 1 A B C D 1 1 2 12 1 2 1 1 由图知： 21( , )33A， 31( , )22C， 2332x，即 2332 7. 已知 x、 10303求 z=3x+ 答案 :最大值 311最小值 3X(1= 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180 t 支援物资的任务，该公司有 8辆载重为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次， B 型卡车 3 次，每辆卡
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