2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］
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本不等式的 应用 【 知识网络 】 1、 不等式的实际应用性问题； 2、 基本不等式的综合应用； 3、 函数等其它知识和不等式的综合应用。 【 典型例题 】 例 1： （ 1） 设偶函数 f (x)=x b|在 (， 0)上递增，则 f (a+1)与 f (b+2)的大小关系是 （ ） A f(a+1)=f (b+2) B f (a+1)f (b+2) C f(a+1)1),AB=c,AC=b,1. c2=a2+, 将 c=a2+化简得 b( a1, . b= 2 141= 2 3( 1) 2 2 41 =()1(4 3a+2 3 +2. 当且仅当 1(4 3“ =” ,即 a=1+23时 ,+ 3 . 8 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速直达 B 市。已知两地铁路线长 400 了安全，两列货车的间距不得小于 )20(（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到 B 市最快需要多少小时？ 答案：这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 24 0 0 1 6 ( ) 4 0 0 1 6 4 0 0 1 6202 8 ( )4 0 0 4 0 0v v v 9 （ 1） 设不等式 2x 1 m(1)对满足 |m| 2 的一切实数 m 的取值都成立，求 x 的取值范围； （ 2）是否存在 m 使得 不等式 2x 1 m(1)对满足 |x| 2 的一切实数 x 的取值都成立 答案： (1)解：令 f(m) 2x 1 m(1) (1 x2)m 2x 1，可看成是一条直线，且使 |m| 2的一切实数都有 2x 1 m(1)成立。 所以， 02)f( 0)2( f ，即032122 ，即27111或所以，2 137 。 (2) 令 f(x)= 2x 1 m(1)= x+(m 1)，使 |x| 2 的一切实数都有 2x 1 m(1)成立。 当 0m 时， f(x)= 2x 1 在 221 f(x) 0 。（不满足题意） 当 0m 时， f(x)只需满足下式： 01 2( 2) 0或01200 或 0(2) 0( 2) 0 解之得结果为空集。 故没有 m 满足题意。 10 已知 )(定义在 1， 1的奇函数，且 f(1)=1，若 a、 b 1， 1， a+b 0 时，有 ( ) ( ) 0.f a f （ 1）判断函数 )( 1， 1上是增函数还减函数，并证明你的结论； （ 2）解不等式 );11()21( 3）若 1,1,1,1,12)( 2 所有恒成立，求实数 m 的取值范围 . 解 析 ：（）证明：设 1， 1，且 f( f(,故上式两边开方得 2a+b+c 2 4 2 3=2 2( 3 1) =2 3 3 某商场的某种商品的年进货量为 1 万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需 运费 100 元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件 2 元，为使一年 的运费和租金最省，每次进货量应为 （ ） A 200 件 B 5000 件 C 2500 件 D 1000 件 答案： D 解析： 设每次进 x 件 ， 费用为 y 元， 由1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0222 =2000，仅当 1000000 1000 时 y 最小 。 4 若正数 满足 3 则 取值范围是 答案 : ),9 。解析： 3 2 3 , 3a b a b a b a b ，即 9。 5 要挖一个面积为 432矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为 3m， 4m 的堤堰， 要想使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 答案：长 24 米，宽为 18 米 。解析：设鱼池的长 宽分别 为 x， 432, 2 2 5 9 2( 6 ) ( 8 ) 4 3 2 4 8 8 4 8 0 2 8 8 7 6 8S x ，仅当 25928x x 即 18x ，43224x 时等号成立。 6 对于满足 0 p 4 的实数 p ，使 342 成立的 x 的取值范围是 答案 ： x3 或 x0,b0,a,b 的等差中项是21,且 =a+=b+ +的最小值。 答案： 5。解析： 1 1 11 , 1 2a b a b a ba b a b ， 1 ,54 。 8 某单位建造一间地面面积为 12背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房 子侧面的长度 x 不得超过 a 米，房屋正面的造价为 400 元 /屋侧面的造价为 150 元 /顶和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用 （ 1）把房屋总造价 y 表示成 x 的函数，并写出该函数的定义域 ； （ 2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？ 答案：（ 1）由题意可 得， 123 ( 2 1 5 0 4 0 0 ) 5 8 0 0 )0(5800)16(900 （ 2） 5 8 0 01629005 8 0 0)16(900 3000 当且仅当6即 4x 时取等号。 若 4a ， 4x 时，有最小值 13000。 若 4a 任取 2121 ),0(, 且 5 8 0 0)16(9005 8 0 0)16(900221121 212111169 0 0 212121 16900 xx 16,0, 2212121 021 80016900 a,0 上是减函数 5800)16(900, 最小值时当 B 组 1 设 f(x)= 1232 , 2 ,l o g ( 1 ) , 2 , 则不等 式 f(x)2 的解集为 ( ) A.（ 1， 2） （ 3， +） B.（ 10 ， +） C.（ 1， 2） （ 10 ， +） D.（ 1， 2） 答案 : 132 2, , (1 , 2 ) ( 1 0 , )l o g ( 1 ) 2 22xx x xx e 。 2 已知 1273,023 的最小值是 （ ） A. 393 B. 221 C. 6 D. 7 答案 :D。解析： 3 2 23 3 1 3 3 1 2 3 1 7x y x x 。 3 2 134的解集是 0,4 ，则 a 的取值范围是 （ ） 5,( B. ,35 C. ,355,( D. )0,( 答案 : 数形结合即可得。 4 对于任意实数 x，不等式 22 2 2 4 0a x a x 恒成立，则实数 答案 : ( 2。解 析： a=2 时成立， a 2 时 20, 2 20a a ，综上 22a 。 5 已知直线 l 过点 )1,2(P ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 两点， O 为坐标原点，则三角形 积 的最小值为 . 答案 : 4。 解 析 ： 设直线 l 为 1 ( 0 , 0 )xy ，则有关系 211。 2 1 2 1 2 212a b a b ，即 8 于是， 积为 1 42S 6 一变压器的铁芯截面为正十字型 ,为保证所需的磁通量 ,要求十字应具有 254 的 面积，问应如何设计十字型宽 x 及长 y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省 答案：解：设 ,2 由条件知 : ,5442 即 245 ,4 xh x设外接圆的半径为 R，即求 R 的最小值， 2 2 2 2 22 2 42222224 ( 2 ) 2 ( 2 2 ) ,2 ( 4 5 ) 8 0 8 52 ( )4 85 1 0 2 55 ( 0 2 ) , 2 5 2 5 5 ,84R x h x x h x hx x xR f x x R 仅当 ,21085 22 当 2x 时 小，即 R 最小，从而周长 l 最小，此时 2 , 2 ( 5 1 ) .x c m y h x c m 7 某校要建一个面积为 392 且在四周要修建出宽为 2 图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。 答案 :解：设游泳池的长为 x m，则游泳池的 宽为 392x m, 又设占地面积为 y 题意，得 )439 2)(8( 424 4(x784x ) 424 224 =648 当且仅当 x=784x 即 x=28时取“ =” . 答：游泳池的长为 28 37 地面积最小为 648 8、已知函数 ()定义域为 0， 1，且同时满足： (1) 3f ； ( ) 2恒成立； 若1 2 1 20 , 0 , 1x x x x ，则有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2f x x f x f x 。 （ 1） 试求 函数 ()最大值和最小值； （ 2）试比较 1()22n+2的大小（ n N） ; （ 3）某人发现：当 1()2nx n N时，有 ( ) 2 2f x x，由此他提出猜想：对一切 0,1x ，都有 ( ) 2 2f x x，请你判断此猜想是否正确，并说明理由。 解析：（ 1）设 1201，则必存在实数 (0,1)t ，使得 21x x t， 由条件 得， 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ( ( ) ( ) 2f x f x t f x f t f x f x f t ， 由条件 得， 21( ) ( ) 0f x f x，故当 01x 时，有 (0) ( ) (1)f f x f。 由条件 中，令 120, 1，得 (1) (1) (0 ) 2f f f ，即 (0) 2, (0) 2 ，故函数 ()最大值为 3，最小值为 2。 （ 2）在条件 中，令1212，得111( ) 2 ( ) 222，即11 1 1( ) 2 ( ) 2 222 ， 故当 n 1 2 2 01 1 1 1 1 1 1 1( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2n n n n nf f f f ， 即 11( ) 22
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