2009年高三数学一轮复习书稿(新课程)［整理86套］
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种常见的 平面变换 【 知识网络 】 1、 以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义 ； 2、 矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即 A A A 1 2 1 2 ； 3、 通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 【 典型例题 】 例 1：（ 1） 平面上任意一点在矩阵510 01 的作用下 ( ) A. 横坐标不变 ,纵坐标伸长 5倍 B. 横 坐标不变 ,纵坐标缩短到51倍 C. 横坐标 ,纵坐标均伸长 5倍 D. 横坐标 ,纵坐标均缩短到51倍 答案： B。 （ 2） 表示 ( ) A. 10 01B. 10 01C. 01 10D. 10 01答案： D。 （ 3） 已知二次曲线 222 3 2 0x x y y x y ，若将其图形绕原点逆时针旋转 角后 (0 )2，所得图形的新方程式中不含 ，则 = （ ） A、 30 B、 45 C、 60 D、 75 答案： C。解析： 由已知得旋转变换矩阵 M= co s co sT： c o s s i ns i n c o sx x x yy y x y ，从而有 c o s s i ns i n c o sx x yy x y 代入原二次曲线方程，得到关于 ,的新方程式，要使其中不含 ,项，必须满足222 s i n c o s 3 ( c o s s i n ) 0 ，即 3 ， ( 0 , ) ,23 。 （ 4） 设 三个点坐标为 O(0,0),A(a1,B(b1,在矩阵 M= 1 1对应的变换下作用后形成 则 的面积之比为 _ 。 答案： 1： 1。解析： 由题意知 变换前后的图形面积大小不变。 （ 5） 函数 3在矩阵 M= 1 010 2变换作用下的结果是 。 答案： 3 解析： 本变换是伸压变换 。 例 2： 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。 （ 1） 10 01方程为 22 （ 2） 10 01点 A（ 2， 5）； （ 3） 10 02曲线方程为 422 答案： （ 1） 所给方程表示的是一条直线。 设 A（ x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为： A（ x1, 0110 变换后的方程仍为： 该变换是恒等变换。（图略） （ 2）经过变化后变为（ 5），它们关于 该变换为关于 （ 3）所给方程是以原点为圆心， 2 为半径的圆，设 A（ x,y） 为曲线上的任意一点，经过变换后的点为 ),( 111 则1111 ,2210 02 将之代入到 422 得方程 4142121 此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换。 例 3： 将双曲线 C： 221上点绕原点逆时针旋转 45，得到新图形 C ，试求 C的方程。 答案： 由题意，得旋转变换矩阵 M=22 -c o s 4 5 - s i n 4 5 22s i n 4 5 c o s 4 5 2222，任意选取双曲线 221上 的一点00( , )P x y，它 在变换 用下变为00( , )P x y ，则 有图 2 图 1 X X Y Y O O A（ 2， 5） A （ 5） X O Y M= 00 ，故0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 022( ) ( ),( ) ( )22x x y x x yy x y y y x ，又因为点 P 在曲线221上，所以 22001，即有 0021 。 所求的 C 方程为 12 例 4： 研究直线 3 2 1 0 在矩阵 1 01 对应的变换作用下变成什么图形，并说 明其几何意义 。 答案： 任取直线 3 2 1 0 的一点00( , )P x y，它在矩阵 1 01 对应的变换作用下变为00( , )P x y ，则有 001 01 - 1 ，故 000 0 0,y y 即 000 0 0x y又因为点 2 1 0 上，所以003 2 1 0 即有0 0 0 0 03 2 ( ) 1 0 , 2 1 0x x y x y 从而直线 3 2 1 0 在矩阵 1 01 作用下变成直线 2 1 0 。 其几何意义是：把直线 3 2 1 0 上的每一点沿垂直于直线 2 1 0 的方向投影到该直线上。 【 课内练习 】 1 下列矩阵是二阶单位矩阵的是 （ ） A、 1 00 1B、 0 11 0C、 1 00 0D、 0 00 1答案： A。解析： 由定义知 。 2 坐标平面上将一个三角形分别作投影、伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得到的新图形一定与原三角形全等的个数为 （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 答案： B。解析： 只有旋转、反射变换满足 。 3 将圆 221在矩阵 A= 00 对应的伸压变换下变成一个椭圆 22 14，则 （ ） A、 32B、 3 C、 54D、 5 答案： B。解析： 由已知得 1, 2。 4 在矩阵 1 02 1变换下，点 A(2,1)将会转换成 。 答案： (2,5)。解析： 1 0 1 22 1 2 5 。 5 若直线 40 在矩阵 M= 1-1 对应的变换作用下，把自己变为自己，则 , 。 答案： 0， 2。解析： 由题意知 0 0 0 00 0 0 0x x a x yy y x b y ，故00000011bx ，易求得 0, 2。 6 曲线 C 在伸压变换下 T： ( , ) ( , ) ( 2 ,x y x y x y）作用得到 2的图象，则曲线 C 的方程为 。 答案： 2 。解析： 由已知，曲线 C 上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横坐标变为原来的 2 倍，即将 2的图象上每一点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的 一半，故曲线 C 的方程为 2 。 7 直线 1在矩阵 A 对应的变换作用下变成直线 1x ，则 A 。 答案： 1 1。 8 试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成了什么图形 ?画图并指出该变换是什么变换？ （ 1）1001- 点： （ 2， 1） （ 2）2110点：（ 2， 1） 答案： （ 1）、解：1001-12=21，）经过变化后变为 A（，）该变换是把向量 绕着 原点逆时针旋转 得到向量 该变换为旋转变换。变换图形如图。 （ 2）、解：2110 12=52即点：（，）经过变化后变为 A（，） X O 图 1 A（，） X O 图 2 A（ 2， 5） A（ 2， 1） A（ 2， 5）。该变换为沿 变换图形如图 2。 9 研究双曲线 221在矩阵 1 1作用下变换得到的图形，并说明变换的几何意义 。 答案： 设所求图形上任一点为 ( , )与之对应的原图形上的点为00( , ) 则 0 0 00 0 01 - 1 ,- 1 1x x x y y x y ， 0 ( 0 )x y x ，图形略。 其变换的几何意义是把双曲线上的任一点垂直投影到 0 上。 10 已知矩阵 M= 1 23 4，向量 =11， = 20（ 1）试验证下列等式成立： M( + )=对任意实数，有 M( + )= (+ (; （ 2）对于本题条件加以推广，定出推广后的命题，不要求证明。 答案： （ 1）证明 M( + )= M 1 2 1 2 3 51 0 3 4 1 1 3 ， 37， 26， 513，故 M( + )= （ 2） M( + )= M 2 1 2 2 3 20 3 4 7 6 (= 3377 ， (= 2266 ， (+ (= 3276故 M( + )= (+ ( （ 2）推广的命题：已知二阶非零矩阵 M，向量 11， 22，那么对任意实数，有 M( + )= (+ (。 【 作业本 】 A 组 1 变换 1的几何意义为 ( ) B. 关于 C. 关于原点反射变换 答案： B。 2 下列矩阵表示伸压变换的是 （ ） A、 0 20 1B、 0 02 1C、 2 00 1D、 2 10 1 C。解析： 根据伸压变换的定义知 。 3 直线 1在矩阵 1 变换下变成的 图形是 （ ） A、直线 B、线段 C、点 D、射线 答案： C。解析： 任取直线 1上一点00( , )P x y，它在矩阵 1 变换下变成00( , )P x y ，则有 001 - 11 - 1 ，故 0 0 00 0 011x x yy x y ，因此，直线 1在矩阵1 作用下变成点（ 1， 1） 。 4 图形 F= ( , ) | 0 2 , 0 2x y x y ，经过切变变换 1 40 1后的图形 F的周长为 。 答案： 4 10 4 。解析： 图形 F 为正方形，经切变变换后变为平行四边形 ，且各顶点依次为 (0,0),(2,0),(8,2),(6,2)，故其周长为 4 10 4 。 5 已知平面四边形 旋转变换作用下变成四边形 ，那么 下 面基本量： 四边形的面积； 四边形的形状； 四边形的周长； 四边形的顶点坐标。 其中不改变的有 。（写出所有正确的序号） 答案： 。解析： 由旋转变换的性质知 。 6 写出对直线 0的反射矩阵 M。 答案： 设平面上任一点00( , )P x y，它在矩阵 M 对应的变换作用下变为 ( , )P x y ， 则0000001,022x y y ，又 00 M 00， M= 0 0。 7 如图所示，已知正三角形 中 A（ 2， 2）， 求点 B 的坐标 。 答案： 由已知 A（ 2， 2）绕原点逆时针旋转 60 后移到 00( , )B x y，因此，得旋转变换矩阵 M= c o s 6 0 - s i n 6 0s i n 6 0 c o s 6 0， M 2 1 - 32 1 3 ， 点 1 3 ,1 3。 研究圆 224在矩阵11 22作用下变换得到的图形。 解：设所求图形上任一点 ( , )Px y ，与之对应的原图形上的点为0 0 0( , )P x 0 000 0 0 0 011 2 2,11 22 22x y x y x y ，又00( , )24上 0 , ( 2 2 )x y x ， 在矩阵11 22对应的变换作用下，圆 224 变换成线段 中 ( 2 , 2 ) , ( 2 , 2 )，如图 所示。 B 组 1 下列叙述中错误的是 （ ） A、 1 00 2对应的变换是一伸压变换 B、 1 20 1表示 y 方向的切变变换 C、13 22表示以原点为中心的旋转变换 D、在反射变换下，任何图形不变 答案： B。解析： 选项 B 中矩阵表示 x 方向的切变变换 。 2 将 以伸缩 ( , ) ( , )x y ax 使其变为 4 的图形，则 （ ） A、 2, 4 B、 12,4C、 1 ,42D、 11,24答案： C。解析： 由已知伸缩变换矩阵 M= 1 0 020 b 0 4a 。 3 在平面上任意四边形 过下列变换后，使所得图形与原四边形 等的变换矩阵是 （ ） A、 2 010 2B、 10 1C、43 55D、 1 20 1答案： C。解析： 选项 C 是旋转变换，其中旋转角为 4 4 曲线 在矩阵 1 00 作用下变换得到的曲线为 。 答案： 。解析： T： 1 00 - 1x x xy y y 。 5 坐标平面上 A(2,1), 一等腰直角三角形，且 0，点 B 在第二象限则点 B 的坐标为 。 答案： ( 1,2) 。解析 由已知得旋转变换矩阵 c o s 9 0 - s i n 9 0 0 - 11 0s i n 9 0 c o s 9 0 ， 0 - 1 2 11 0 1 2 ，即 B( 1,2) 。 6 在坐标平面上，将点 P(3,4)作下列变换，试分别求变换之后的点 P坐标。 （ 1）以原点为中心，顺时针旋转 60； （ 2）沿 x 轴方向平移 3| |y 个单位。 答案： （ 1）1 3 3 4 3 c o s ( 6 0 ) - s i n ( - 6 0 ) 3 32 2 244s i n ( 6 0 ) c o s ( - 6 0 ) 3 1 4 3 3- 2 2 2 ， Q（ 3 4 32， 4 3 32） 。 （ 2） 1 3 3 1 5 , ( 1 5 , 4 )0 1 4 4 Q 。 7 在伸 缩变换中，沿 x 轴方向伸缩 a 倍 00 1a，然后沿 y 轴方向伸缩 b 倍 1 00 b，相当于矩阵 00 的作用。那么对于沿 x,y 轴两方向的切变矩阵 1 a 1 0,0 1 b 1 是否也有类似像矩阵 1 1的 合成结果？并说明理由。 答案：对于平面上的任意一点 ( , )则经过切变矩阵 1 1后变为 ( , )P x ay y ，再经过切变矩阵 1 0b 1后变为 ( , )P x a y b x a b y y ；而 ( , )过切变矩阵 1 1后变为( , )x ay bx y
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