内容简介：: 解三角形【知识网络】 1正弦定理与余弦定理在解三角形中，正弦定理可解决两类问题：已知两角及任一边，求其它边角；已知两边及一边的对角，求其它的边或角情形中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：已知两边及任一角问题；已知三边问题正、余弦定理可用于边角之间的转化及判断三角形的形状 . 【典型例题】例 1 (1) 的内角 A、 B、 a、 b、 c，若 a、 b、 c 成等比数列，且 2，则 A 14B 34C 24D 23(1)B 提示：利用余弦定理（ 2）在已知条件解三角形，其中有两解的是（） A. 002 0 , 4 5 , 8 0b A C B. 03 0 , 2 8 , 6 0a c B C. 01 4 , 1 6 , 4 5a b A D. 01 2 , 1 5 , 1 2 0a c A （ 2） C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（ 3）在，已知 5 3则值为（） A 1665B 5665C 1665或 5665D 1665（ 3） A 提示 :在，由 s i n s i A B 知角 B 为锐角（ 4）若钝角三角形三边长为 1a 、 2a 、 3a ，则 a 的取值范围是 (4) 02a 提示：由2 2 2( 1 ) ( 2 ) 3( 1 ) ( 2 ) ( 3 )a a aa a a 可得（ 5）在， 06 0 , 1 , 3 ,s i n s i n s i b S A B C 则= （ 5） 2 393提示：由面积公式可求得 4c ，由余弦定理可求得 13a 例 2 在， B CB ，判断这个三角形的形状 . 解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a= ，所以 b（ +c（ =b+c） b+c） b3+b+c） a2=bc+c2+a2=b2+直角三角形 . 例 3 在 a、 b、 A、 B、知 a、 b、 c2= 解： a、 b、 b2=又 c2= b2+a2=余弦定理得 bc 222 =1， A=60 . 在正弦定理得 b2= A=60，b 60=23. 例 4如图， D 是直角边一点 ,D, 记 , . (1)证明 s i n c o s 2 0; （ 2）若 3 的值 . 解： (1) 如图 ( 2 ) 2 , s i n s i n ( 2 ) c o s 22 2 2 ，即 s i n c o s 2 0 （ 2）在中，由正弦定理得 3, . s i n 3 s i ns i n s i n ( ) s i n s i A C D C D C 由 (1)得 s in c o s 2 ， 2s i n 3 c o s 2 3 (1 2 s i n ) , 即 2 332 3 s i n s i n 3 0 . s i n s i 解得或 30 , s i n , 3 B D C A 【课内练习】 1 在中，下列等式总能成立的是（） ()A c o s c o c A ()B c A ()C s in s ()D s in s c A 1 D 2在 2 （） 2 2 2 222a c a=c， a=b. 3 a、 b、 A、 B、果 a、 b、 B=30，么（） 13 23 3 B 提示： a、 b、 c 成等差数列， 2b=a+a2+面积为23，且 B=30，故由 S 11=413，得 . a2+ ac 222 =62 12422 42 b =23，解得 +2 3 .又 b 为边长， b=1+ 3 . 4 若的内角 A 满足 23A，则 ( ) A. 153B 153C 53D 534 A 提示：由 0 A 得 A ，又 2s i n 2 2 s i n c o s 03A A A ，所以 A 5 在 C=60 ，则ca a =_. 5 1提示： ca a =）（ 22 =222 . （ *） C=60 ， a2+ a2+b2=ab+代入（ *）式得222 =1. 6在锐角长 a=1， b=2，则边长 _. 6 ( 3, 5) 提示由 2 2 22 2 21212得 35c ，同时也满足任意两边之和大于第三边 7已知三个内角 A、 B、 C 成等差数列，且 1， 4，则边的中线 7 3 提示：由已知得 060B ，再由余弦定理可得 8 中，内角 ,等差数列，边长 8, 7，求边 c 及面积解：由 ,等差数列，得 2B A C 又 A B C ，3B 由余弦定理 2 2 2 2 c o sb a c a c B 得： 24 9 6 4 2 8 c o 即： 2 8 1 5 0 ，解得 35或当 3c 时， 1 8 3 s i n 6 323 当 5c 时， 1 8 5 s i n 1 0 323 9在中， , 分别为角 , 的对边，已知 ,27的面积为 323，且t a n t a n 3 t a n t a n 3A B A B 求的值解：由 t a n t a n 3 t a n t a n 3A B A B ，得 t a n ( ) (1 t a n t a n ) 3 t a n t a n 3A B A B A B t a n ( ) 3 t a n 3A B A B C C ， 3C 由 72c及余弦定理得： 2 2 272 c o s ( )32a b a b ，即： 2 2 27()2a b a b 由 3 32S 得： 13s i n 32 3 2 ，即： 6 解方程组 2 2 27()26a b a 得 2 121()4，所以 11210已知 2 2 （ =（ a b） . （ 1）求 C；（ 2）求解：（ 1）由 2 2 （ =（ a b）得 2 2 （22424=（ a b）又 R= 2 ， c2= a2+c2=co sC=ab 222 =21. 又 0 C 180 ， C=60. （ 2） S=21123 3 3 120 A） =2 3 ） =33 2333= 3 2A 30 ） +23. 当 2A=120，即 A=60时， 33. 作业本 1在，“ ”是“ ”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 1 C 提示： s i n s i R a b A B 2在，若 2 2 2 2( ) s i n ( ) ( ) s i na b A B a b C ，则（） A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 2 D 提示：由已知得 2 2 2 2( ) s i n ( ) ( ) s i na b A B a b C 22 s i n ( ) s i n s i n s i n ( ) b A B C a C A B ， 22s i n c o s c o s s i B a A B 即： 22s i n s i n c o s s i n c o s s i B A A B所以 2A B A B 或3 ,三边长，若满足等式 ( ) ( )a b c a b c a b ，则角 C 的大小为（） ()A 060 ()B 090 ()C 0120 ()D 0150 3 C 提示：由余弦定理可得 4 在，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若 001 0 5 , 4 5 ， 22b ，由 c = 4 2 提示：由正弦定理可得 5在， 2b ， 3c ，积 32S，由 A = 5 D 6 在 A、 B、 a、 b、 c. 证明：222c =（ . 证明：由余弦定理 a2=b2+2b2=a2+2 b2=2理得222c =c . 依正弦定理有222c =C s in co ss ss =（ . 7已知圆内接四边形边长分别是 2 , 6 , 4A B B C C D D A ，求四边形面积解：如图，连结 222 2 c o s 2 0 1 6 c o A B A D A B A D A A 在 222 2 c o s 5 2 4 8 c o C B C D C B C D C C 2 0 1 6 c o s 5 2 4 8 c o 1c o s c o s c o C A A 11 s i n s i C D A B D B C S A B A D A C B C D C 1 1 1 2( ) s i n ( 2 4 6 4 ) s i n 8 32 2 2 3A B A D C B C D A 8 在， ,A B C 所对的边分别为 ,若 , 2 c o s 2 8 c o s 5 0 ，求角形状解：由 2 c o s 2 8 c o s 5 0 得 24 c o s 8 c o s 3 0 ，解得： 13c o s c o s (22或舍去 ), 3又 B ( 0 , ) , 所以 B=， ,a c b 2 2 22 2 2 () 12c o 2c c a c 化简得： 22 2 0 ,a c a c a c 故，所以等边三角形 1在，已知 3t a n t a n 3 3 t a n t a n s i n c o A B A A 且，则（） A 正三角形 B 正三角形或直角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 1 A 提示：本题要注意 2B 在， ,33A ，则周长为（） A 4 3 s i n ( ) 33B B 4 3 s i n ( ) 36B 6 s ) 33B 6 s ) 36B 提示：利用正弦定理可得在，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，且上的高为2a，则最大值为（） A 22 B 2 C 2 D 4 3 A 提示：由 11s i 2aa b c A 得 2 2 所以 2 2 2 22 c o s 2 c o sc b c b a b c A a Ab c b c b c b c 2 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( )4A A A ， 7 , 8 , 9a b c ，则上的中线为 4 7 提示：2 2 22 2 211( ) 2 ( ) c o ) 2 ( ) c o s ( )22c b B D b B D A D Ba b B D b B D A D B 两式相加可得 5 在 A、 B、 a、 b、 c，若三角形的面积 S=41（ a2+ 则 _. 5 45提示：由 S=41（ a2+211 2 . C=4. 6在在 ,A B C 所对的边分别为 ,且 1 1）求 2s i n c o s 22的值；（ 2）若 3a ，求最大值；解：（ 1）因为 1故 2co s 22 21 1 co s( ) (2 co s 1)2 B C A 21 ( 1 c o s ) ( 2 c o s 1 )2 1 1 2 1( 1 ) ( 1 )2 3 9 9 （ 2） 2 2 2 1c o c a 2 2 2 22 23 b c b c a b c a 又 93,4a ，当且仅当 32时， 94 最大值是 947 在 ,A B C 所对的边分别为 , ,2 2 2b c bc a 和 1 32，求 A 和值解：由余弦定理 2 2 2 1c o 3b c ，由 2 2 2b c bc a 得： 22 111 1 3 3 342a c cb b b 154 152 ，由正弦定理得 2 3 1s i n s i 5 由 152可知：，故，因此 B 为锐角，故 2 2c o s 1 s i n 5 ，从而 s i n 1t a nc o s 28如图，已知的正三角形， M、边段过中心 G，设（ 233）（ 1）试将面积（分别记为 2）表示为的函数；（ 2）求 y221211的最大值与最小值解：因为 G 是边长为 1 的正三角形

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