2009年广东省高考数学各地模拟卷专辑(文理共50套)人教版新课标
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2009年广东省高考数学各地模拟卷专辑(文理共50套)人教版新课标,广东省,高考,数学,各地,模拟,摹拟,专辑,文理,50,人教版,新课
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广东省 2008 年高三数学函数与导数期末试题汇编共 37 页 ) 1. 设 () 上的奇函数，且当 0x 时， ( ) 2 3，则 ( 2)f （ ） A 1 B 14C 1 D 1142. 函数 2( ) 1 )f x 的零点所在的大致区间是 （ ） A (0,1) B (1,2) C (2, )e D (3,4) 8曲线 32y x x在横坐标为 l ，则点 (3,2)P 到直线 l 的距离为（ ） A 722B 922C 11 22D 9 10103. 已知定义在区间 0,1 上的函数 ()y f x 的图像如图所示，对于满足1201 的任意1x、2x，给出下列结论： 2 1 2 1( ) ( )f x f x x x ； 2 1 1 2( ) ( )x f x x f x ； 1 2 1 2( ) ( )22f x f x x 其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上） 1. 函数 2( ) 2 xf x x的零点个数是 （ ） A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 2. 若函数 ( ) 23x x x 在 (1, ) 上是增函数，则实数 k 的取值范围是 （ ） A 2, ) B 2, ) C ( , 2 D ( ,2 ,2)( 的定义域为且 1)2()4( )()( 的导函数，函数 )( 的图象如图所示 . 则平 面区域1)2(00围成的面积是 A 2 B 4 C 5 D 8 3已知 c o s 0()( 1 ) 1 0x x ，则 )34()34( A 2 B 1 C 2 D 3 解析： D本题考查了函数概念及分段函数 4 1 4 1 2 5( ) ( ) ( ) 1 ( ) 23 2 3 3 3 2f f f f ； 7定义在 R 上的函数 ()图象关于点 3( , 0)4成中心对称，对任意的实数 x 都有3( ) ( )2f x f x= - + ，且 ( 1) 1,f -= (0) 2f =- ，则 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 0 8 )f f f f+ + + 鬃 ?的值为 A 2- B 1- C 0 D 1 解析： D本题考查了函数的对称性和周期性 由 3( ) ( )2f x f x= - +，得 ( 3) ( )f x f x+= ，因此， ()且周期是 函数 ()( , 0)4成中心对称 , 因此， () 3()2以， (1) 1f = (1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0f f f+ + =， ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 0 8 )f f f f+ + + 鬃 ? (1)f 8对任意正整数 n ，定义 n 的双阶乘 !n 如下： 当 n 为偶数时， ! ! ( 2 ) ( 4 ) 6 4 2n n n n 当 n 为奇数时， ! ! ( 2 ) ( 4 ) 5 3 1n n n n 现有四个命题： ( 2 0 0 7 ! ! ) ( 2 0 0 6 ! ! ) 2 0 0 7 !， 2 0 6 ! 2 1 0 0 3 ! ， 2006! 个位数为 0， 2007! 个位数为 5 其中正确的个数为 析： C本题考查了信息处理和应用能力 因为 2 0 0 7 ! ! 2 0 0 7 2 0 0 5 2 0 0 3 5 3 1 2 0 0 6 ! ! 2 0 0 6 2 0 0 4 2 0 0 2 1 0 8 6 4 2 所以，有 2 0 0 7 ! ! ( 2 0 0 7 2 0 0 5 2 0 0 3 5 3 1 ) ( 2 0 0 6 2 0 0 4 2 0 0 2 6 4 2 ) 2 0 0 7 ! 因此，正确；错误 8. 在平面直角坐标系中 ,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数 ()n n N 个整点，则称函数 ()n 阶整点函数。有下列函数： ( ) f x x ； 3()g x x 1( ) ( ) ;3 ( ) ， 其中是一阶整点函数的是 ( ) A. B. C. D. 9. 若奇函数 () , 则 = 0 5若函数 32( ) 2 2f x x x x 的一个正数零点 附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = 2 f (= f (= f (= f (= f (= 么方程 32 2 2 0x x x 的一个近似根（精确到 （ ）。 A B C D ： f( 且都接近 0， 8 定义运算 a b=)()(则函数 f(x)=1 2x 的图象是 （ ）。 提示 ：信息迁移题是近几年来出现的一种新题型，主要考查学生的阅读理解能力本题综合考查了分段函数的概念、函数的 性质、函数图像，以及数学阅读理解能力和信息迁移能力 当 x 0时 ,2x 1, f(x) =2x； x 0时 ,2x 1, f(x) =1 答案： A 10 已知定义域为 ( 1， 1)的奇函数 y=f (x)又是减函数，且 f (a 3)+f (9 时，令 、， )()(),0(10)( 的变化情况如下表： x (0， 1p) 1, )p +?() 0 () 极大值 从上表可以看出：当 p0 时， () 7分 （）当 p0时在 1x=1( ) 此极大值也是最大值， 要使 ( ) 0恒成立，只需 11( ) ， 1p 1， + ) 10 分 （）令 p=1，由（ ）知， 2,11 ， 12 22222 111n 11 分 )11()3 11()2 11(22222222nn n )13121()1( 222 12分 )1( 143 132 1()1( )11141313121()1( )1(212)1121()1( 2 论成立 14 分 17.(本题满分 12 分 )已知函数 2( ) ( 0 ) x x x a ， 常 数（ 1）当 2a 时，解不等式 ( ) ( 1)f x f x 21x ； （ 2）讨论函数 ()说明理由 . 解：（ 1）当 2a 时， 2 2()f x ， 2 2( 1 ) ( 1 )1f x x x ， 由 2222( 1 )1 21x ， 3分 得 221 0 ， ( 1) 0 ， 0 x 1 原不等式的解为 0 x 1 ； 6分 （ 2） () 0 ) ( 0 ， ， +)， 7分 当 0a 时， 2()f x x ， 22( ) ( ) ( )f x x x f x ，所以 () 9分 当 0a 时， 2( ) ( ) 2 0 ( 0 )f x f x x x ， 2( ) ( ) 0af x f 所以 ()不是偶函数 . 12分 21.（本题满分 14 分）设函数 ( ) 2 l x p x ，且 ( ) 2pf e q ，其中 e 是自然对数的底数 . （ 1）求 p 与 q 的关系； （ 2）若 () p 的取值范围； （ 3）设 2() 若在 1,e 上至少存在一点0x，使得0()()实数 p 的取值范围 . 解：（ 1）由题意得 ( ) 2 l n 2e p e e q 1分 1( ) ( ) 0p q 而 1 0，所以 p 、 q 的关系为 3分 （ 2）由（ 1）知 ( ) 2 l n 2 l x p x x p x ， 22222() p p x x pf x p x x x 4分 令 2( ) 2h x p x x p ，要使 ()0, ) 内是单调函数，只需 ()(0, ) 内满足： ( ) 0 ( ) 0h x h x或 恒成立 . 5分 当 0p 时， ( ) 2h x x ，因为 x 0 ，所以 () 0， 22() x 0， ()0, ) 内是单调递减函数，即 0p 适合题意； 6分 当 p 0 时， 2( ) 2h x p x x p ，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为1 ( 0 , )x p ，m h x p p， 只需 1 0，即 1 ( ) 0 , ( ) 0p h x f x 时 ， ()0, ) 内为单调递增函数，故 1p 适合题意 . 7分 当 p 0 时， 2( ) 2h x p x x p ，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1 ( 0 , )x p ，只要 (0) 0h ，即 0p 时， ( ) 0在 (0, ) 恒成立，故 p 0 适合 题意 . 综上所述， p 的取值范围为 10或 . 9分 （ 3） 2() 1,e 上是减函数， 时，) 2； 1x 时，) 2g x e，即 ( ) 2, 2g x e ， 10 分 当 0p 时，由（ 2）知 () 1,e 上递减m a x( ) (1 ) 0f x f 2，不合题意； 11分 当 0 p 1时，由 11 , 0x e ， 又由（ 2）知当 1p 时， () 1,e 上是增函数， 1 1 1 1( ) ( ) 2 l n 2 l n 2 l n 2f x p x x x x e e ex x e e 2 ， 不 合 题意； 12 分 当 1p 时，由（ 2）知 () 1,e 上是增函数， (1) 0f 2，又 () 1,e 上是减函数， 故只需fx 1, ，而m a x 1( ) ( ) ( ) 2 l nf x f e p e ，) 2， 即 1( ) 2 e 2， 解得 p 24 1 ， 综上， p 的取值范围是24()1 ， . 14 分 20（本小题满分 14分） 如图所示， A、 11(3 2 象上两点，且 M（ 1，m）（ m3）是 （ 1）设点 t， ，求 ( ； （ 2）求函数 )( 的最大值，并求出相应的点 解：（ 1）设 1,0(),3,(),3,( 22 点 C 的中点，则 ),3(2)3(22122 22 3分 )3(2)( 2 5分（不写定义域的扣 1分） （ 1）设 ),(00 为 C 的中点， 2202003222312的坐标为（ 2+t， 2m 3 8分 )9(2218)( 22 当 39时， 1,0()(,0)9(2218)( 22 是 增函数， 当 t=1时，函数 )( 取最大值 2m 6，此时点 3， 2m 3） 14分 19（ 14分）已知函数 23)( （ m、 n R， m 0）的图像在（ 2， )2(f ）处的切线与 （ 1）求 n， (单调减区间； （ 2）证明：对任意实数 ,10 21 于 ),(0)()()(2112 12 恒有实数解 （ 3）结合（ 2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数 )(在闭区间 a,b上连续不断的函数，且在区间（ a,b）内导数都存在，则在（ a,b）内至少存在一点得 .)()()(0 ab 如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件试用拉格朗日中值定理证明： 当 0 时，a 不用证明函数的连续性和可导性） 解：（ 1）因为 3)( 2 1分 由已知 03,0)2( 即所以 2分 即 (0)(,63)( 2 由 当 );2,0()(,200 的减区间为或时得 3分 当 );,2(),0,()(,200 的减区间为时得 4分 综上所述：当 );2,0()(,0 的减区间为时 当 );,2(),0,()(,0 的减区间为时 5分 （ 2） )33()()(2121222112 12 6分 0)()()(1212 xx 03363 212122212 令 212122212 3363)( 7分 则 )32)()( 21211 )32)()( 21122 即 )32)(32()()()( 212122121 又因为 ,10 21 所以 0)32(,0)32( 2121 即 0)()( 21 8分 故 0)( 区间 ),( 21 必有解，即关于 x 的方程 ),(0)()()(2112 12 恒有实数解 9分 （ 3）令 ),(, 10分 则 )(合拉格朗日中值定理的条件，即存在 ),(0 使 ab )()( 011分 因为 0),1,1()(0),(,1)( 知由12分 即 ,1)()(10 a 20（本小题满分 14分）设 (成的集合：“方程 0)( 函数 )(导数 )(满足 1)(0 ” （ 1）判断函数4 是否是集合 说明理由； （ 2）集合 (有下面的性质：若 )(定义域为 D，则对于任意 , ，都存在 0 ，使得等式 )()()()(0成立”，试用这一性质证明：方程 0)( 有一个实数根； （ 3）设1)( 实数根，求证：对于 )(义域中任意的32,112 且 113 ， 2)()( 23 解： （ 1）因为 ，所以 43,41)()(0 2分 又因为当 0x 时， 0)0( f ，所以方程 0)( 实数根 0. 所以函数4 是集合 5分 （ 2）假设方程 0)( 在两个实数根 (, ），则 0)(,0)( 不妨设 ，根据题意存在数 ),( c ， 使得等式 )()()()( 成立， 7分 因为 )(f ， )(f ，且 ，所以 1)( 与已知 1)(0 盾，所以方程 0)( 有一个实数根； 10分 （ 3）不妨设32 ，因为 ,0)( 以 )(增函数，所以 )()(32 ， 又因为 01)( 所以函数 )( 为减函数， 所以3322 )()( ， 所以2323 )()(0 ，即2323 )()( ， 12分 所以2323 )()( 2)( 12131213 14分 21 (本小题满分 14分 ) 已知函数 21f(x)=g(x)= a 0)（ I）若 a = 2 , h ( x ) = f ( x ) g ( x ) 时 函 数 在其 定义域是增函数，求 （ （ I）的结论下，设函数 2 x x( x ) = e + b e , x 0, 求 函 数 (x)的最小值； （ 函数 )(图象 (图象 、 Q，过线段 中点 R 作 1、 、 N，问是否存在点 R，使 处的切线与 处的切线平行？若存在，求出 R 的横坐标；若不存在，请说明理由 . 解：（ I）依题意： 2 ()（ 0,+ ）上是增函数， 1( ) 2 0h x x 对 x（ 0,+ ）恒成立， 2分 1 则 2 2 2 的取值范围为b 4分 （ , 2 x 则函数化为 ,2,1222,(22上为增函数在函数时即当 y，当 t=1时， n=b+1； 6分 ,2,14,22;42,24,2212m i 当 t=2时， n=4+2b 8分 ,222,2的最小值为时当的最小值为时当综上所述 当 )(,4 时 的最小值为 b 9分 （ 点 P、 0),(),( 212211 且 则点 M、 2 21 处的切线斜率为 2121 21 处的切线斜率为 | 2122 21 10 分 假设 处的切线与 处的切线平行，则 ,()2()(2)()(212121212122212212221122121则即 11分 (2)(2 设 ,1,1)1(212 12 分 (2)1()(,1)(,1.)1()1()1(41)()1(2222与矛盾，假设不成立 . 故 处的切线与 处的切线不 平行 . 14 分 21. （本小题满分 14 分）设 f(x)是定义在 上1,1 的奇函数， g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 x=1对称，而当 3,2x 时， 44)( 2 （ 1）求 f(x)的解析式； （ 2）对于任意的 ,1,0,2121 且求证： ;2)()(1212 （ 3）对于任意的 ,1,0,2121 且求证： )(12 (1)由题意知 f(x+1)=g(1)2()( （ 1分） 当 22 4)2(4)2()(,32201 时， （ 3分） 当 2)(0110 时， ，由于 f(x)是奇函数 2)( （ 5分） )10()01()(22 （ 6分） （ 2）当 ,201,0,212121 ，且（ 8分） 121212212212 2)()()( （ 10 分） （ 3）当 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1, 0 , 1 0 1 , 0 1 1 1x x x x x x x x 且 时 ， （ 12 分） )( 212212 （ 14 分） 18. （本小题满分 14 分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明， 用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力， x 表示提出 概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式： )1073)1610(,59)100(,21） 开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ （ 2） 一个数学难题，需要 55(或以上 )的接受能力，上课开始 30 分钟内 , 求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟 ? （ 3） 如 果 每 隔 5 分 钟 测 量 一 次 学 生 的 接 受 能 力 ， 再 计 算 平 均 值M= ( 5 ) ( 1 0 ) ( 3 0 )6f f f ，它能高于 45 吗？ 解：（ 1） 00，使得方程 () ( ) ( 2 1 )gx f x 在区间 1( , )存在，求出 不存在，请说明理由。 解：（ 1）由已知，得 h(x)= 21 2 2 a x x x且 x0, 则 x)=2 21ax , （ 2分） 函数 h(x)存在单调递增区间 , x) 0有解 , 即不等式 0有 x0的解 . （ 3分） 当 则方程 至少有一个不重复正根 , 而方程 总有两个不相等的根时 , 则必定是两个不相等的正根 . 故只需 =4+4a0, 即 a即 , y= 图象为开口向上的抛物线 , 0 一定有 x0的解 . （ 6分） 综上 , 0) (0, + ) （ 7分） （ 2）方程 () ( ) ( 2 1 )gx f x 即为 l n l 2 1 ) , ( 1 2 ) ,x a a x a 等价于方程 1 . （ 8分） 设 H(x)= 1于是原方程在区间 (1,根的问题 , 转化为函数 H(x)在区间 (1,的零点问题 . （ 9分） x)=211x= 22 (1 2 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 )a x a x a x （ 10 分） 当 x (0, 1)时 , x)0, H(x)是增函数； 若 H(x)在 (1,有且只有两个不相等的零点 , 只须 22m i 2 (1 2 )( ) 1 0( ) (1 ) (1 2 ) 1 0( ) (1 2 ) 1 ( 2 ) ( 1 ) 0a a e a e e e eH x H a a aH e a e e a e e a e （ 13 分） 解得 2121e, 所以 1, 221) （ 14 分） 20.(本题满分 14 分 ) 已知函 数 )12)( 2 （ a 为实数） . （ I）若 )( 1x 处有极值，求 a 的值； （ )( 3 2， 上是增函数，求 a 的取值范围 . 解：（ I）由已知得的定义域为( )， 1又f x ax x ( ) 2 21 3分 由题意得f a ( ) 1 2 1 0 12 6分 （ 题意得 f x( )0对x 3 2，恒成立， ax 8分 2 21 1 112142 2ax x a x x x， ( ) 10 分 x x ( )3 2 12 142， ，的最大值为 ( )2 12 14 62 11214( )16 12 分 又因a16时符合题意 a 16为所求 14分 19（本小题满分 14分 ） 佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每 天 的固定成本为 14000 元，每生产一件产品，成本增加 210元 已知该 产品 的 日 销售量 )(产量 x 之间的关系式为 400,2564000,6251)(2件 产品 的售价 )(产量 x 之间的关系式为 4 0 0,5 0 04 0 00,7 5 085)( （）写出该陶瓷厂的日销售利润 )(产量 x 之间的关系式； （）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润 解： ( )总成本为 1014000)( 1分 所以日销售利润 )()()()( 4 0 0,1 1 4 0 0 02 1 04 0 00,1 4 0 0 02 1 0561 0 0 01 23 6分 ( )当 4000 x 时， 2 1 05121 0 0 03)( 2/ 7 分 令 0)(/ 解得 100x 或 700x 8分 于是 )(区间 100,0 上单调递减，在区间 400,100 上单调递增，所以 )(400x 时取到最大值，且最大值为 30000； 10分 当 400x 时， 3 0 0 0 01 1 4 0 0 02 1 0)( 12分 综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产 400 件产品，其最大利润为 30000元 14 分 20（本小题满分 14分） 设直线 )(:),(: 曲线 . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件：直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点；对任意 x R 都有 )()( . 则称直线 的“上夹线” （）已知函数 ( ) 2 s x x x 求证： 2 为曲线 ()夹线” （）观察 下图： x x + 1y = x - si n 2 x 2 x + 2y = 2 2 x - 2 推测曲线 )0(s “上夹线”的方程，并给出证明 解 （）由 1co 0x ， 当20x ， 此时 2221 22s 21 ，所以 22,2 是直线 l 与曲线 S 的一个切点； 当230x ， 此时 22321 223s 21 ，所以 223,23 是直线 l 与曲线 S 的一个切点； 所以直线 相切且至少有两个切点； 对任意 x R， 0s i s i 2()()( 所以 ( 因此直线 2: 曲线 的“上夹线” （） 推测： s i n ( 0 )y m x n x n 的 “ 上夹线 ” 的方程为 y mx n 先检验直线 y mx n与曲线 mx n x 相切，且至少有两个切点： 设： ( ) s x m x n x ( ) c o sF x m n x ， 令 ( ) c o sF x m n x m ，得： 2 2（ ） 当 22时 , ( 2 ) ( 2 )22F k m k n 故：过曲线 ( ) s x m x n x 上的点 (22k ， ( 2 )2m k n )的切线方程为： y ( 2 )2m k n =m x (22k )，化简得： y mx n 即直线 y mx n与曲线 mx n x 相切且有无数个切点 不妨设 ()g x mx n 下面检验 g(x) F(x) g(x) F(x)= (1 s i n ) 0 ( 0 )n x n 直线 y mx n是曲线 ( ) s i x m x n x 的 “ 上夹线 ” 21. (本题满分 14分 ) 已知 32( ) ( , 0 f x x b x c x d 在 上 是 增 函 数 , 在 0,2上 是 减 函 数 ， 且( ) 0 , 2 , ( 2 ) 有 三 个 根. （）求 c 的值，并求出 b 和 d 的取值范围 ; （）求证 (1) 2f ； （）求 | 的取值范围，并写出当 | 取最小值时的 () 解（ 1） ( ) , 0在 上 是 增 函 数 , 在 0,2 上 是 减 函 数 20 ( ) 0( ) 3 2( 0 ) 0x f xf x x b x 是 的 根又 0c 2分 ( ) 0 , 2 ,( 2 ) 08 4 0( 2 ) 01 2 4 0384 又 的 根 为又又4d 4分 （ 2） ( 1 ) 1 ( 2 ) 0f b d f 5分 8 4 6 3(1 ) 1 8 4 673 且 6分 2 8分 （ 3） ( ) 0 有 三 根 ,2, 32( ) ( ) ( 2 ) ( )( 2 ) 222f x x x 10分 222222| | ( ) 4( 2 ) 24 4 1 6 84 1 2( 2 ) 1 63 | | 3b 又当 且 仅 当 b= 取 最 小 值 , 此 时 d=4 12分 32( ) 3 4f x x x 14 分 21（本小题满分 14分） 已知函数 )(,3,s 当 取得极小值 33. （）求 a， （）设直线 )(:),(: 曲线 . 若直线 同时满足下列两个条件：（ 1）直 线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点；（ 2）对任意 x R 都有 )()( . 则称直线 的“上夹线” . 试证明：直线 2: 曲线 的“上夹线” . 解 ： （ I ） 因 为 ，所以 c o s)( 021)3( ， 332 33)3( 解得 2,1 此时 ， 当 3,0 x 时 0)( 当 2,3x 时 0)( 所以3( 极 小 值 ， 所 以 2,1 合 题 目 条 件 ； （ 1co 0x ， 当20x ，此时 2221 22s 21 ，所以 22,2 是 直 线 l 与曲线 S 的 一 个 切 点 ； 当230x ，此时 22321 223s 21 ， 所 以 223,23 是直线 l 与 曲 线 S 的 一 个 切 点 ； 所以直线 相切且至少有两个切点； 对任意 x R， 0s
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