2009年广东省高考数学各地模拟卷专辑(文理共50套)人教版新课标
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2009年广东省高考数学各地模拟卷专辑(文理共50套)人教版新课标,广东省,高考,数学,各地,模拟,摹拟,专辑,文理,50,人教版,新课
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2009 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科） 卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一 、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1如果复数 22( 3 ) ( 5 6 )m m m m i 是纯虚数，则实数 m 的值为（ ） A . 0 B . 2 C . 0 或 3 D 3 2已知函数 ( 4 ) , 0( 4 ) , 0() x x xx x 则函数 () ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 3已知全集 ，集合 37A x x ， 2 7 1 0 0B x x x ， 则 () B I（ ） A .( , 3 ) (5 , ) U B .( , 3 ) 5 , ) U C .( , 3 5 , ) U D .( , 3 (5 , ) U 4命题“ 2, 2 1 0x R x x ”的否定是（ ） A . 2, 2 1 0x R x x B . 2, 2 1 0x R x x C . 2, 2 1 0x R x x D . 2, 2 1 0x R x x 5已知点 (1,0)A ，直线 : 2 4l y x，点 R 是直线 l 上的一点。若 P则点 P 的轨迹方程为（ ） A . 2 B . 2 C . 28 D . 24 6函数 ( ) x x x 的导函数 ()在区间 , 上的图像大致是（ ） A . B . C . D . x y o x y o x y o o x y 7现有 4 种不同颜色要对如图 1 所示的四个部分进行着色， 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色， 则不同的着色方法共有（ ） A B C D 8设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ，从直线 l 出发的两个半平面 ,截球 O 的两个截面圆的半径分别为 1 和 3 ，二面角 l 的平面角为 150o ，则球 O 的表面积为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。 （一）必做 题（ 9） 9在空间直角坐标系中，以点 (4,1,9)A ，(10, 1, 6)B ， ( ,4,3)顶点的 是以 斜边的等腰三角形，则实数 x 的值为。 10在某项才艺竞赛中，有 9 位评委，主办单位规 定计算参赛者比赛成绩规则如下：剔除评委中的一个最高分 和一个最低分后，再计算其他 7 位评委的平均分作为此参赛 者的比赛成绩。现有以为参赛者所获 9 位评委一个最高分为 86 分，一个最低分为 45 分，若未剔除最高分与最低分时 9 位评委的平均分为 76 分，则这位参赛者的比赛成绩为 分。 11阅读如图 2 所示的程序框图，若输出 y 的值为 0 ，则输入 x 的值为。 12在平面内有 ( , 3 )n n N n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 () (5)f 的值是。 ()表达式是。 （二）选做题（ 13，考生只能从中选做两题） 13（几何证明选讲选做题） 如图 3 所示。在四边形 ， /C ， /D ，则 E F F A D的值为。 14 （不等式选讲选做题） 函数 ( ) 1 2f x x x 的最小值为。 15 （坐标系与参数方程选做题） 直线 2413 ，（ t 为参数）被圆 2 5，（ 为参数）所截得的弦长为。 三 、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16（本小题满分 12 分） 图 1 图 4 1s i n , 1 ( )2xn x Rr ，设函数 ()ur （ 1）求函数 () （ 2）已知锐角 的三个内角 分别为 , , ,A B C 若 53( ) , ( ) ,1 3 5f A f B求 ()值。 17（本小题满分 12 分） 在长方体1 1 1 1A B C D A B C D中， 2C，过1A、1B、 B 三点的平面 截去长方体的一个角后，得到如图 4 所示的几何体1 1 1A B C D A C D，且这个几何 体的体积为 403。 （ 1）求棱1 （ 2）在线段1 ，使直线1如果存 在，求线段1果不存在，请说明理由。 18（本小题满分 14 分） 已知等比数列 n 项和为21, , ( )m m ma a a m N 成等差数列，试判断21,m m S是否成等差数列，并证明你的结论。 19（本小题满分 14 分） 一个口袋中装有 2 个白球和 n 个红球（ 2n 且 ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。 （ 1）试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率； （ 2）若 3n ，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （ 3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 () n 为何值是时， () 20（本小题满分 14 分） 已知函数 2( ) , ( ) l x x g x x ，其中 0a 。 （ 1）若 1x 是函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若对任意的 12, 1,x x e（ e 为自然对数的底数）都有12( ) ( )f x g x成立，求实数 a 的取值范围。 21（本小题满分 14 分） 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的离心率为 233，左、右焦点分别为1F、2F，在双曲线 C 上有一点 M ，使12F，且12面积为 1 。 （ 1）求双曲线 C 的方程； （ 2）过点 (3,1)P 的动直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于两点 A 、 B ，在线段 上取异于 A 、 B 的点 Q ，满足 A P Q B A Q P B明：点 Q 总在某定直线上。 2009 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明： 1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能 力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共 8小题，每小题 5分，满分 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C B A D D 二、填空题： 本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1315 题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分第 12 题第 1 个空 3 分，第 2 个空 2 分 . 9 2 10 79 11 0 或 2 12 16， 2 2213 1 14 3 15 6 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（ 本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解： （ 1） 1 2 c o s 1 s i n 1 122 ， ，c o s s i n 1 1 s i x x R ， 函数 1 1- ， （ 2） 513 35 5， 3 , 2 12c o s 1 s i ， 2 4c o s 1 s i s i n s i n s i C A B A B s i n c o s c o s s i A B P 4 1 2 3 5 61 3 5 1 3 5 6 5 665 17 （本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解： （ 1）设1AA h,几何体1 1 1A B C D A C D的体积为 403， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1403A B C D A C D A B C D A B C D B A B V ， 即1 1 11 4 033A B C D A B CS h S h ， 即 1 1 4 02 2 2 23 2 3 ，解得 4h 1 （ 2）在线段1 ，使直线1 以下给出两种证明方法： 方法 1： 过点1 ，过点 Q 作 C 交1 11C D D Q，1 1 1C D A D，1 1 1 1D Q A D D， 1面11 1面1111C D A Q 1C D 1面1 1面111C D A P 在矩形1111 C Q1D， 1 1 11C Q D C ，即 1 224， 1 1 1111C P C C C，即1 1425152 在11，1122 111111102c o P 由余弦定理，得 221 1 1 1 1 1 1 1 12 c o A C C P A C C P A C P 5 5 1 0 2 98 2 2 24 2 1 0 2 在线段1 ,使直线1线段192 方法 2： 以点 D 为坐标原点，分别以 1x 轴， y 轴， z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（ 1）可知 ， 1 0,2,4C， 1 2,0,4A， 0,0,0D ， 假设在线段1 P x y z， ， 0 x 2， 2y ， 0 z 4 使直线1点 P 作 C 交 点 Q 由 1得1 ， 1 2 4 4 22B Q C C 42 1 2 2 2A P x x ， ， 1 0 2 4 ， ， 11A P C D，110A P C D ， 即 2 2 2 0 2 4 0 ， ， ， ， 12x 此时点 P 的坐标为 1 2 32， ，在线段1 13 2 12 ， ， 2 2213 2 92122 在线段1 ，使直线1线段192 18（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解： 设等比数列 比为 q 1 0, 0， 若1等差数列， 则22 1 111 1 12 m m ma q a q a q 1 0a ， 0q ， 22 1 0 解得 1q 或 12q 当 1q 时，1mS 111mS m a ， 212mS m a ， 212 m m S 当 1q 时，1成等差数列 当 12q时，1等差数列下面给出两种证明方法 证法 1： 1 2 1 1 222m m m m m m m m S S S a S a a 122 112a q 1112 2 0 ， 212 m m S 当 12q时，1等差数列 证法 2： 21 2211212 412113212 ， 又111 111111122 2 1 12113 2 21122 a 2212 1 12 4 23 2 2 2141132 ， 212 m m S 当 12q时，1等差数列 19 （本小题 主要考查等可能事件、互斥事件和 独立重复试验 等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解： （ 1） 一次摸球从 2n 个球中任选两个，有 22选法， 任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有 222种选法， 一次摸球中奖的概率 22 222C 3 2n （ 2）若 3n ，则一次摸球中奖的概率 25p， 三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是 1233 54( 1 ) C ( 1 ) 125P p p （ 3）设一次摸球中奖的概率为 p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率 为 21 3 233( 1 ) C 1 3 6 3f p P p p p p p ， 01p， 29 1 2 3 3 1 3 1f p p p p p ， 0 3，上为增函数，在 1 13，上为减函数 当 13p时， 22213 2 3 n *2, n 解得 2n 故当 2n 时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大 20（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力） （ 1） 解法 1： 22 l x x ，其定义域为 0 ， ， 2212 1x 是函数 10h ，即 230a 0a ， 3a 经检验当 3a 时， 1x 是函数 3a 解法 2： 22 l x x ，其定义域为 0 ， ， 2212 令 0 ，即 22120 ，整理，得 2220x x a 21 8 0a ， 0 的两个实根 211 1 84 （舍去）， 221 1 84 ， 当 x 变化时， 的变化情况如下表： x 20,x 2x 2,x 0 极小值 依题意， 21 1 8 14a ，即 2 3a ， 0a ， 3a （ 2） 解： 对任意的 12,1x x e ，都有 1 2 12,1x x e ，都有 当 x 1， e 时， 110 函数 x x x 在 1 e， 上是增函数 m a x 1g x g e e 2221x a x ，且 1,， 0a 当 01a且 x 1， e 时， 2 0x a x ， 函数 2af x 在 1， e 上是增函数， 2m i n 11f x f a . 由 21 a 1e ，得 a e ， 又 01a， a 不合题意 当 1 a e 时， 若 1 x a ，则 2 0x a x ， 若 a x e ，则 2 0x a x 函数 2af x 在 1,a 上是减函数，在 上是增函数 m i n 2f x f a a. 由 2a 1e ，得 a 12e， 又 1 a e ， 12e a e 当 且 x 1， e 时， 2 0x a x ， 函数 2af x 在 1 e， 上是减函数 2m i x f e e e . 由 2 1e ，得 a e ， 又 ， 综上所述， a 的取值范围为 1 ,2e 21 （本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法， 以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力） （ 1） 解： 双曲线 221 0, 0的离心率为 233， 22 233 即 223 12F，且12面积为 1 12 121 12M F F M F ，即 122M F M F 122M F M F a， 22 21 1 2 224M F M F M F M F a 2 212 44F F a 2 2 24 4 4a b a ， 2 1b 将代入，得 2 3a 双曲线 C 的方程为 2 2 13x y （ 2） 解法 1：设点 Q A B， ， 的坐标分别为（ ），（11，（22，且1x2x 3，又设直线 l 的倾斜角为 2，分别过点 P Q A B， ， ， 作 x 轴的垂线，垂足分别为1 1 1 1P Q A B， ， ， 则 1113c o s c o ， 112c o s c o ， 11 2c o s c o ， 11 1-c o s c o ， A P Q B A Q P B ， （ 32123x x x（ ） （ ）， 即 1 2 1 2 1 26 ( ) 3 ( ) 2x x x x x x x . 设直线 l 的方程为 1 ( 3)y k x ， 将代入 2 23x y 1 中整理，得 （ 1 2 2) 6 1 3 3 ( 1 3 ) 1 0k x k k x k （ ）. 依题意1x，2 21 3 0k， 12 2212 26 1 3133 1 3 ， 将代入整理，得 2 ( 3)x k x . 由、消去 k 得 21 ，这就是点 Q 所在的直线方程 . 点 Q （ ）总在定直线 1 0 上 . 解法 2： 设点 Q ， 的坐标分别为 ,（ x ）y ，11,（ ）2（ ， ）且1x2x 3， A P Q B A Q P B ， A P A Q B ，即11223 3x x xx x x ， 即 1 2 1 2 1 26 ( ) 3 ( ) 2x x x x x x x . 以下同解法 1. 解法 3： 设点 Q
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