人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《任意角和弧度制及任意角的三角函数》理 新人教A版.doc
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
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1 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 进行弧度与角度的互化 正弦、余弦、正切 )的定义 查三角函数求值问题，如 2011 年新课标全国 查三角函数定义的应用，如 2012 年山东 . 归纳 知识整合 1角的有关概念 角的特点 角的分类 从运动的角度看 角可分为 正角 、 负角 和 零角 从终边位置来看 可分为 象限角 和轴线角 与 角的终边相同 k360( k Z) (或 k2 ， k Z) 探究 们的大小有什么关系？ 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差 360 的整数倍，相等的角 终边一定相同 2锐角是第一象限 角，第一象限角是锐角吗？小于 90 的角是锐角吗？ 提示：锐角是大于 0 且小于 90 的角，第一象限角不 一定是锐角，如 390 ， 300都是第一象限角小于 90 的角不一定是锐角，如 0 ， 30 都不是锐角 2弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中 分类 定义 (公式 ) 1 弧度的角 把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 2 示 角 的弧度数公式 | | 长用 l 表示 ) 角度与弧度的换算 1 180 1 180 弧长公式 弧长 l | |r 扇形的面积公式 S 1212| | 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么 y 叫做 的正弦，记作 的余弦，记作 的正切，记作 各象限符号 正 正 正 正 负 负 负 负 正 负 正 负 口诀 一全正 ，二正弦，三正切，四余弦 三角函数线 有向线段 正弦线 有向线段 余弦线 有向线段 正切线 探究 提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负 自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )下列与 94 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A 2 45( k Z) B k360 94( k Z) C k360 315( k Z) D 54 (k Z) 3 解析：选 C 94 94180 360 45 720 315 ， 与 94 终边相同的角可表示为 k360 315( k Z) 2 (教材习题改编 )若角 同时满足 0 且 0，则角 的终边一定落在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：选 D 由 0，可知 的终边可能位于第三或第四象限，也可能与 y 轴的非正半轴重合由 0，可知 的终边可能位于第二象限或第四象限，可知 的终边只能位于第四象限 3已知扇形的周长是 6 积是 2 扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A 1 B 4 C 1 或 4 D 2 或 4 解析：选 C 设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 2r l 6，12l r 2，解之得 l r 2 或 r 1， l 4， 故圆心角 1 或 4. 4 (教材习题改编 )已知角 的终边经过点 P( x， 6)，且 513，则 x 的值为 _ 解析： x x 2 2 36 513， x 0，3625169，解之得 x 52. 答案： 52 5若点 P 在角 23 的终边上，且 | 2，则点 P 的坐标是 _ 解析： 角 23 的终边落在第二象限， 可设 P(x， y)，其中 x 0， y 0， 4 由题意得 3 ，3 ，即 x 1，y 3， P( 1， 3) 答案： ( 1， 3) 象限角及终边相同的角 例 1 (1)写出终边在直线 y 3x 上的角的集合； (2)若角 的终边与 67 角的终边相同，求在 0,2) 内终边与 3 角的终边相同的角； (3)已知角 为第三象限角，试确定 2 的终边所在的象限 自主解答 (1) 在 (0， ) 内终边在直线 y 3x 上的角是 3 ， 终边在直线 y 3x 上的角的集合为 | 3 k Z . (2) 67 2k Z)， 3 27 2k Z) 依题意 0 27 2 2 37 k 187 ， k Z. k 0,1,2，即在 0,2) 内终边与 3 相同的角为 27 ， 2021 ， 3421 . (3)由 是第三象限角，得 2 32 2k Z)， 2 4 2 3 4k Z) 角 2 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴 在 (3)的条件下，判断 2 为第几象限角？ 解： 2 32 2k Z)， 5 2 2 34 k Z) 当 k 2n(n Z)时， 2 2 2 34 2 当 k 2n 1(n Z)时， 32 2 2 74 2 2 为第二或第四象限角 1由 所在的象限，确定 n 所在象限的方法 (1)由角 的范围，求出 n 所在的范围； (2)通过分类讨论把角写成 k360( k Z)的形式，然后判断 n 所在象限 2已知三角函数式的符号判断角所在的象限 可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限 1 (1)已知角 2 5(k Z)，若角 与角 的终边相同，则 y | | | | |的值为 ( ) A 1 B 1 C 3 D 3 (2)已知点 P( ， )在第三象限，则角 的终边在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析： (1)选 B 由 2 5(k Z)及终边相同角的概念知， 的终边在第四象限，又 与 的终边相同，所以角 是第四象限角，所以 0， 0， 0. 因此， y 1 1 1 1. (2)选 B 点 P( ， )在第三象限， 0， 0， 是第二象限角 . 6 三角函数的定义 例 2 已知角 的终边上一点 P( 3， m)(m0) ，且 2求 ， 的值 自主解答 由题设知 x 3， y m， | ( 3)2 为原点 )， 得 r 3 从而 2 ， r 3 2 2，于是 3 8，解得 m 5. 当 m 5时， r 2 2， x 3， 32 2 64 ， 153 ； 当 m 5时， r 2 2， x 3， 32 2 64 ， 153 . 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三 个量： 角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x； 纵坐标 y； 该点到原点的距离 时注意在终边上任取一点有两种情况 (点所在象限不同 ) 2已知角 的终边在直线 3x 4y 0 上，求 ， ， 的值 解： 角 的终边在直线 3x 4y 0 上， 在角 的终边上任取一点 P(4t， 3t)(t0) ， 则 x 4t， y 3t， r t 2 3t 2 5|t|. 当 t 0 时，即 x0 时， r 5t， 3 35， 445， 3 34； 7 当 t 0 时，即 分时， 35， 45， 34； 当角 的终边在直线 3x 4y 0 的 x0 部分时， 35， 45， 34. 弧度制下扇形弧长与面积公式的应用 例 3 已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧长为 l. (1)若 60 ， R 10 扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长为 20 扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若 3 ， R 2 扇形的弧所在的弓形的面积 自主解答 (1) 60 3 ， R 10 l 10 3 103 (2) 扇形的周长 20， 2R l 20， 即 2R 20， S 12 12R(20 2R) 10R (R 5)2 25， 当 R 5 时，扇形的面积最大，此时 20 105 2， 即 2 弧度时，这个扇形的面积最大 (3)S 弓形 12 12 124 3 124 32 23 3， 8 即弓形的面积为 23 3 若将本例 (1)中的 “ R 10 改为 “ 扇形的弦 10 2 求扇形的弧长 l. 解：由题意得 5 2R 0 ，即 R 10 2， 故弧长 l 10 2 3 10 23 弧度制的应用 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷 (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值 记住下列公式： l R ； S 12 S 12R 是扇形的半径， l 是弧长， (0 2) 为圆心角， S 是扇形面积 3已 知在半径为 10 的圆 O 中，弦 长为 10， (1)求弦 对的圆心角 的大小； (2)求 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 解： (1)如图所示，过 O 作 点 C，则 5，在 ， 510 12， 30 ， 2 60. (2) 60 3 ， l | |r 103 . S 扇 1212 103 10 503 . 又 S 121010 3 25 3， S 弓形 S 扇 S 503 25 3 50 3 32 . 9 1 条规律 三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦 2 个技巧 三角函数的定义及单位圆的应用技巧 (1)在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点， | r 一定是正值 (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 4 个注意点 理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题 (1)第一象限角、锐角、小于 90 的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角 (2)角度制与弧度制可利用 180 行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 (3)要熟记 0 360 间特殊角的弧度表示 (4)要注意三角函数线是有向线段 . 创新交汇 三角函数的定义与向量的交汇问题 三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大 典例 (2012 山东高考 )如图，在平面直角坐标系 ，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于 (2,1)时， 坐标为 _ 解析 因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 2，即 2，则 2 2 ，所以 2 2 ， 2 2 ， 所以 2 2 ， 1 1 ， 所以 (2 ， 1 ) 答案 (2 ,1 ) 名师点评 1本题具有以下创新点 10 (1)本题考查三角函数与向量的知识，表面看似向量问题，其实质是考查三角函数的概念问题 (2)通过静止问题解决动态问题，考查了考生 处理变与不变的能力、运算求解能力、应用能力和创新能力 2解决本题的关键有以下几点 (1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心 C 的坐标； (2)正确作出辅助线，并求得 长度； (3)正确应用向量的坐标运算求出 坐 标 变式训练 1 (2012 安徽高考 )在平面直角坐标系中，点 O(0,0)， P(6,8)，将向量 点 O 按逆时针方向旋转 34 后 得向量 则点 Q 的坐标是 ( ) A ( 7 2， 2) B ( 7 2， 2) C ( 4 6， 2) D ( 4 6， 2) 解析：选 A 设从 x 轴正方向逆时针到向量 角为 ，则从 x 轴的正方向逆时针到向量 夹角为 34 ，这里 35， 坐标为 (x， y)，根据三角函数的定义 x 10 34 10 35 45 22 7 2， y 10 34 2， 即 Q( 7 2， 2) 2如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点 P 所旋转过的弧 长为 l，弦 长为 d，则函数 d f(l)的图象大致为 ( ) 解析：选 C 如图取 中点为 D. 设 ， 11 则 d 2 ， l 2 ， 故 d 2一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 1若 k180 45( k Z)，则 在 ( ) A第一或第三象限 B在第一或第二象限 C第二或第四象限 D 在第三或第四象限 解析：选 A 当 k 为偶数时， 的终边与 45 角的终边相同，是第一象限角平分线；当 k 为奇数时， 的终边与 45 角的终边在同一条直线上， 是第三象限角平分 线 2点 A( 013 ， 013) 在直角坐标平面上位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：选 C 由 2 013 3605 (180 33) 可知， 2 013 角的终边在第三象限，所以 013 0， 013 0，即点 A 位于第三象限 3已知角 的终边经过点 (3a 9， a 2)，且 0 ， 0，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 2,3 B ( 2,3) C 2,3) D 2,3 解析：选 A 由 0 ， 0 可知，角 的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴上，所以有 3a 90 ，a 2 0， 即 2 a3. 4若 是第三象限角，则 y s in c o s in c o ) A 0 B 2 C 2 D 2 或 2 解析：选 A 由于 是第三象限角，所以 2 是第二或第四象限角， 当 2 是第二象限角时， 12 y 1 1 0； 当 2 是第四象限角时， y 1 1 0. 5点 1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 23 弧长到达 ) A. 12， 32 B. 32 ， 12 C. 12， 32 D. 32 ， 12 解析：选 A 由三角函数定义可知 Q 点的坐标 (x， y)满足 x 12， y 32 . 6已知扇形的周长是 4 扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是 ( ) A 2 B 1 D 3 解析：选 A 设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则 2r l 4， 面积 S 1212r(4 2r) 2r (r 1)2 1， 故当 r 1 时 S 最大，这时 l 4 2r 2. 从而 21 2. 二、填空题 (本大 题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 ) 7若点 P(x， y)是 300 角终边上异于原点的一点，则 _ 解析： 00 60 60) 0 3. 答案： 3 8 (2013 辽源模拟 )若三角形的两个内角 ， 满足 0，则此三角形为 _ 13 解析： 0，且 ， 是三角形的两个内角 0， 0， 为钝 角故三角形为钝角三角形 答案：钝角三角形 9已知角 的终边过点 P( 8m， 60) ，且 45，则 m 的值为 _ 解析： r 649， 89 45， m 0， 49125， m 12. m 0， m 12. 答案： 12 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分 ) 10已知角 的终边过点 P( 3 ， 4 )，其中 2 ， ，求 的三角函数值 解： 2 ， ， 1 0. r 9 16 5 ， 故 45， 35， 43. 11一个扇形 面积是 1 的周长是 4 圆心角的弧度数和弦长 解 ：设圆的半径 为 r 弧长为 l 则 121，l 2r 4，解得 r 1，l 2. 则圆心角 2. 如图，过 O 作 1， 故 1 2 12角 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称 (a 0)，角 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y x 对称，求 的值 14 解：由题意得，点 P 的坐标为 (a， 2a)，点 Q 的坐标为 (2a， a) 所以， 2 2a 2 25， 2a 2 15， 2 2， 15， 2 25， 12， 故有 25 15 15 25 ( 2) 12 1. 1 (1)把 1 480 写成
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