人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《集合及其运算》理 新人教A版.doc
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
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1 第二节 一元二次不等式及其解法 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 元二次方程的关系； 给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 2012 年重庆 一元二次方程中未知参数的取值范围 归纳 知识整合 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 4 0 0 0 二次函数 y c (a 0)的图象 一元二次方程 c 0 (a 0)的根 有两相异实根 x1，x2(有两相等实根 有实数根 c 0 (a0)的解集 x|x|x R c 0 (a0)的解集 x|x 探究 c0， 一切 x R 都成立的条件为 a0， 0 的解集代替 x b0 的解集，你认为如何求不等式 x 则 A B ( ) A x| 40，得 x3 或 解集为x 10，即 6m 10. m 3 2 2. 答案： ( ， 3 2 2) ( 3 2 2， ) 5不等式 40 ，即 6. a4 或 (2)4x 50 ； (3)(a 1)x 10，所以方程 8x 3 0 有两个不等实根 4 13， 4 y 8x 3 的图象开口向下，所以原不等式的解集为 x|4 131. 若 得 若 a0，原不等式等价于 x 1a (x 1)1 时， 1 x 1a (x 1)1 ； 当 a 0 时，解集为 x|x1；当 01 时，解集为x 1a 1 72 . 由 ，得 1 32 0(a0) 恒成立的充要条件是： a0 且 40 时均有 (a 1)x 1(1)0 ，则 a _. 解析 x0， 当 a1 时， (a 1)x 11. 对于 1 0，设其两根为 又当 x0 时，原不等式恒成立， 通过 y (a 1)x 1 与 y 1 图象可知 1a 1必须满足方程 1 0，即 代入解得 a 32或 a 0(舍 ) 答案 32 名师点评 1本题具有以下创新点 (1)本题是考查三次不等式的恒成立问题，可转化为含参数的一元一次不等式及一元二 9 次不等式的恒成立问题 (2)本题将分类讨论思想、整体思想有机结合 在一起，考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平 2解决本题的关键 (1)将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题； (2)若直接通过函数求导、求最小值，则运算量大，基本上无法求解；而通过一次函数(a 1)x 1(x0)及二次函数 1(x0)图象的变化情况，再结合 a 1为方程 1 0 的根，使问题得以巧妙解决 变式训练 1偶函数 f(x)(x R)满足： f( 4) f(1) 0， 且在区间 0,3与 3， ) 上分别递减和递 增，则不等式 x)1 的解集为 ( ) A (2,3) ( 3， 2) B ( 2， 2) C (2,3) D ( ， 2) ( 2， ) 解析：选 A 由导函数图象知当 即 f(x)在 ( ， 0)上为增函数； 当 x0 时， f( x)1 等价于 f(6)f( 2)或 f(6)f(3)，即 21. 2已知不等式 2x ，不等式 (x 1)(x 2)0 的解集为 x| 20 对于一切 x R 恒成立 (1)当 4a 5 0 时，有 a 5 或 a 1.若 a 5，不等式化为 24x 30，不满足题意；若 a 1，不等式化为 30，满足题意 (2)当 4a 50 时，应有 4a 50，a 2 4a 解得 1x(x 2)的解集是 _ 解析：不等式 |x(x 2)|x(x 2)的解集即 x(x 2)f(a)，则实数 a 的取值范围是 _ 12 解析： f(x)是奇函数， 当 xf(a)，得 2 a2a， 即 20， 得 3x0 即 3 x0 ， 得 x1 或 解集是 ( ) A. 12， 1 B (1， ) C ( ， 1) (2， ) D. ， 12 (1， ) 解析：选 D 2x 10， (2x 1)(x 1)0， 解集为x 2如果不等式 226x 30，所以不等式可化为 22依题意有 (6 2m)2 8(3 m)0， 0 ， 即 a0，1 8. 解得 a 24 ，即 a 的取值范围是 24 ， . 答案： 24 ， 4汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为 “ 刹车距离 ” 刹车距离是分析交通事故的一个重要因素在一个限速 40 km/、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车型的刹 车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系： s 甲 s 乙 谁超速行驶应负主要责任？ 解：由题意列出不等式对甲车型： 2， 解得 x30( 解得 x40(km/h， x 乙 40 km/h， 经比较知乙车超过限速，应负主要责任 1 第三节 三角函数的图象与性质 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 y x， y x， y x 的图象，了解三角函数的周期性 弦函数在区间 0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值以及与 ，理解正切函数在区间 2 ，2 内的单调性 . 期性及对称性如 2012 年新课标全国 或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题如 2012 年湖南 2012 年北京 . 归纳 知识整合 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y x y x y x 图象 定义域 R R 错误 ! k Z 值域 1,1 1,1 R 单调性 递增区间：2 2 ， 22 (kZ) 递减区间：递增区间： 2 ，2 (k Z) 递减区间： 2 2 (k Z) 递增区间： 2 ， 2(k Z) 2 2 2 ， 232 (k Z) 最 值 x 2 2(k Z)时， 1 x 2 2(k Z)时， 1 x 2k Z)时， 1 x 2 ( k Z) 时， 1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 ( 0)， k Z 对称中心 2 ， 0 ， k Z 对称中心 0 (k Z) 对称轴 l x 2 ， k Z 对称轴 l x k Z 无对称轴 周期 2 2 探究 y x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是正切函数 y x 在每一个区间 2 ， 2 (k Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数 2当函数 y x )分别为奇函数和偶函数时， 的取值是什么？对于函数 y x )呢？ 提示：函数 y x )，当 k Z)时是奇函数，当 2(k Z)时是偶函数；函数 y x )，当 k Z)时是偶函数，当 2(kZ)时是奇函数 自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )设函数 f(x) 2x 2 ， x R，则 f(x)是 ( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 2 的偶函数 3 解析：选 B f(x) x 2) x， f(x)是最小正周期为 的偶函数 2 (教材习题改编 )函数 y 4x， x ， 的单调性是 ( ) A在 ， 0上是增函数，在 0， 上是减函数 B在 2 ， 2 上是增函数，在 ， 2 和 2 ， 上都是减函数 C在 0， 上是增函数，在 ， 0上是减函数 D在 2 ， ， 2 上是增函数，在 2 ， 2 上是减函数 解析：选 B 由函数 y 4x， x ， 的图象可知，该函数在 2 ， 2 上是增函数，在 ， 2 和 2 ， 上是减函数 3函数 y x 12的定义域为 ( ) A. 3 ， 3 B. 3 ， 3 ， k Z C. 2 3 ， 2 3 ， k Z D R 解析：选 C 120 ，得 x 12， 2 3 x2 3 ， k Z. 4 (教材习题改编 )函数 f(x) 3 4 ， x R 的最小正周期为 _ 解析：函数 f(x) 3 4 的最小正周期为 T 212 4. 答案： 4 5函数 y 3 2 x 4 的最大值为 _，此时 x _. 解析：函数 y 3 2 x 4 的最大值为 3 2 5，此时 x 4 2即 x 34 2k Z) 4 答案： 5 34 2k Z) 三角函数的定义域和值域 例 1 (1)求函数 y x 1) 1 2 (2)求函数 y 25x 4 的值域 自主解答 (1)要使函数有意义，必须有 2x 10，1 2x0 ， 即 x12，x 12，解得 6 20， 0)的最大值为 3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 2. (1)求函数 f(x)的解析式； 16 (2)设 0， 2 ， f 2 2，求 的值 解： (1) 函数 f(x)的最大值为 3， A 1 3，即 A 2. 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， 最小正周期 T ， 2，故函数 f(x)的解析式为 y 2 2x 6 1. (2) f 2 2 6 1 2， 6 12. 00，若 y f(x )在区间 2 ， 23 上是增函数，求 的取值范围； 解： (1)f(x) 24x (x x) (x x) 4x1 2 x 2x(1 x) 1 22x 1， 故函数解析式为 f(x) 2x 1. (2)f( x) 2 x 1， 0. 由 2 2 x2 2 ， 得 f(x )的增区间是 2 2 ， 2 2 ， k Z. f(x )在 2 ， 23 上是增函数， 2 ， 23 2 ， 2 . 17 2 2 且 23 2 ， 0， 34 . 12 (2012 湖北高考 )已知向量 a (x x ， x )， b ( x x, 2 3x )，设函数 f(x) a b (x R)的图象关于直线 x 对称，其中 ， 为常数，且 12， 1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y f(x)的图象经过点 4 ， 0 ，求函数 f(x)在区间 0， 35 上的取值范围 解： (1)f(x) 2 3x x x 3x 2 2x 6 . 由直线 x 是 y f(x)图象的一条对称轴，可得 2 6 1 ， 所以 2 6 2(k Z)，即 13(k Z) 又 (12， 1)， k Z，所以 k 1，故 56. 所以 f(x)的最小正周期是 65 . (2)由 y f(x)的图象过点 4 ， 0 ，得 f 4 0， 即 2 56 2 6 2 2， 即 2. 故 f(x) 2 53x 6 2， 由 0 x 35 ，有 6 53x 6 56 ， 所以 12 53x 6 1 ， 得 1 22si n 53x 6 22 2， 故函数 f(x)在 0， 35 上的取值范围为 1 2， 2 2 18 1求下列函数的定义域： (1)y lg x)； (2)y x x. 解 ： (1)要使函数有意义 ， 必须使 x) 0. 1x1 ， 0 x1. 利用单位圆中的余弦线 依题意知 0 ， 能在 x 轴的正半轴上， 其定义域为 x 2 2 x 2 2 k Z . (2)要使函数有意义，必须使 x x0. 利用图象在同一坐标系中画出 0,2 上 y x 和 y x 的图象，如图所示 在 0,2 内，满足 x x 的 x 为 4 ， 54 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2 ，所以定义域为 x 4 2x 54 2 k Z . 2写出下列函数的单调区间及周期： (1)y 2x 3 ； (2)y |x|. 解： (1)y 2x 3 ， 它的增区间是 y 2x 3 的减区间， 它的减区间是 y 2x 3 的增区间 由 2 2 2 x 3 2 2 ， k Z， 得 12 x 512 ， k Z. 由 2 2 2 x 3 2 32 ， k Z， 得 512 x 1112 ， k Z. 故所给函数的减区间为 12， 512 ， k Z； 19 增区间为 512 ， 1112 ， k Z. 最小正周期 T 22 . (2)观察图象可知， y |x|的增区间是 2 ， k Z，减区间是 2 ， k T . 3求 下列函数的值域： (1)y x 52 x； (2)y 4x 5. 解： (1)由 y x 52 x，得 x 2y 5y 1. 因为 1x1 ， 所以 1 2y 5y 1 1 ，解得 43 y6. 因此，原函数的值域为 43， 6 . (2)y 4x 5 (2)2 1. 因为 1x1 ，所以 2 y10. 因此，原函数的值域为 2,10 4设函数 f(x) 3 x 6 ， 0， x ( ， ) ，且以 2 为最小正周期 (1)求 f(0)； (2)求 f(x)的解析式； (3)已知 f 4 12 95，求 的值 解： (1)由题设可知 f(0) 3 32. (2) f(x)的最小正周期为 2 ， 22 4. f(x) 3 4x 6 . (3) f 4 12 3 3 6 3 95， 35， 1 45. 1 第一节 不等关系与不等式 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 组 )的实际背景 本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现： (1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立； (2)利用不等式的性质进行大小关系的比较 (3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用 . 归纳 知识整合 1比较两个实数大小的法则 设 a， b R，则 (1)a ba b 0； (2)a ba b 0； (3)a ba b 0. 2不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 abbcac 可加性 aba cb c 可乘性 a acbc ad a cb d 2 同向同正可乘性 ab0cd0 ac 可乘方性 ab0anbn(n N， n2) 同正 可开方性 ab0n an b(n N， n2) 探究 提示：不一致同向不等式相加，对两边字母无条件限制， 而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立 2 (1)ab1abanbn(n N，且 n1)对吗 ？ 提示： (1)不成立，当 a， b 同号时成立，异号时不成立 (2)不对，若 n 为奇数，成立，若 n 为偶数，则不一定成立 自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )给出下列命题： ab a|b|a2 aba3 |a|ba2 ) A B C D 解析：选 B 当 c 0 时， 不成立；当 |a| 1， b 2 时， 不成立 2如果 a R，且 a B a a2a C aa2a D aa 析 ： 选 B cd，且 c， d 不为 0，那么下列不等式成立的是 ( ) A ad B ac a cb d D a cb d 解析：选 D 由不等式的性质知， ab， cda cb d. 4 (教材习题改编 )已知 ab0， cd0，则 _ 解析： cd0， 1d1c0. 3 又 ab0， ad. 答案： 已知 12 N C M N D 不确定 (2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( ) A甲先到教室 B乙先到教室 C两人同时到教室 D谁先到教室不确定 自主解答 (1)M N (1) 1 a1(1) (1) (1)(1)， 又 (0,1)， (0,1)， 10， 即 M N0. MN. (2)设甲用时间为 T，乙用时间为 2t，步行速度为 a，跑步速度为 b，距离为 s，则 Ts a s t 2b. T 2t s a 2b s a 4a b s a b 22ab a b 0，即乙先到教室 答案 (1)B (2)B 5 若将本例 (1)中 “ (0,1)” 改为 “ (1， )” ，试比较 M 与 N 的大小 解 ： M N (1) (1)(1)， 当 (1， ) 时， 10， 10. (1)( 1)0. M N0，即 MN. 比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤是： 作差； 变形； 定号； 结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差 作商法 一般步骤是： 作商； 变形； 判断商与 1 的大小； 结论 注意所比较的两个数的符号 特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路 . 2比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 1 与 2x 1； (2)当 a0， b0 且 a b 时， 解： (1) 3x 1 2x 1 2x 2 (x 1)2 10， 3x 12x 1. (2)a b1bb. 当 ab，即 a b0， 时， ab a b1， 当 当 a0， b0 且 a b 时， 不等式性质的简单应用 6 例 3 (1)(2012 湖南高考 )设 ab1， b c) 其中所有的正确结论的序号是 ( ) A B C D (2)已知三个不等式： ， ， (其中 a， b， c， d 均为实数 )，用其 中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 自主解答 (1) ab1 1aba 1abb 1 1b1 所以 正确； ab1c0 a c)b c)， ab1c1a c)a c)， 所以 a c)b c)所以 正确 (2) 由 ， ，即 bc 得 ca ； 由 ， ，即 ca bc 即 ； 由 ， ， 即 0，得 ； 故可组成 3 个正确的命题 7 答案 (1)D (2)D 与不等式有关的命题的真假判断 在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等 3 (2013 包头模拟 )若 a0b a， (2)d； (4)a(d c)b(d c)中能成立的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 C a0b， b a， a b0. c d0. a( c)( b)( d) d. ab， a ( c)b ( d)， 即 a cb d. (3)正确 ab， d c0， a(d c)b(d c) (4)正确 1 个区别 不等式与不等关系的区别 不等关系强调的是关系，可用符号 “” ， “b” ， “ 1,0 0b0， m0，则 真分数的性质： m(b m0)； 假分数的性质： aba m； 3 个注意点 应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如 a b， bb无 c0 这个条件， ab当 c 0 时，取 “ ”) (3)“ ab0anbn(n N*， n1)” 成立的条件是 “ n 为大于 1 的自然数， ab0” ，假如去掉 “ n 为大于 1 的自然数 ” 这个条件，取 n 1， a 3， b 2，那么就会出现 “3 12 1”的错误结论；假如去掉 “ b0” 这个条件，取 a 3， b 4， n 2，那么就会出现 “3 2(4)2” 的错误结论 . 易误警示 解题时忽视不等式的隐含条件而致误 典例 (2013 盐城模拟 )已知 1d，则 “ ab” 是 “ a cb d” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B 由 a cb dcd ab；而当 a c 2， b d 1 时，满足 abcd ，但 a cb d 不成立， 所以 “ ab” 是 “ a cb d” 的必要不充分条件 2 (2013 朔州模拟 )已知 B aba C aba D aba 10 解析 ： 选 D 由 1a. 3 设 0， 2 ， 0， 2 ， 那么 2 3 的取值范围是 ( ) A. 0， 56 B. 6 ， 56 C (0， ) D. 6 ， 解析 ： 选 D 0 B c(b a)0 C A 一定正 确； B 一定正确； D 一定正确；当 b 0时 C 不正确 5设 a， b 为正实数，则 “ b0， 不等式 的性质 a 1b0， a a b) 答案： 12(ab(a b) 8 若 xyz1， 则 _ 解析 ： 因为 xyz1， 所以有 xyxz于是有 答案 ： 已知函数 f(x) 24(a0)， 若 a(a 1)0.又 当 x1 时， (x 1)(1)0，即 x3x 1； 当 x 1 时， (x 1)(1) 0，即 x 1； 当 xbc，求证： 1a b 1b c 1c a0. 证明： abc， c b. a ca b0. 1a b 1a c0. 1a b 1c a0.又 b c0， 1b c0. 1a b 1b c 1c a0. 12已知 f(x) c 且 4 f(1) 1， 1 f(2)5 ，求 f(3)的取值范围 解：由题意，得 a c f ，4a c f ， 解得 a 13f f ，c 43f 13f(3) 9a c 53f(1) 83f(2) 因为 4 f(1) 1， 所以 53 53f(1) 203. 因为 1 f(2)5 ， 所以 83 83f(2) 403. 两式相加，得 1 f(3)20 ，故 f(3)的取值范围是 1,20 1限速 40 km/示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 0 km/h，写成不等式就是 ( ) A km/h C v40 km/h D v 40 km/h 解析 ： 选 D 速度 v 不超过 40 km/h， 即 v 40 km/h. 2 已知 a， b， c R， 则 “ ab” 是 “ 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B ab / 为当 0 时， 之， ab. 13 3若 1a|a b| 解析：选 D 1aab. a2aba b0， |a| |b| |a b|. 1 第五节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 切公式 弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 . 弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值，如2012 年江苏 东 空题，也有解答题 ，且常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题，如 2012 年安徽 东 . 归纳 知 识整合 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ) ) ) 1 探究 出现不适用的情况如何化简？ 提示 ：在 T( )与 T( )中， ， ， 都不等于 2(k Z)，即保证 ， ， )都有意义；若 ， 中有一角是 2(k Z)，可利用诱导公式化简 2二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？ 提示：二倍角余弦公式的常用变形是： 1 2 ， 1 2 ，这 2 就是使用极其广泛的降幂扩角公式在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的 “ 次数 ” 降低，利于问题的研究 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 2 2 1 1 2 21 自测 牛刀小试 1 计算 87 87 的结果等于 ( ) B. 22 C. 32 D. 33 解析 ： 选 B 原式 8 17) 5 22 . 2 已知 6 37， 6 25， 则 )的值为 ( ) D 1 解析：选 D ) 6 6 6 6 1 6 ta n 6 37251 37 25 1. 3 (教材习题改编 )下列各式中，值为 12的是 ( ) A 2515 B C 2 1 D 解析 ： 选 A 25 0 12； 0 32 ； 2 1 0 32 ； 1. 3 4 (教材习题改编 )已知 35， 0 ，则 6 _. 解析： 35， 0 ， 45， 6 32 12 32 35 12 45 4 3 310 . 答案 ： 4 3 310 5 (教材习题改编 )在 ， 45， 2， 则 A 2B) _. 解析 ： 在 ， 45， 0 A ， 得 35. 34. A 21 247 ， B 21 43， A 2B) A A B 44117. 答案： 44117 三角函数式的化简 例 1 (1)化简： 2 2 (0 ) ； (2)求值： 1 020 0 1 . 自主解答 (1)原式 4 2 2 4 因为 0 ，所以 0 2 2 ， 所以 0，所以原式 . (2)原式 2200 0 020 0 020 0 0120 020 20 0 2020 0 20 0 2 120 32 020 3020 32 . 三角函数式的化简要遵循 “ 三看 ” 原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征 . 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项，消去求值； 5 化分子、分母出现公约数进行约分求值 . 1化简下列各式： (1) ； (2) 3 00 1 0 . 解： (1)原式 2 2 2 24 . (2) 0(1 30) 0 0 300 0 200 1， 0 1 0 0 20 2 3 00 1 0 1 02 2. 三角函数的求值问题 例 2 (2012 广东高考 )已知函数 f(x) 2 x 6 (其中 0， x R)的最小正周期为 10. (1)求 的值； (2)设 ， 0， 2 ， f 5 53 65， f 5 56 1617，求 )的值 6 自主解答 (1) f(x) 2 x 6 ， 0 的最小正周期 T 10 2 ， 15. (2)由 (1)知 f(x) 2 15x 6 ， 而 ， 0， 2 ， f 5 53 65， f 5 56 1617， 即 2 15 5 53 6 65， 2 15 5 56 6 1617， 即 2 35， 817， 于是 35， 45， 1517， 故 ) 45 817 35 1517 1385. 解决给值求值问题的方法 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角 表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差 (2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成 “ 倍的关系 ” 或 “ 互余互补 ” 的关系 2已知 0 2 ，且 2 19， 2 23，求 )的 值 解： 0 2 ， 4 2 2 ， 4 2 ， 2 1 2 53 ， 2 1 2 4 59 ， 2 2 2 7 2 2 2 2 19 53 4 59 23 7 527 ， ) 2 2 1 2 495729 1 239729. 三角函数的求角问题 例 3 若 55 ， 1010 ，且 A， B 均为钝角，求 A B 的值 自主解答 A、 B 均为钝角且 55 ， 1010 ， 1 25 2 55 ， 1 310 3 1010 ， B) 2 55 3 1010 55 1010 22 ， 又 2 A ， 2 B ， A B 2 ， 由 知 ， A B 74 . 若将 “ A， B 均为钝角 ” 改为 “ A， B 均为锐角 ” ，如何求解？ 解： A， B 均为锐角，且 55 ， 1010 ， 1 2 55 ， 1 3 1010 ， A B 2 55 3 1010 55 1010 22 . 8 又 A， B (0, 2 )， A B ， ， A B 4. 1解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出要求的角 2在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是 (0， ) ，选余弦较好；若角的范围为 2 ， 2 ，选正弦较好 3已知 17， ) 1314，且 00， 00， 02 2. 此时 ) 1 34171 34 17 1. 170， 2 . 则 2 0. 2 34 . 1 第三节 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 用平面区域表示二元一次不等式组 能加以解决 . 择题或填空题 (1)求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值 (范围 )，如 2012 年广东 课标全国 东 (2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如 2012 年江西 (3)将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数等相结合命题，如 2012 年陕西 建 . 归纳 知识整合 1二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 C 0 表示直线 C 0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面 )不包括 边界直线 不等式 C0 所表示的平面区域 (半平面 )包括 边界直线 (2)对于直线 C 0 同一侧的所有点 (x， y)，使得 C 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合 C 0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合 C 0. (3)可在直线 C 0 的某一侧任取一点，一般取特殊点 (从 号 来判断 C0(或 入 x 2y 2 得 10，即点 (1,1)在 x 2y 20 的内部，在 x y 10 的内部，故所求二元一次不等式组为 x y 10 ，x 2y 20. 4下列各点中，与点 (1,2)位于直线 x y 1 0 的同一侧的是 ( ) A (0,0) B ( 1,1) C ( 1,3) D (2， 3) 解析：选 C 当 x 1， y 2 时， x y 1 1 2 1 20， 当 x 1， y 3 时， x y 1 1 3 1 10， 故 ( 1,3)与 (1,2)位于直线 x y 1 0 的同侧 4 5 (2012 广东高考 )已知变量 x， y 满足约束条件 x y1 ，x y1 ，x 10 ，则 z x 2y 的最小值为 ( ) A 3 B 1 C 5 D 6 解析：选 C 变量 x， y 满足的不等式组 x y1 ，x y1 ，x 10表示的平面区域如图所示，作辅助线 x 2y 0，并平移到过点 A( 1， 2)时， z x 2y 达到最小，最小值为 5. 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 例 1 (2012 福 建 高 考 )若 直 线 y 2x 上 存 在 点 (x， y)满 足 约 束 条 件 x y 30 ，x 2y 30 ，x m，则实数 m 的最大值为 ( ) A 1 B 1 D 2 自主解答 如图所示： 约束条件 x y 30 ，x 2y 30 ，x 直线 x m 从如图所示的实线位置运动到过 A 点的位置时， m 取最大值解方程组 5 x y 3 0，y 2x， 得 A 点坐标为 (1,2)，故 m 的最大值是 1. 答案 B 二元一次不等式表示的平面区域的画法 在平面直角坐标系中，设有直线 C 0(B 不为 0)及点 P(则 (1)若 B0， C0，则点 P 在直线的上方，此时不等式 C0 表示直线C 0 的上方的区域 (2)若 B0， 截距 z 也取最大值；截距 z 也取最小值 (2)若 2x 1， x0 ， D 是由 x 轴和曲线 y f(x)及该曲线在点 (1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 z x 12 2y 在 D 上的最大值为 _ 解析：当 x0 时，求导得 f( x) 1x，所以曲线在点 (1,0)处的切线的斜率 k 1，切线方程为 y x 1，画图可知区域 D 为三角形，三个顶点的坐标分别为 12， 0 ， (0， 1)，(1,0)，平移直线 x 2y 0，可知在点 (0， 1)处 z 取得最大值 2. 答案： 2 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 1不等式组 x0 ，x 3y4 ，3x y4所表示的平面区域的面积等于 ( ) 析：选 C 平面区域如图 解 x 3y 4，3x y 4， 得 A(1,1)， 易得 B(0,4)， C 0， 43 ， | 4 43 83. S 12 831 43. 2在平面直角坐标系 ，满足不等式组 |x| y|，|x|0，y2 ，则 ) A (0,2) B (0,2 C (2， ) D 2， ) 解析：选 D 画出线性约束条件的可行域 (如图 ) k. 由 x y 1 0，y 2， 得 A(1,2)， 故 k 2. . 14 5 (2012 辽宁高考 )设变量 x， y 满足 x y10 ，0 x y20 ，0 y15 ，则 2x 3y 的最大值为 ( ) A 20 B 35 C 45 D 55 解析：选 D 作出不等式组对应的平面区域 (如图所示 )，平移直线 y 23x，易知直线经过可行域上的点 A(5,15)时， 2x 35. 6 (2013 衡水模拟 )点 P(2， t)在不等式组 x y 40 ，x y 30 ， 表示的平面区域内，则点 P(2， t)到直线 3x 4y 10 0 距离的最大值为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析：选 B 画出不等式组表示的平面区域 (如图阴影部分所示 ) 结合图形可知，点 A 到直线 3x 4y 10 0 的距离最大由 x 2x y 3 0 得 A 点坐标为 (2,1)，故所求最大距离为 32 41 10|32 42 4. 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 ) 7已知点 ( 3， 1)和点 (4， 6)在直线 3x 2y a 0 的两侧，则 a 的取值范围为_ 解析：根据题意知 ( 9 2 a)(12 12 a)1，在约束条件 y x，y mx，x y1下，目标函数 z x 最大值小于 2，则 m 的取值范围为 ( ) A (1,1 2) B (1 2， ) C (1,3) D (3， ) 解析：选 A m1，由 y x，y mx，x y1 ，画出可行域，如图所示 对于目标函数 z x y 1 平移直线 y 1 B 处 z 取值最大，则由 y y 1 得 B 1m 1， 1 ， 1m 1 11， 1m1 2. 1 第五节 二次函数与幂函数 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 y x， y y y 1x，y 图象，了解它们的变化情况 象特征 求二次函数在给定区间上的最值 次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力 . 查二次方程的 解集，二次函数的定义域、值域或二次不等式的解集，如 2012 年北京 江 用数形结合的思想解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题，如 2012 年北京 2012 年江苏 . 归纳 知识整合 1二次函数的解析式 (1)一般式： f(x) c(a0) ； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为 (h， k)， 则其解析式为 f(x) a(x h)2 k(a0) ； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为 其解析式为 f(x) a(x xa0) 2二次函数的图象和性质 a0 a0(a0) 与 成立的充要条件是 a0， 0 时，根据幂运算，幂函数 y 0 恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内 3函数 y x， y y y y 10,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？ 提示：在区间 (0,1)上幂指数越大其图象越靠下 自测 牛刀小试 1如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x 1 对称，且过点 (0,0)，则此二次函数的解析式为 ( ) A f(x) 1 B f(x) (x 1)2 1 C f(x) (x 1)2 1 D f(x) (x 1)2 1 解析：选 D 由图象开口向上且关于直线 x 1 对称，可排除 A、 B 选项；由图象过点 (0,0)可排除 C 选项 2已知函数 f(x) x 5 在 x 轴上方，则 a 的取值范围是 ( ) A. 0， 120 B. ， 120 C. 120， D. 120， 0 解析 ：选 C 函数 f(x) x 5 在 x 轴上方， a0， 1 203 (教材习题改编 )已知函数 y 2x 3 在闭区间 0， m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为 ( ) A 0,1 B 1,2 C (1,2 D (1,2) 解析：选 B 如图，由图象可知 m 的取值范围 1,2 4 4 (教材习题改 编 )如图中曲线是幂函数 y 第一象限的图象已知 n 取 2 ， 12四个值，则相应于曲线 n 值依次为 ( ) A 2， 12， 12， 2 B 2， 12， 12， 2 C 12， 2,2， 12 D 2， 12， 2， 12 解析：选 B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知， 曲线 应的n 依次为 2， 12， 12， 2. 5 (教材习题改编 )下列函数是幂函数的序号是 _ y 2x； y 2x 1； y (x 2)2； y 3 y 1x. 解析： y 3 y 1x x 12故 为幂函数 答案： 5 二次函数的解析式 例 1 已知二次函数 f(x)同时满足以下条件： (1)f(1 x) f(1 x)； (2)f(x)的最大值为 15； (3)f(x) 0 的两根的立方和等于 17. 求 f(x)的解析式 自主解答 依条件，设 f(x) a(x 1)2 15(， f(x)在 2,3上为增函数， 故 f 5，f 2， 9a 6a 2 b 5，4a 4a 2 b 2， a 1，b 0. 当 x1)f f 以 正确 法二：设 f(x) 则有 18 24 即 18 18 12 ，所以 12，所以 f(x) 设 g(x) xf(x) 因为 g(x) 定义域内是增函数，当 以 正确 答案 D 幂函数 y 象的特征 (1) 的正负； 0 时，图象过原点和 (1,1)，在第一象限的图象上升； 1 时，曲线下凸； 0g(x)f(x) 答案： h(x)g(x)f(x) 1 类最值 二次函数在给定区间上的最值 二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且只能在区间的端点或顶点处取得对于“ 轴变区间定 ” 和 “ 轴定区间变 ” 两种情形，要借助二次函数的图象特征，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论求解 2 种思想 数形结合与分类讨论思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路 (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次不等式根的大小等 5 种方法 二次函数对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y f(x)定义域内所有 x，都有 f( f(那么函数 y f(x)图象的对称轴方程为 x (2)对于二次函数 y f(x)定义域内所有 x，都有 f(a x) f(a x)成立，那么函数 y f(x)图象的对称轴方程为 x a(a 为常数 ) (3)对于二次函数 y f(x)定义域内所有 x，都 有 f(x 2a) f( x)，那么函数 y f(x)图象的对称轴方程为 x a(a 为常数 ) 注意： (2)(3)中， f(a x) f(a x)与 f(x 2a) f( x)是等价的 (4)利用配方
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