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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《函数的单调性与最值》理 新人教A版.doc
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
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1 第三节 函数的单调性与最值 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 大值、最小值及其几何意义 高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题 般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本 方法 . 归纳 知识整合 1函数的单调性 (1)单调函数的定义： 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右 看图象是 逐渐上升的 自左向右看图象是 逐渐下降的 (2)如果函数 y f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ，那么就说函数 y f(x)在区间 D 2 具有 (严格的 )单调性，这一区间叫做 y f(x)的单调区间 . 探究 y 1 ， 0) (0， ) ，这种表示法对吗？ 提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号 “ ” 联结 ，也不能用 “ 或 ”联结 2函数 f(x)在区间 a， b上单调递增与函数 f(x)的单调递增区间为 a， b含义相同吗？ 提示：含义不同 f(x)在区间 a， b上单调递增并不能排除 f(x)在其他区间上单调递增，而 f(x)的单调递增区间为 a， b意味着 f(x)在其他区间上不可能单调递增 2函数的最值 前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 对于任意 x I，都有 f(x) M； 存在 I，使得 f( M. 对于任意 x I，都有 f(x) M； 存在 I，使得 f( M. 结论 M 为最大值 M 为最小值 探究 大 (小 )值反映在其图象上有什么特征？ 提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大 (小 )值反映在图象上为其最高 (低 )点的纵坐标的值 自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )函数 f(x) 2x 1 ， x 2,6，则下列说法正确的有 ( ) 函数 f(x)为减函数； 函数 f(x)为增函数； 函数 f(x)的最大值为 2； 函数 f(x)的最小值为 25. A B C D 解析：选 B 易知函数 f(x) 2x 1在 x 2,6上为减函数，故 f(x)f(6) 25， f(x)f(2) 2. 2函数 y (2k 1)x b 在 ( ， ) 上是减函数，则 ( ) A k12 B k 12 D |x|0. (1)若 2f(1) f( 1)，求 a 的值； (2)证明：当 a1 时，函数 f(x)在区间 0， ) 上为单调减函数 自主解答 (1)由 2f(1) f( 1)， 4 可得 2 2 2a 2 a，得 a 23 . (2)证明：任取 0， ) ，且 f(x)在 0， ) 上单调递减 判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是： 取值 作差 商 变形 确定符号 得出结论 (2)利用导数的基本步骤是： 求导函数 确定符号 得出结论 1讨论函数 f(x) 1(a0)的单调性 解：由 10 ，得 x1 ，即 定义域为 ( ， 1) ( 1,1) (1， ) 当 x ( 1,1)时，设 10， 10， (1)(1)0. 又 a0， f( f(0，函数 f(x)在 ( 1,1)上为减函数 5 设 10， 10， ， 10. f( f(0，即 f(f( f(x)在 (1， ) 上为减函数 又函数 f(x)是奇函数， f(x)在 ( ， 1)上是减函数 . 求函数的单调 区间 例 2 求下列函数的单调区间 (1)y 2|x| 3； (2)y 1) 自主解答 (1)依题意，可得 当 x0 时， y 2x 3 (x 1)2 4； 当 在 (1， ) 上为增函数且 0. 当 x ( ， 1)时， y 1)为减函数， 当 x (1， ) 时， y 1)为增函数 1求函数单调区间应注意的问题 函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的 6 定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行 2求复合函数 y fg(x)的单调区间的步骤 (1)确定定义域； (2)将复合函数分解成基本初等函数： y f(u)， u g(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间； (4)若这两个函数同增或同减，则 y fg(x)为增函数； 若一增一减，则 y fg(x)为减函数，即 “ 同增异减 ” 2求函数 y x 6的单调区间 解：令 u x 6， y x 6可以看作有 y u与 u x 6 的复合函数 由 u x 60 ，得 x 3 或 x2. u x 6 在 ( ， 3上是减函数， 在 2， ) 上是增函数，而 y 0， ) 上是增函数 y x 6的单调减区间为 ( ， 3，单调增区间为 2， ). 由函数的单调性求参数的值 (或范围 ) 例 3 已知函数 f(x) a0)在 (2， ) 上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围 自主解答 在区间 (2， ) 上任取 a4 ，又 a0， 7 a 的取值范围为 (0,4 若将 “ f(x) a0)” 改为 “ f(x)x 5x a 2” ，如何求解？ 解： f(x) x 5x a 2 1 a 3x a . f(x)在 (2， ) 上为增函数， 3022，解得 30，即 a0. 故实数 a 的取值范围为 ， 0. 利用函数的单调性求参数的方法及注意点 利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参 需注意若函数在区间 a， b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 3已知 f(x) a(x a)，若 a0 且 f(x)在 (1， ) 内单调递减，求 a 的取值范围 解：任设 10， ， 要使 f( f(0，只需 (a)(a)0 恒成立 a1. 综上所述， a 的取值范围是 (0,1 函数的最值与应用 例 4 (2013 昆明模拟 )已知函数 f(x) 2x x 1， ) (1)当 a 12时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x 1， ) ， f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 8 自主解答 (1)当 a 12时， f(x) x 12x 2，在 1， ) 上为增函数， f(x)f(1) 72. (2)f(x) x 2， x 1， ) 当 a0 时， f(x)在 1， ) 内为增函数 最小值为 f(1) a 3. 要使 f(x)0 在 x 1， ) 上恒成立，只需 a 30，即 a 3，所以 30， a 1 时， f(x)在 1， a 上为减函数，在 ( a， ) 上为增函数，所以 f(x)在 1， ) 上的最小值是 f( a) 2 a 2， 2 a 20，显然成立综上所述， f(x)在 1， )上恒大于零时， a 的取值范围是 ( 3， ) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备 “ 一正二定三相等 ” 的条件 后用基本不等式求出最值； 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 . mf x 恒成立 mf x f( f(0f(x)在 a， b上是增函数； (2)f f ， x 0， 1， ， x 1， ，a4 2，解得 a 4,8) 一、选择题 1 (2012 广东高考 )下列函数中，在区间 (0， ) 上为增函数的是 ( ) A y ln(x 2) B y x 1 C y 12 x D y x 1x 解析：选 A 选项 A 的函数 y ln(x 2)的增区间为 ( 2， ) ，所以在 (0， ) 上一定是增函数 2已知函数 f(x) 11 x，若 (1,2)， (2， ) ，则 ( ) A f( C f(0， f(， f(0 解析：选 B 函数 f(x) 11 1， ) 上为增函数，且 f(2) 0 当 1,2)时， f(x1)f(2) 0， 即 f(. 3若 f(x) 2 g(x) 1在区间 1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是( ) A ( 1,0) (0,1) B ( 1,0) (0,1 C (0,1) D (0,1 解析： 选 D 函数 f(x) 2区间 1,2上是减函数， a1. 又 函数 g(x) 1在区间 1,2上也是减函数， a0. a 的取值范围是 (0,1 4 (2013 潍坊模拟 )已知函数 f(x)的图象向左平移 1个单位后关于 x2 12 时， f( f( x1)ab B cba C acb D bac 解析：选 D 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x 1 对称，且在 (1， ) 上是减函数 a f 12 f 52 ，所以 bac. 5若函数 f(x) x)(a0 且 a1) 在区间 0， 12 内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为 ( ) A. ， 14 B. 14， C (0， ) D. ， 12 解析：选 D 令 g(x) 2x0，得 x0 或 00，则函数 f(x)在 a， b上有 ( ) A最小值 f(a) B最大值 f(b) C最小值 f(b) D最大值 f a 解析：选 C f(x)是定义在 R 上的函数，且 f(x y) f(x) f(y)， f(0) 0， 令 y x， 则有 f(x) f( x) f(0) 0. f( x) f(x) f(x)是 R 上的奇函数 设 f(x)在 R 上是减函数 f(x)在 a， b有最小值 f(b) 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 ) 13 7函数 f(x) 13 x x 2)在区间 1,1上的 最大值为 _ 解析：由于 y 13 上递减， y x 2)在 1,1上递增，所以 f(x)在 1,1上单调递减，故 f(x)在 1， 1上的最大值为 f( 1) 3. 答案： 3 8 (2013 东城模拟 )函数 f(x)的定义域为 A，若 A 且 f( f(总有 称 f(x)为单函数例如：函数 f(x) 2x 1(x R)是单函数 给出下列命题： 函数 f(x) x2(x R)是单函数； 指数函数 f(x) 2x(x R)是单函数； 若 f(x)为单函数， A 且 f( f( 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中真命题是 _(写出所有真命题的编号 ) 解析：根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题 是真命题， 是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题 是真命题 答案： 9已知函数 f(x) e x 2， x0 ，21， x0 (a 是常数且 a0)对于下列命题： 函数 f(x)的最小值是 1； 函数 f(x)在 R 上是单调函数； 若 f(x)0 在12， 上恒成立，则 a1； 对任意的 12， 上恒成立，则2a 12 10， a1，故 正确；由图象可知在 ( ， 0)上对任意的 x0) 14 (1)求证： f(x)在 (0， ) 上是单调递增函数； (2)若 f(x)在 12， 2 上的值域是 12， 2 ，求 a 的值 解： (1)证明：设 x2，则 ， ， f( f( 1a 1 1a 111， f(f( f(x)在 (0， ) 上是单调递增的 (2) f(x)在 12， 2 上的值域是 12， 2 ，又 f(x)在 12， 2 上单调递增， f 12 12， f(2) 2. 易得 a 25. 11已知函数 f(x)对任意的 a， b R 恒有 f(a b) f(a) f(b) 1，并且当 x0 时，f(x)1. (1)求证： f(x)是 R 上的增函数； (2)若 f(4) 5，解不等式 f(3m 2)0， f(1. f( f( f( 10， 即 f(f( f(x)是 R 上的增函数 (2)令 a b 2，得 f(4) f(2) f(2) 1 2f(2) 1， f(2) 3. 而 f(3m 2)0 成立 (1)判断 f(x)在 1,1上的单调性，并证明它； (2)解不等式 f x 12 0， 16 所以函数 y 3x 2)的定义域为 ( ， 1) (2， ) 又 u 3x 2 的对称轴 x 32，且开口向上 所以 u 3x 2 在 ( ， 1)上是单调减函数，在 (2， ) 上是单调增函数 而 y (0， ) 上是单调减函数， 故 y 3x 2)的单调减区间为 (2， ) ，单调增区间为 ( ， 1) 2讨论函数 f(x) 2( m 0， 即 f(f(故函数 f(x)在区间 ( ， 2)上是增函数 同理可得函数 f(x)在区间 (2， ) 上也是增函数 综上，函数 f(x)在 ( ， 2)， (2， ) 上为增函数 3已知函数 f(x)对于任意 x， y R，总有 f(x) f(y) f(x y)，且当 x0
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