人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《数学归纳法》理 新人教A版.doc
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
- 内容简介：
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1 第七节 数学归纳法 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 解答题的形式考查等式、不等式的证明，如 2012 年安徽 观察 归纳 猜想 证明 ” 的问题，如 2012 年湖北 . 归纳 知识整合 1数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 )证明当 n 取第一个值 n0(N*)时命题成立； (2)(归纳递推 )假设 n k(k k N*)时命题成立，证明当 n k 1 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 都成立 探究 提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着 “ 已知条件 ” 的作用，在第二步的证明中一定要 运用它，否则就不是数学归纳法第二 步的关键是 “ 一凑假设，二凑结论 ” 2用数学归纳法证明问题应该注意什么？ 提示： (1)第一步验证 n 里的 ，它是使命题成立的最小正整数 (2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设，特别要弄清由 k 到 k 1 时命题的变化情况 (3)由假设 n k 时命题成立，证明 n k 1 命题也成立时，要充分利用归纳假设，即要恰当地 “ 凑 ” 出目标 2数学归纳法的框图表示 2 自测 牛刀小试 1在应用数学归纳法证明凸 n n2 条时，第一步检验 ) A 1 B 2 C 3 D 0 解析：选 C n3 ， 第一步应检验 n 3. 2用数学归纳法证明 1 2 3 则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上 ( ) A 1 B (k 1)2 C. k4 k 22 D (1) (2) (3) (k 1)2 解析：选 D 当 n k 时，左侧 1 2 3 n k 1 时 ， 左侧 1 2 3 (1) (k 1)2， 当 n k 1 时，左端应在 n k 的基础上加上 (1) (2) (3) (k 1)2. 3利用数学归纳法证明 “( n 1)(n 2)( n n) 2n13(2 n 1)， n N*” 时，从 “ n k” 变到 “ n k 1” 时，左边应增乘的因式是 ( ) A 2k 1 B 2(2k 1) 1k 1 3k 1 解析：选 B 当 n k(k N*)时， 左式为 (k 1)(k 2)( k k)； 当 n k 1 时，左式为 (k 1 1)( k 1 2)( k 1 k 1)( k 1 k)( k 1 k 1)， 则左边应增乘的式子是 k kk 1 2(2k 1) 4 (教材习题改编 )用数学归纳法证明 1 12 13 12n 11)，第一步要证的不等式是 _ 3 解析：当 n 2 时，左边 1 12 122 1 1 12 13， 右边 2，故填 1 12 130， 得 1(2)假设当 n k(k N*， k1) 时， 10， 又 2 1 10且 b1 ， b， r 均为常数 )的图象上 (1)求 r 的值； (2)当 b 2 时，记 2(1)(n N*)，证明：对任意的 n N*，不等式111 n 1成立 解： (1)由题意， r， 当 n2 时， 1 1 r. 所以 1 1(b 1) 由于 b0 且 b1 ， 所以 n2 时， 以 b 为公比的等 比数列 又 b r， b(b 1)， 故 b，即 b bb r b，解得 r 1. (2)证明：由 (1)知 2n 1， 因此 2n(n N*)， 6 所证不等式为 2 12 4 14 2n 12n n 1. 当 n 1 时，左式 32，右式 2， 左式 右式，所以结论成立 假设 n k(k1 ， k N*)时结论成立，即 2 12 4 14 2k 12k k 1，则当 n k 1 时， 2 12 4 14 2k 12k 2k 3k k 12k 3k 2k 32 k 1， 要证当 n k 1 时结论成立， 只需证 2k 32 k 1 k 2， 即证 2k 32 k k ， 由均值不等式 2k 32 k k2 k k 成立， 故 2k 32 k 1 k 2成立， 所以，当 n k 1 时，结论成立 由 可知， n N*时，不等式 11 1n 1成立 . “ 归纳 猜想 证明 ” 问题 例 3 已知 f(n) 1 123 133 143 1 g(n) 32 12n N*. (1)当 n 1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系； (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明 自主解答 (1)当 n 1 时， f(1) 1， g(1) 1，所以 f(1) g(1)； 当 n 2 时， f(2) 98， g(2) 118 ，所以 f(2)0(n N*) (1)猜想 通项公式，并用数学归纳法加以证明 (2)设 x0， y0，且 x y 1，证明： 1 1 n . 解 (1)分别令 n 1,2,3，得 21， 2， 3. ， 1， 2， 3. 猜想： n. 由 2n， 可知，当 n2 时， 21 1 (n 1) ，得 21 1， 即 21 1. ( )当 n 2 时， 212 1， ， 2. ( )假设当 n k(k2) 时， k，那么当 n k 1 时， 1 21 1 21 1 9 1 (k 1)1 (k 1) 0， 10， k2 ， 1 (k 1)0， 1 k 1. 即当 n k 1 时也成立 n(n2) 显然 n 1 时，也成立，故对于一切 n N*，均有 n. (2)要证 1 1 n ， 只要证 1 2 12( n 2) 即 n(x y) 2 2 n x y 12( n 2)， 将 x y 1 代入，得 2 n 1 n 2， 即只要证 4(n 1)( n 2)2， 即 4. x0， y0，且 x y 1， x 12， 即 14，故 4 成立，所以原不等式成立 易误辨析 1在解答本题时有以下易误点 (1)在代入 n 1,2,3 时，不能准确求得 而猜想不出 (2)证明不等式时，不会应用 x y 1 这一条件代换，导致无法证明不等 式成立 2解决数学归纳法中 “ 归纳 猜想 证明 ” 及不等式证明问题时，还有以下几点容易造成失分 (1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难 (2)证明 n k 到 n k 1 这一步时，忽略了利用假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法 (3)不等式证明的过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地 解决问题 变式训练 若不等式 1n 1 1n 2 13n 1n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明结论 解：当 n 1 时， 11 1 11 2 13 1 10 即 2624以 (1)当 n 1 时，已证得不等式成立 (2)假设当 n k(k N*)时，不等式成立， 即 1k 1 1k 2 13k 12524. 则当 n k 1 时， 有 1k 1 1k 2 1k 1 1k 1 1k 2 13k 1 13k 2 13k 3 13k 4 1k 12524 13k 2 13k 4 2k . 因为 13k 2 13k 4 2k kk 3k 2k k 2 18kk k k 2k k k 0， 所以当 n k 1 时不等式也成立 由 (1)(2)知，对一切正整数 n，都有 1n 1 1n 2 13n 12524， 所以 a 的最大值等于 25. 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 1如果命题 P(n)对 n k 成立，则它对 n k 2 也成立，若 P(n)对 n 2 也成立，则下列结论正确的是 ( ) A P(n)对所有正整数 n 都成立 B P(n)对所有正偶数 n 都成立 C P(n)对所有正奇数 n 都成立 D P(n)对所有自然数 n 都成立 解析：选 B 由题意 n k 时成立，则 n k 2 时也成立，又 n 2 时成立，则 P(n)对所有正偶数都成立 11 2用数学归纳法证明 “1 a 1 1 21 a (a1)” ，在验证 n 1 时，左 端计算所得的项为 ( ) A 1 B 1 a C 1 a D 1 a 析：选 C 等式的左端为 1 a 1， 当 n 1 时，左端 1 a 3利用数学归纳法证明不等式 1 12 13 12n 11 对于 n n 都成立 ” 时，第一步证明中的起始值 _ 解析：当 n 1 时， 21 2,12 1 2；当 n 2 时， 22 4， 22 1 5；当 n 3 时， 23 8,32 1 10；当 n 4 时， 24 16,42 1 17；当 n 5 时，25 32,52 1 26，满足 2n1. 故 . 答案： 5 8对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式： 22 1 3,32 1 3 5,42 1 3 5 7； 23 3 5,33 7 9 11,43 13 15 17 19. 根据上述分解规律，若 1 3 5 19, m3(m N*)的分解中最小的数是 21，则 m n 的值为 _ 解析： 依题意得 2 100, n 10. 易知 21m m m2 2, 整理得 (m 5)(m 4) 0, 又 m N*, 所以 m 5, 所以 m n 15. 答案： 15 9若数列 通项公式 1n 2，记 2(1 1 (1 试通过计算 测 _. 解析： 2(1 2 1 14 32， 2(1 1 2 1 14 1 19 43， 2(1 1 1 2 1 14 1 19 1 116 54， 故由归纳推理得 n 2n 1. 答案： n 2n 1 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分 ) 10用数学归纳法证明： 12 32 52 (2n 1)2 13n(41) 13 证明： (1)当 n 1 时，左边 12 1，右边 131(4 1) 1，等式成立 (2)假设当 n k(k N*)时等式成立，即 12 32 52 (2k 1)2 13k(41) 则当 n k 1 时， 12 32 52 (2k 1)2 (2k 1)2 13k(41) (2k 1)2 13k(41) 44k 1 13k4(k 1)2 1 13k4(2 k 1) 44k 1 13k4(k 1)2 1 13(1212k 3 84k) 13k4(k 1)2 1 134(k 1)2 1 13(k 1)4(k 1)2 1 即当 n k 1 时等式也成立 由 (1)， (2)可知，对一切 n N*，等式都成立 11设 01，又 1 n N*. (1)求 猜想 通项公式； (2)证明通项公式的正确性 16 解： (1) 当 n 1 时， 由已知得 11， 22 0. 3 1 或 3 1(舍去 ) 当 n 2 时，由已知得 11， 将 3 1 代入并整理得 2 32 0. 5 3或 5 3(舍去 ) 同理可得 7 5. 由 想 2n 1 2n 1(n N*) (2)证明： 由 (1)的计算过程知，当 n 1,2,3 时，通项公式成立 假设 当 n k(k3 ， k N*)时，通项公式成立， 即 2k 1 2k 1. 那么由 1 1 12 11 1 将 2k 1 2k 1代入上式并整理得 1 2 2k 11 2 0， 解得 1 2k 3 2k 1， 或 1 2k 3 2k 1(舍去 ) 即当 n k 1 时，通项公式也成立 由 和 ，可知对所有 n N*， 2n 1 2n 1都成立 4用数学归纳法证明： 1 122 132 1成立 f(x)； f(x)0 恒成立 f(x). (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主 元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有 (下面的 a 为参数 )： f(x)f(x) f(x)g(a)恒成立 g(a)0，得 0， ) ，所以函数 f(x)的单调增区间是 (1， ) 令 f( x) x2x 0. 因而 a 2ln x(x 1， e) 令 g(x) 2ln x(x 1， e)， 又 g( x) x x 2 2ln ln x 2 ， 当 x 1， e时， x 10 ， ln x1 ， 19 x 2 2ln x0， 从而 g( x)0( 当且仅当 x 1 时取等号 ) 所以 g(x)在 1， e上为增函数 故 g(x)g(e) 21 . 所以 a 的取值范围是 21 ， . 点评 利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数 (二次方程 )的问题研究，一般有下面几种类型： 1一次函数型问题：利用一次函数的图象特点求解 对于一次函数 f(x) b(k0) ， x m， n，有 (1)f(x)0 恒成立 f m ，f n (2)f(x)0 对 x R 恒成立 a0， 1，求 c 的取值范围 解 (1)由 1， 3c (22 1)c， 8(32 1) 15(42 1) 归纳猜想 (1)1， n N*. 20 下面用数学归纳法证明： 当 n 1 时，等式成立； 假设当 n k 时，等式成立，即 (1)1， 则当 n k 1 时， 1 1(2k 1) c(1)1 1(2 k 1) (2k)1 (k1)2 1 1 综 上， (1)1对任何 n N*都成立 (2)由 1，得 (2k)2 11(2k 1)2 11 2， 因 20，所以 4(c)4c 10 对 k N*恒成立记 f(x) 4(c)c 1，下面分三种情况讨论： 当 c 0，即 c 0 或 c 1 时，代入验证可知只有 c 1 满足
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