人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《导数的应用 》理 新人教A版.doc
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
- 内容简介：
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1 第十二节 导数的应用 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三次 ). 利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，其考查题型有： (1)利用导数求单调区间，如 2012 年北京 (2)利用单调性求参数范围，如 2011 年江苏 ， (3)利用导数求函数的极值，或最值，如 2012 年陕西 徽 (4)已知函数的极值或最值求参数，如 2012 年江苏 归纳 知识整合 1函数的单调性与导数 探究 f(x)在 (a， b)内单调递增，那么一定有 f( x)0 吗？ f( x)0 是否是 f(x)在 (a， b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数 f(x)在 (a， b)内单调递增，则 f( x)0 ， f( x)0 是 f(x)在 (a， b)内单调递增的充分不必要条件 2函数的极值与导数 (1)函数的极小值： 若函数 y f(x)在点 x a 处的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其他点的函数值 都小 ，且 2 f( a) 0，而且在点 x a 附近的左侧 f( x) 0，右侧 f( x) 0，则 a 点叫做函数的极小值点， f(a)叫做函数的极小值 (2)函数的极大值： 若函数 y f(x)在点 x b 处的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值 都大 ，且f( b) 0，而且在点 x b 附近的左侧 f( x) 0，右侧 f( x) 0， 则 b 点叫做函数的极大值点， f(b)叫做函数的极大值， 极大值 和 极小值 统称为极值 探究 的点一定是函数的极值点吗？ “ 导数为 0” 是函数在该点取得极值的什么条件？ 提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x) x 0 处，有 f(0) 0，但 x 0 不是函数 f(x) 为函数在该点取得极值的必要而不充分条件 3函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在 a， b上有最值的条件： 一般地，如果在区间 a， b上，函数 y f(x)的图象是一条连 续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求函数 y f(x)在 a， b上的最大值与最小值的步骤为 求函数 y f(x)在 (a， b)内的 极值 ； 将函数 y f(x)的各极值与 端点处 的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 探究 提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大 (小 )值，可以比极小 (大 )值小 (大 )；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间 a， b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者 是有区别的，极大 (小 )值不一定是最大 (小 )值，最大 (小 )值也不一定是极大 (小 )值，但如果连续函数在区间 (a， b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值 自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )函数 f(x) x 的单调递增区间是 ( ) A ( ， 1 B 1， ) C ( ， 0 D (0， ) 解析：选 D f(x) x， f( x) 1， 由 f( x)0，得 10，即 x0. 2 (教材习题改编 )函数 f(x) 134x 4 有 ( ) A极大值 283 ，极小值 43 3 B极大值 43，极小值 283 C极大值 43，极小值 283 D极大值 283 ，极小值 43 解析：选 D f(x) 134x 4， f( x) 4，令 f( x) 0，则 x 2. 当 x ( ， 2)时， f( x)0； 当 x ( 2,2)时， f( x)0. f(x)极大值 f( 2) 283 ， f(x)极小值 f(2) 43. 3已知函数 f(x)的导函数 f( x) c 的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是 ( ) 解析：选 D 当 ，由导函数 f( x) c 的图象可知，导数在区间 (0， 的值是 大于 0 的，则在此区间内函数 f(x)单调递增 4 (教材习题改编 )函数 f(x) 32 在区间 1,1上的最大值是 _ 解析：由题意，得 f( x) 36x，令 f( x) 0，得 x 0 或 x 2(舍去 )由于 f(1) 2， f(1) 0， f(0) 2，故 f(x)在 1,1上的最大值为 2. 答案： 2 5若函数 f(x) 1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是 _ 解析： f(x) 1， f( x) 32x m. 又 f(x)在 R 上是单调函数， 4 12 m0 ，即 m 13 答案： 13， 4 运用导数解决函数的单调性问题 例 1 (2013 郑州模拟 )已知函数 f(x) x，且图象在点 1e， f 1e 处的切线斜率为 1(e 为自然对数的底数 ) (1)求实数 a 的值； (2)设 g(x) f x 1 ，求 g(x)的单调区间； (3)当 mn1(m， n Z)时，证明：m nn m自主解答 (1)f(x) x， f( x) a 1 ln x， 依题意 f 1e a 1，所以 a 1. (2)因为 g(x) f x 1 1 ， 所以 g( x) x 1 ln 2 . 设 (x) x 1 ln x，则 ( x) 1 1x. 当 x1 时， ( x) 1 1x0， (x)是增函数， 对 x1， (x) (1) 0，即当 x1 时， g( x)0， 故 g(x)在 (1， ) 上为增函 数； 当 0 (1) 0，即当 00，故 g(x)在 (0,1)上为增函数 所以 g(x)的单调递增区间为 (0,1)， (1， ) (3)要证m nn m证 ln ln ln n ln m， 即 n 1n ln mm 1m ln n， 11.(*) 5 因为 mn1，由 (2)知， g(m)g(n)，故 (*)式成立，所以m nn m 1导数法求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f( x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f( x)0 和 f( x)0 时为增函数； f( x)0) 当 f( x)0， x (0,1)时，函数 f(x) 3x 2ln x 单调递增 当 f( x)0)， f( x) 1x 1232 32x 12 x x2 令 f( x) 0，解得 1， 13(因 13不在定义域内，舍去 ) 当 x (0,1)时， f( x)0，故 f(x)在 (1， ) 上为增函数 故 f(x)在 x 1 处取得极小值 f(1) 3. 7 求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)求导数 f( x)； (2)求 方程 f( x) 0 的根； (3)检验 f( x)在方程 f( x) 0 的根的附近两侧的符号：具体如下表： x f( x) f( x)0 f( x) 0 f( x)x0 f( x) f( x)0 f(x) 减 极小值 f(增 2已知函数 f(x) e x 1k () 此时 f(x)在 0,1上的最大值为 f(1) (1 k)e. 当 1 1时， f(x)在 0,1上的最大值为 k. 10 利用导数求函数最值的方法 求解函数的最值时，要先求函数 y f(x)在 a， b内所有使 f( x) 0 的点，再计算函数 y f(x)在区间内所有使 f( x) 0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得 3 (2012 江西高考 )已知函数 f(x) (c) 0,1上单调递减且满足 f(0) 1， f(1) 0. (1)求 a 的取值范围； (2)设 g(x) f(x) f( x)，求 g(x)在 0,1上的最大值和最小值 解： (1)由 f(0) 1， f(1) 0 得 c 1， a b 1， 则 f(x) (a 1)x 1 f( x) (a 1)x a依题意须对于任意 x (0,1)，有 f( x)0 时，因为二次函数 y (a 1)x a 的图象开口向上，而 f(0) f(x)不符合条件 故 a 的取值范围为 0 a1. (2)因 g(x) ( 21 a)以 g( x) ( 21 a)( )当 a 0 时， g( x) ， g(x)在 x 0 处取得最小值 g(0) 1，在 x 1 处取得最大值 g(1) e. ( )当 a 1 时，对于任意 x (0,1) 有 g( x) 2 若 1 1 ，即 00)， g(x) (1)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处具有公共切线，求 a， b 的值； (2)当 4b 时，求函数 f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间 ( ， 1上的最大值 快速规范审题 12 第 (1)问 1审条件，挖解题信息 观察条件：曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处有公共切线 两曲线在 x 1处的纵坐标及导数相同 f g ，f g 2审结论，明确解题方向 观察所求结论： 求 a， b 的值 需要建立关于 a， f g 用 a， b 表示即可 3建联系，找解题突破口 问题转化为解方程组 f g 须求 f x 和 g x f( x) 2 g( x) 3b 将 x 1代入 a 1 b 12a 3 b a b 3. 第 (2)问 1审条件，挖解题信息 观察条件： 4b 可消掉一个参数，使 f x 与 g x 含有同一个参数 f(x) 1(a0)， g(x) 142审结论，明确解题方向 观察所求结论：求函数 f(x) g(x)的单调区间及其在区间 ( ， 1上的最大值 f x g x 含 3建联系，找解题突破口 问题转化为求函数 h(x) f(x) g(x) 141 的导数 由 h x 和 h x 确定单调区间 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 126 讨 论 - 及 - 与 区 间 ， 的 关 系 ， 求 最 值 13 当 1 00 时， h(x)与 h( x)的变化情况如下： x ， h( x) 0 0 h(x) 函数 h(x)的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 (6分 ) 当 1 0 a6 时，函数 h(x)在区间 ， 单调递增，在区间 单调递减，在区间 1 上单调递增，又因为 h h( 1) 1 a 1414(a 2)20，所以 h(x)在区间 ( ， 1上的最大值为 h 1.(12 分 ) 综上所述：当 a (0,2时，最大值为 h( 1) a 当 a (2， ) 时，最大值为 h 1.(13 分 ) 答题模板速成 用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答： 第一步 求导 求函数f(x)的导数f(x) 第二步 判断单调性 求函数f(x)在给定区间上的单调性 第三步 求极点 求函数 f(x)在给定区间上的极值 第四步 求端点值 求函数f(x)在给定区间上的端点值 第五步 确定最值 比较函数f(x)的各极值与端点值的大小，确定函数f(x)的最 第六步 反思回顾 查看关键点，易错点和解题规范如本题 的关键点是确定函数单调区间；易错点是对参数的讨论 易忽视对 15 大值和最小值 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 1已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 ( ) A f(b)f(c)f(d) B f(b)f(a)f(e) C f(c)f(b)f(a) D f(c)f(e)f(d) 解析：选 C 依题意得，当 x ( ， c)时， f( x)0；当 x (c， e)时， f( x)数 f(x)在 ( ， c)上是增函数，在 (c， e)上是减函数，在 (e， ) 上是增函数，又 af(b)f(a) 2函数 f(x)的定义域为 R， f( 1) 2，对任意 x R， f x 2，则 f(x)2x 4 的解集为 ( ) A ( 1,1) B ( 1， ) C ( ， 1) D ( ， ) 解析：选 B 令函数 g(x) f(x) 2x 4，则 g( x) f( x) 20，因此， g(x)在 g( 1) f( 1) 2 4 2 2 4 不等式可化为 g(x)g( 1)，由 g(x)的单调性，可得 x 1. 3 (2012 陕西高考 )设函数 f(x) ( ) A x 1 为 f(x)的极大值点 B x 1 为 f(x)的极小值点 C x 1 为 f(x)的极大值点 D x 1 为 f(x)的极小值点 解析：选 D 求导得 f( x) ex(x 1)，令 f( x) ex(x 1) 0，解得 x1，易知 x 1 是函数 f(x)的极小值点 16 4函数 f(x) 3x 4 在 0,2上的最小值是 ( ) A 173 B 103 C 4 D 643 解析：选 A f( x) 2x 3， 令 f( x) 0 得 x 1(x 3 舍去 )， 又 f(0) 4， f(1) 173 ， f(2) 103 ， 故 f(x)在 0,2上的最小值是 f(1) 173. 5 (2013 咸宁模拟 )已知函数 y 3x c 的 图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c( ) A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 解析：选 A y 33， 当 y 0 时， x 1. 则 x， y ， y 的变化情况如下表： x ( ， 1) 1 ( 1,1) 1 (1， ) y y c 2 c 2 因此，当函数图象与 x 轴恰有两个公共点时，必有 c 2 0 或 c 2 0， c 2 或 c 2. 6 (2012 福建高考 )已知 f(x) 69x f(0)f(1)0； f(0)f(3)0，得 f(x)在区间 (1,3)上是减函数，在区间 ( ， 1)， (3， )上是增函数 又 y 极小值 f(3) x 1， x 3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图 f(0)0. 正确结论的序号是 . 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 ) 7函数 f(x) 1533x 6 的单调减区间为 _ 解析：由 f(x) 1533x 6得 f( x) 330x 33，令 f( x)0，得 x2 或 (0,2)上 f( x)0. f(x)在( ， 0)， (2， ) 上递增，在 (0,2)上递减，因此 f(x)在 x 2 处取得极小值所以 2.由 f(2) 5，得 c 1. f(x) 31. 11已知函数 f(x) x， g(x) 2. (1)求函数 f(x)在 t， t 2(t0)上的最小值； (2)若函数 y f(x)与 y g(x)的图象恰有一个公共点，求实数 a 的值； (3)若函数 y f(x) g(x)有两个不同的极值点 x2(，求实数a 的取值范围 解： (1)令 f( x) ln x 1 0 得 x 1e， 当 0G(x)G 12 时， 且 a 的增大而增大 而当 时， 则有 ln 21 a 0，ln 21 a 0， 两式相减可得 ln 2( 2， 得 4入上述方程组解得 3 ， 43， 此时实数 a 23 3 1， 所以实数 a 的取值范围为 a23 3 1. 12已知函数 f(x) x 12 x)，其中 a R. (1)若 x 2 是 f(x)的极值点，求 a 的值； (2)求 f(x)的单调区间； (3)若 f(x)在 0， ) 上的最大值是 0，求 a 的取值范围 解： (1)f( x) x a 1 ， x ( 1， ) 依题意，得 f(2) 0，解得 a 13. 经检验， a
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