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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《正弦定理和余弦定理》理 新人教A版.doc
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
- 内容简介：
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1 第七节 正弦定理和余弦定理 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 . 弦定理在求三角形边或角中的应用，如 2012 年天津 京 角恒等变换等相结合出现在解答题中，如 2012年江苏 . 归纳 知识整合 1正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2R 2 22形形式 a 2， b 2c 2 中R 是 接圆半径 ) a b c ， ， 解决三角形的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 . 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2 探究 ， “ A B” 是 “ ” 的什么条件？ “ A B” 是“ ” 的什么条件？ 提示： “ A B” 是 “ ” 的充要条件， “ A B” 是 “ ” 的充要条件 2在 ，已知 a、 b 和 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a a b a b a b a b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 探究 (以角 A 为例 ) 提示： 与 当 0 时，角 A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当 0 时，角 A 为直角，三角形为直角三角形； 当 0 时，角 A 为钝角，三角形为钝角三角形 自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )在 ，若 a 2， c 4， B 60 ，则 b 等于 ( ) A 2 3 B 12 C 2 7 D 28 解析：选 A 由余弦定理得 2， 即 4 16 8 12，所以 b 2 3. 2 (教材习题改编 )在 ， a 15， b 10， A 60 ，则 等于 ( ) A 2 23 3 C 63 D. 63 解析：选 D ， 150 10， 23 32 33 . 又 a b， A 60 ， B 60 ， 3 1 63 . 3 ， a 5， b 3， 22 ，则符合条件 的三角形有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 0 个 解析：选 B 102 ， b 3a 5， 符合条件的三角形有 2 个 4在 ， a 3 2， b 2 3， 13，则 面积为 _ 解析： 13， 2 23 ， S 12 123 22 3 2 23 4 3. 答案： 4 3 5在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c.若 b 2，则角 A 的大小为_ 解析：由正弦定理得 2， 0 ， 12， A 30 或 A 150. 答案： 30 或 150 利用正、余弦定理解三角形 例 1 (2012 浙江高考 )在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 3. (1)求角 B 的大小； (2)若 b 3， 2，求 a， c 的值 自主解答 (1)由 3 及正弦定理 ，得 3， 4 所以 3，所以 B 3 . (2)由 2 及 ，得 c 2a. 由 b 3 及余弦定理 2， 得 9 所以 a 3， c 2 3. 正、余弦定理的选用原则 解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一 个定理更方便、简捷在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化 1在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2 2c (1)求 的值； (2)若 14， 周长为 5，求 b 的长 解： (1)由正弦定理，设 k， 则 2c 2 2 ， 所以 2 2 ， 即 ( 2) (2 )， 化简可得 B) 2 C) 又因为 A B C ，所以 2. 因此 2. (2)由 2 得 c 2a. 由余弦定理及 14得 2 4414 4所以 b 2a.又 a b c 5，从而 a b 2. 5 利用正、余弦定理判断三角形的形状 例 2 在 ，若 (b2) B) (si n(A B)，试判断 形状 自主解答 (b2) B) (b2) B)， b2 B) B) a2 B) B)， 2 2 即 . 法一 ： 由正弦定理知 a 2， b 2， ， 又 0 ， ， A B. 在 ， 0 2A 2 ， 0 2B 2 ， 2A 2B 或 2A 2B， A B 或 A B 2. 等腰或直角三角形 法二：由正弦定理、余弦定理得： a2( b2( ( 0， 0 或 0. 即 a b 或 等腰或直角三角形 若将条件改为 “ ” ，试判断 形状 解： ， b c，即 直角三角形 6 判断三角形的形状，就是利用正、余 弦定理等进行代换 、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断 . 边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； 角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等 . 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； 利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断 . 2在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 2 (2b c) (2c b). (1)求角 A 的大小； (2)若 3，试判断 形状 解： 2 (2b c) (2c b)， 得 2(2b c)b (2c b)c，即 12， A 60. (2) A B C 180 ， B C 180 60 120. 由 3，得 20 B) 3， 20 20 3. 32 32 3， 即 30) 1. 又 0 B 120 ， 30 B 30 150 ， B 30 90 ， 即 B 60. A B C 60 ， 正三角形 与三角形面积有关的 问题 例 3 (2012 山东高考 )在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知( ) . (1)求证： a， b， 7 (2)若 a 1， c 2，求 面积 S. 自主解答 (1)证明：在 ，由于 ( ) ， 所以 ， 因此 ( ) ， 所以 C) . 又 A B C ， 所以 C) ， 因此 . 由正弦定理得 即 a， b， c 成等比数列 (2)因为 a 1， c 2，所以 b 2， 由余弦定理得 12 22 2212 34， 因为 0B ，所以 1 74 ， 故 面积 S 12 1212 74 74 . 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S 12 12 12，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 3 (2012 新课标全国卷 )已知 a， b， c 分别为 个内角 A， B， C 的对边， 3 b c 0. (1)求 A； (2)若 a 2， 面积为 3，求 b， c. 解： (1)由 3 b c 0 及正弦定理得 3 0. 因为 B A C，所以 3 0. 由于 0 ， 所以 A 6 12. 8 又 0 A ， 故 A 3. (2) 面积 S 12 3， 故 4. 而 2， 故 8. 解得 b c 2. 1 条规律 三角形中的边角关系 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ， A Ba b . 2 个原则 选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住 能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次 式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 2 种途径 判断三角形形状的途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦 (余弦 )定理实施边、角转换 2 个防范 解三角形应注意的问题 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论 (2)在判断三角形形状时，等式两边一般 不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 . 9 答题模板 利用正、余弦定理解三角形 典例 (2012 江西高考 )(本小题满分 12 分 )在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a，b， 4 ， 4 C 4 B a. (1)求证： B C 2 ； (2)若 a 2，求 面积 快速规范审题 第 (1)问 1审条件，挖解题信息 观察条件： A 4 ， 4 C 4 B a 数式中既有边又有角，应统一 4 C 4 B . 2审结论，明确解题方向 观察所求结论：求证： B C 2 应求角 B C) 1 或 C) 0. 3建联系，找解题突破口 考虑到所求的结论只含有 B， C，因此应消掉 4 C 4 B 中的角 A = 4借 助 A 4 C 4 B 22 利用两角和与差的 三角函数公式 C) 1 要求角的值，还应确定角的取值范围 由 0 B， C 34 ，解得 B C 2. 第 (2)问 1审条件，挖解题信息 观察条件： a 2， A 4 ， B C 2 可求 B， 58 ， C 8. 2审结论，明确解题方向 观察所求结论：求 面积 应具有两边 及其夹角 由 ，得 b 2c 2. 3建联系，找解题突破口 10 边角都具备 利用面积公式求结论 S 12 2 2 12. 准确规范答题 (1)证明：由 4 C 4 B a，应用正弦定理，得 4 C 4 B ， 22 22 22 22 22 ， (3分 ) 整理得 1， 即 C) 1， (5 分 ) 由于 0B， C34 ，从而 B C 2.(6 分 ) (2)B C A 34 ，因此 B 58 ， C 8.(8 分 ) 由 a 2， A 4 ，得 b 28 ， c 2 8 ， (10 分 ) 所以 面积 S 12 2 2 12.(12 分 ) 答题模板速成 解决解三角形问题一般可用以下几步解答： 第一步 边角互化 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化 (本题为边化角 ) 第二步 三角变换 三角变换、化简、消元，从而向已知角 (或边 )转化 第三步 由值求角 代入求值 第四步 反思回顾 查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确 易忽视角 B C 的范围，直接由 B C 1，求得结论 . 11 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 1 (2012 上海高考 )在 ，若 形状是 ( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不能确定 解析：选 A 由正弦定理得 0，所以 C 为钝角 2 (2012 广东高考 )在 ，若 A 60 ， B 45 ， 3 2，则 ( ) A 4 3 B 2 3 C. 3 D. 32 解析：选 B 由正弦定理得： ，即 3 20 5 ，所以 3 232 22 2 3. 3在 ， 7， 2， B 60 ，则 上的高等于 ( ) A. 32 2 C. 3 62 D. 3 394 解析：选 B 由余弦定理得： ( 7)2 22 22 AB0 ，即 23 0，得 3，故 上的高是 0 3 32 . 4在 ，角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c，若 2 的最小值为 ( ) A. 32 B. 22 D 12 解析：选 C 由余弦定理得 2，又 12(得 2 12(即 22. 5在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 8b 5c， C 2B，则 ( ) 12 B 725 C 725 析：选 A 由 C 2B 得 B 2，由正弦定理及 8b 5c 得 2 45，所以 B 2 1 2 45 2 1 725. 6在 ， 3， 1， B 30 ，则 面积等于 ( ) A. 32 B. 34 C. 32 或 3 D. 32 或 34 解析：选 D 依题意与正弦定理得 ， AB 32 ， C 60 或C 120. 当 C 60 时， A 90 ， 面积等于 1232 ；当 C 120 时， A 30 ， 面积等于 12AC 34 面积等于 32 或 34 . 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 ) 7 (2012 福建高考 )已知 三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦值为 _ 解析：依题意得， 三边长分别为 a， 2a,2a(a 0)，则最大边 2a 所对的角的余弦值为 2a 2 a 22a 2a 24 . 答案： 24 8 (2013 佛山模拟 )设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 35， 513， b 3，则 c _. 解析：由题意知 45， 1213，则 B) 5665， 所以 c 145. 答案： 145 13 9在 ， D 为边 中点， 2， 1， 30 ， 则 长度为 _ 解析：延长 M，使得 接 四边形 平行四边形在 ，由余弦定理得 2AM 12 22 22 AM0 ，解得 3，所以 32 . 答案： 32 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 12 分 ，共 36 分 ) 10 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 C) 1， a 2c，求 C. 解：由 B (A C)，得 C) 于是 C) C) C) 2， 由已知得 12. 由 a 2c 及正弦定理得 2 由 得 14， 于是 12(舍去 )，或 12. 又 a 2c，所以 C 6. 11 (2012 江苏高考 )在 ，已知 3 (1)求证： 3； (2)若 55 ，求 A 的值 解： (1)因为 3 所以 AC 3BC，即AC 3BC，由正弦定理知 ， 从而 3， 又因为 0 A B ，所以 0， 0， 所以 3. (2)因 为 55 ， 0 C ， 所以 1 2 55 ， 从而 2， 于是 (A B) 2， 14 即 B) 2， 亦即 1 1)得 41 3 2， 解得 1 或 13， 因为 0， 故 1， 所以 A 4. 12 (2012 浙江高考 )在 ， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， 23， 5. (1)求 的值 ； (2)若 a 2， 求 面
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