人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《指数与指数函数》理 新人教A版.doc
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
- 内容简介：
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1 第六节 指数与指数函数 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 解实数指数幂的意 义，掌握幂的运算 解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 填空题的形式考查指数函数的值域以及指数函数的单调性、图象三个方面的问题，如 2012 年上海 与对数的运算、数值的大小比较 等相结合 . 归纳 知识整合 1根式 (1)根式的概念： 根式的概念 符号表示 备注 如果 a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1 且 n N* 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数的 n 次方根是一个 负数 n a 零的 n 次方根是零 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为 相反数 n a(a0) 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式： n a， a| a a ， a a ， (n a)n a(注意 a 必须使 n 探究 1.n a 成立的条件是什么？ 2 提示：当 n 为奇数时， a R； 当 n 为偶数时， a0. 2有理数指数幂 (1)幂的有关概念： 正分数指数幂： n am(a 0， m， n N*，且 n 1)； 负分数指数幂： 11n am(a 0， m， n N*，且 n 1)； 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂 无意义 (2)有理数指数幂的性质： s(a 0， r， s Q)； (ar)s a 0， r， s Q)； (ab)r a 0， b 0， r Q) 3指 数函数的图象与性质 y ax a 1 0 a 1 图象 定义域 R 值域 (0， ) 性质 (1)过定点 (0,1) (2)当 x 0 时， y 1； x 0 时， 0 y 1 (2)当 x 0 时， 0 y 1； x 0 时， y 1 (3)在 R 上是 增函数 (3)在 R 上是 减函数 探究 2如图是指数函数 (1)y (2)y (3)y (4)y 数 a， b， c， d 与 1 之间的大小关系如何？你能得到什么规律？ 提示：图中直线 x 1 与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1a1以， cd1ab，即无论在 y 轴的左侧还是右 侧，底数按逆时针方向变大 3函数 y y a|x|， y |a0， a1) ， y 1a 提示： y y |同一个函数的不同表现形式；函数 y a|x|与 y 者是一个偶函数，其图 象关于 y 轴对称，当 x0 时两函数图象相同； y y 1a y 轴对称 3 自测 牛 刀小试 1 (教材习题改编 )化简 ( 2)612 ( 1)0的结果为 ( ) A 9 B 10 C 9 D 7 解析：选 D ( 2)612 ( 1)0 (26)12 1 8 1 7. 2化简 3 ba(a0， b0)的结果是 ( ) B 析：选 D 原式 3110 8 2332733 543327331 3函数 f(x) 2|x 1|的图象是 ( ) 解析：选 B f(x) 2x 1， x1 ，12x 1， a1) 的定义域和值域都是 0,2，则实数 a _. 解析：当 a1 时， f(x) 1 在 0,2上为增函数， 则 1 2， a a1， a 3. 当 0b)，若 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x) b 的图象是 ( ) (2)若曲线 |y| 2x 1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是 _ 自主解答 (1)由已知并结合图象可知 00， a1) 的图象，应抓住三个关键点： (1， a)， (0,1)， 1， 1a . 与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象 . 一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 . 2 (2012 四 川高考 )函数 y a(a0，且 a1) 的图象可能是 ( ) 解析：选 C 当 x 1 时， y a 0， 函数 y a 的图象过定点 (1,0)， 结合图象可知选 C. 7 3 (2013 盐城模拟 )已知过点 O 的直线与函数 y 3， B 两点，点 A 在线段 ，过 A 作 y 轴的平行线交函数 y 9 点，当 行于 x 轴时，点 A 的横坐标是 _ 解析：设 A( B(由题意可得， C(所 以有 3x1，3x2，O， B 三点共线，所以 入可得， 32，即32，所以 答案： 数函数的性质及应用 例 3 已知函数 f(x) 13 4x 3 (1)若 a 1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是 (0， ) ，求 a 的值 自主解答 (1)当 a 1 时， f(x) 13 4x 3， 令 g(x) 4x 3， 由于 g(x)在 ( ， 2)上单调递增，在 ( 2， ) 上单调递减，而 y 13 上单调递减， 所以 f(x)在 ( ， 2)上单调递减，在 ( 2， ) 上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是 ( 2， ) ，单调递减区间是 ( ， 2) (2)令 h(x) 4x 3， f(x) 13 h(x)， 由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值 1， 因此必有 a0，3a 4a 1，解得 a 1， 即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 y 13 h(x)的值域为 (0， ) 应使 h(x) 4x 3的值域为 R， 8 因此只能 a 0(因为若 a0 ，则 h(x)为二次函数，其值域不可能为 R)故 a 的值为 0. 利用指数函数的性质解决问题的方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关 的问题加以解决 4设 a0 且 a1 ，函数 y 21 在 1,1上的最大值是 14，求 a 的值 解 ： 令 t ax(a0 且 a1) ， 则原函数化为 y (t 1)2 2(t0) 当 00，所以 a 13. 当 a1 时， x 1,1， t 1a， a ， 此时 f(t)在 1a， a 上是增函数 所以 f(t)f(a) (a 1)2 2 14， 解得 a 3(a 5 舍去 )综上得 a 13或 a 3. 1 个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质 是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算 2 个应用 指数函数单调性的应用 9 (1)比较指数式的大小 若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与 1 的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较 (2)解指数不等式 形如 ax助于函数 y 果 a 的取值不确定，需分 a1与 0b 的不等式，需先将 b 转化为以 a 为底的指数幂的形式 3 个注意 指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题 (1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数 (2)指数函数 y ax(a0， a1) 的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 与00， b0， 2a 2a 2b 3b2b 2b. 令 f(x) 2x 2x(x0)，则函数 f(x)为单调增函数 ab. 答案 A 名师点评 10 1本题有以下创新点 (1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式 (2)考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及 转化与化归的数学思想 2解决本题的关键有以下两点 (1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题 (2)构造函数，并利用其单调性解决问题 变式训练 1若函数 f(x) 1x， 当 K 1数 fK(x)在下列 区间上单调递减的是 ( ) A ( ， 0) B ( a， ) C ( ， 1) D (1， ) 解析：选 D 函数 f(x) a |x|(a1)的图象为右图中实线部分， y 11 K 1图象知 fK(x)在 (1， ) 上为减函数 简 结果是 ( ) A x B. x C x D. x 解析：选 A 依题意知 xbc. 3函数 y 13 ) A (0， ) B (0,1) C (0,1 D 1， ) 解析：选 C ， 13 ，即值域是 (0,1 4 (2013 广州模拟 )定义运算 a b a a bb ab ，则 f(x) 2x 2 ) 解析：选 C x0 时， 2x12 x0； 个不同的公共点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( 3， 4) B ( 2， ) C ( 2， 5) D ( 3， 2 2) 解析：选 B 作出函数 f(x) 2 13 x， x0 ，121， x0的图象，如图所示直线 y 图象是绕坐标原点旋转的动直线当斜率 m0 时，直线 y 函数 f(x)的图象只有一个公共点；当 m0 时，直线 y y 2 13 x(x0) 的图象有一个公共点，故要使直线 y 函数 f(x)的图象有三个公共点，必须使直线 y 函数 y 121(x0)的图象有两个公共点，即方程 121在 x0时有两个不相等的实数根，即方程 22 0的判别式 4420 ，解得 m m 的取值范围是 ( 2， ) 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 ) 7已知函数 f(x) 4 1的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是 _ 解析：令 x 1 0，即 x 1，则 f(1) 5. 图象恒过定点 P(1,5) 13 答案： (1,5) 8函数 y 15 x 3 1,1上的最大值等于 _ 解析：由 y 15 y 3知 y 15 x 3当 x 1 时函数有最大值 143. 答案： 143 9对于函数 f(x)，如果存在函数 g(x) b(a， b 为常数 )，使得对于区间 D 上的一切实数 f(x) g(x)成立，则称函数 g(x)为函数 f(x)在区间 覆盖函数 ” ，设 f(x) 2x， g(x) 2x，若函数 g(x)为函数 f(x)在区间 m， n上的一个 “ 覆盖函数 ” ，则|m n|的最大值为 _ 解析：因为函数 f(x) 2x与 g(x) 2x 的图象相交于点 A(1,2)， B(2,4)，由图可知， m， n1,2，故 |m n|2 1 1. 答案： 1 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分 ) 10已知 f(x) e x， g(x) e x(e 8) (1)求 f(x)2 g(x)2的值； (2)若 f(x)f(y) 4， g(x)g(y) 8，求 g x yg x y 的值 解： (1)f(x)2 g(x)2 (e x)2 (e x)2 (2 e 2x) (2 e 2x) 4. (2)f(x)f(y) (e x)(e y) y e x y y e x y y e (x y) y e (x y) g(x y) g(x y)， g(x y) g(x y) 4. 同理，由 g(x)g(y) 8，可 得 g(x y) g(x y) 8. 由 解得 g(x y) 6， g(x y) 2， g x yg x y 3. 11若函数 y 4x 定义域为 M.当 x M 时，求 f(x) 2x 2 34 x 的值 解： y 3 4x 3 4x ， 解得 M x| 14 f(x) 2x 2 34 x 42 x 3(2 x)2. 令 2x t， t8 或 08 或 08 时， f(t) ( ， 160)， 当 2x t 23，即 x f(x)43. 综上可知，当 x f(x)取到最 大值为 43，无最小值 12已知函数 f(x) 3x 13|x|. (1)若 f(x) 2，求 x 的值； (2)判断 x0 时， f(x)的单调性； (3)若 3t) mf(t)0 对于 t 12， 1 恒成立，求 m 的取值范围 解： (1)当 x0 时， f(x) 3x 3x 0， f(x) 2 无解 当 x0 时， f(x) 3x 13x，令 3x 13x 2. (3x)2 23 x 1 0，解得 3x 1 2. 3x0， 3x 1 2. x 2) (2) y 30， ) 上单调递增， y 130， ) 上单调递减， f(x) 3x 13， ) 上单调递增 (3) t 12， 1 ， f(t) 3t 13t0. 3t) mf(t)0 化为 3t 32t 132t m 3t 13t 0 ， 即 3t 3t 13t m0 ，即 m 32t 1. 令 g(t) 32t 1，则 g(t)在 12， 1 上递减， 15 g(x) 4. 所求实数 m 的 取值范围是 4， ) 1函数 y 12 x 1 的图象关于直线 y x 对称的图象大致是 ( ) 解析：选 A 先通过平移变换作出函数 y 12 x 1 的图
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