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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版.doc
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
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1 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 解平面向量的数量积与向量投影的关系 进行平面向量数量积的运算 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题 与其他一些实际问题 . 近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现： (1)直接利用数量积 进行平面向量的运算，如2012 年北京 海 (2)利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题，如 2012 年 新课标全国 西 . (3)利用平面向量的数量积解决垂直问题如2012 年安徽 . 归纳 知识整合 1平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个 非零 向量 a 和 b，它们的夹角为 ，把数量 |a|b| 叫做 a 和 b 的数量积 (或内积 )，记作 ab .即 ab |a|b| ，规定 0 a 0. 2向量数量积的运算律 (1)ab ba (2)( a) b (ab ) a ( b) (3)(a b) c ac bc 探究 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立 (1)a b a c，则 b c 吗？ (2)(a b)c a(b c)吗？ 2 提示： (1)不一定， a 0 时不成立， 另外 a0 时， a b a b 与 c 不能确定； (2)(a b)c a(b c)不一定相等 (a b)c 是 c 方向上的向量，而 a(b c)是 a 方向上的向量，当 a 与 c 不共线时它们必不相等 3平面向 量数量积的有关结论 已知非零向量 a ( b (结论 几何表示 坐标表示 模 |a| aa |a| 角 ab|a|b| a b 的充要条件 ab 0 0 |ab |与|a|b|的关系 |ab | |a|b| |自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )已知 |a| 5， |b| 4， a b 10，则 a 与 b 的夹角为 ( ) 解析：选 B 设 a 与 b 的夹角为 ， 则 a b |a|b| 54 10，即 12. 又 0， ， 23. 2 (教材习题改编 )等边三角形 边长为 1， a， b， c，那么 a b b c c a 等于 ( ) A 3 B 3 D 32 3 解析：选 D 由题意知 |a| |b| |c| 1，且 a 与 b 的夹角为 120 ， b 与 c 的夹角为120 ， c 与 a 的夹角也为 120. 故 a b b c c a 32. 3设向量 a， b 满足 |a| |b| 1， a b 12，则 |a 2b| ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 解析：选 B |a 2b| |a 2b|2 |a|2 4a b 4|b|2 1 2 4 3. 4 (教材习题改编 )已知 |a| 3， |b| 4，且 a 与 b 不共线，若向量 a a 直，则 k _. 解析： (a (a (a ( a 0， 即 |a|2 k2|b|2 0. 又 |a| 3， |b| 4， 916，即 k 34. 答案： 34 5若向量 a (1,1)， b (2,5)， c (3， x)满足条件 (8a b) c 30，则 x _. 解析：由题意可得 8a b (6,3)，又 (8a b) c 30， c (3， x)，则 18 3x 30，解得 x 4. 答案： 4 平面向量数量积的运算 例 1 (1)(2012 天津高考 )已知 等边三角形， ， Q 满足 (1 ) R，若 32，则 ( ) 22 4 102 D. 32 22 (2)(2012 上海高考 )在平行四边形 ， A 3 ，边 长 分别为 2、 C、 满足 | |，则 取值范围是 _ 自主解答 (1)以点 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)， C(1， 3)，由 得 P(2 ， 0)，由 (1 ) 得 Q(1 ，3(1 )，所以 ( 1， 3(1 )(2 1， 3) ( 1)(2 1) 3 3(1 ) 32，解得 12. (2)建立平面直角坐标系，如图 则 B(2,0)， C 52， 32 ， D 12， 32 . 令 ，则 M 2 2， 32 ， N 52 2 ， 32 . 2 2 52 2 34 2 2 5 ( 1)2 6. 0 1 ， 2,5 答案 (1)A (2)2,5 平面向量 数量积的类型及求法 (1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式 a b |a|b| ；二是坐标公式 a b (2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简 注意以下两个重要结论的应用： (a b)2 2a b (a b)( a b) 5 1.(2012 江苏高考 )如图，在矩形 ， 2， 2，点 C 的中点，点 F 在边 ，若 2，则 值是_ 解析：以 A 为坐标原点， 在的直线分别为 x， y 轴建立直角坐标系，则 B( 2， 0)， E( 2， 1)， D(0,2)， C( 2， 2)设 F(x,2)(0 x 2)，由 2 2x 2x 1，所以 F(1,2)， ( 2， 1)(1 2， 2) 2. 答案： 2 平面向量的夹角与模的问题 例 2 已 知 |a| 4， |b| 3， (2a 3b)(2 a b) 61. (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求 |a b|和 |a b|. 自主解答 (1) (2a 3b)(2 a b) 61，解得 a b 6. a b|a|b| 643 12， 又 0 ， 23 . (2)|a b|2 2a b 13， |a b| 13. |a b|2 2a b 37. |a b| 37. 本例条件不变，若 a， b，试求 面积 解： 夹角 23 ， 23 13. 又 | |a| 4， | |b| 3， S 12| 1243 32 3 3. 1利用数量积求解长度问 题的处理方法 (1)a a |a|2或 |a| a a. 6 (2)|a b| a b 2 a b (3)若 a (x， y)，则 |a| 2求向量夹角的方法 (1)利用向量数量积的定义知， a b|a|b|，其中两向量夹角的范围为0 180 ，求解时应求出三个量： a b， |a|， |b|或者找出这三个量之间的关系 (2)利用坐标公式，若 a ( b (则 (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解 2 (1)已知平面向量 ， ， | | 1， (2,0)， ( 2 )，求 |2 |的值； (2)已知三个向量 a、 b、 c 两两所夹的角都为 120 ， |a| 1， |b| 2， |c| 3，求向量 a b c 与向量 a 的夹角 解： (1) (2,0)， | | 2，又 ( 2 )， ( 2 ) 2 2 1 2 0. 12. (2 )2 4 2 2 4 4 4 2 10. |2 | 10. (2)由已知得 (a b c) a a b a c 1 220 320 32， |a b c| a b c 2 2a b 2a c 2b c 1 4 9 420 620 1220 3. 设向量 a b c 与向量 a 的夹角为 ， 则 a b c a|a b c|a| 32332 ， 7 即 150 ， 故向量 a b c 与向量 a 的夹角为 150. 平面向量的垂直问题 例 3 已知 |a| 4， |b| 8， a 与 b 的夹角是 120. (1)计算 |a b|； (2)当 k 为何值时， (a 2b) (b) 自主解答 (1)|a b|2 |a|2 2a b |b|2 16 248 12 64 48， 故 |a b| 4 3. (2)若 (a 2b) (b)，则 (a 2b)( b) 0， 即 (2k 1)a b 216k 16(2k 1) 264 0，解 得 k 7. 即 k 7 时，两向量垂直 两向量垂直的判断方法及应用 (1)若 a， b 为非零向量，则 a ba b 0；若非零向量 a ( b (则 a b0. (2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径 3在直角三角形 ，已知 (2,3)， (1， k)，求 k 的值 解： (1)当 A 90 时， 0. 21 3k 0，解得 k 23. (2)当 B 90 时， 又 (1， k) (2,3) ( 1， k 3)， 2( 1) 3( k 3) 0， 解得 k 113. (3)当 C 90 时， 1( 1) k(k 3) 0， 8 即 3k 1 0. k 3 132 . 综上可得 k 的值为 23或 113 或 3 132 . 平面向量数量积的应用 例 4 设向量 a (4 ， )， b ( ， 4 )， c ( ， 4 ) (1)若 a 与 b 2c 垂直，求 )的值； (2)求 |b c|的最大值； (3)若 16，求证： a b. 自主解答 (1)由 a 与 b 2c 垂直， a( b 2c) a b 2a c 0， 即 4 ) 8 ) 0， ) 2. (2)b c ( ， 4 4 ) |b c|2 2 16 32 16 17 30 17 15 ， 最大值为 32， 所以 |b c|的最大值为 4 2. (3)由 16 得 16 ， 即 4 4 0， 所以 a b. 平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的 关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 4在 ，已知 2 3| 3|2，求角 A， B， C 的大小 解：设 a， b， c， 由 2 3| 得 2 3 9 32 ， 又 A (0， ) ， A 6. 由 3| 3|2得 3 由正弦定理得 334 ， 56 C 34 ， 即 12 32 34 ， 2 2 33， C 3C 0， 2C 3 0， 由 A 6 知 00， 则 a 与 b 的夹角为锐角或 0 ； (2)若 a b|0,00， 即 (1,2)(1 ， 2 )0. (1 ) 2(2 )0. 53. 当 a 与 a b 共线时，存在实数 m，使 a b 即 (1 ， 2 ) m(1,2)， 1 m，2 2m， 解得 0. 15 即当 0 时， a 与 a b 共线， 综上可知， 53且 0. 11已知 锐角三角形，向量 m (3)， n (1， )，且 m n. (1)求 A 的大小； (2)当 qn(p0， q0)，且满足 p q 6 时，求 积的最大值 解： (1) m n， 30. 31 0， 14. 又 锐角三角形 ， 12， A 3. (2)由 (1)可得 m 34， 32 ， n 1， 32 . | 214 p， | 72 q. S 12| 2132又 p q 6， 且 p0， q0， p q p p q3. p q9. 积的最大值为 21329 18932. 12已知向量 a (1,2)， b ( ， )设 m a tb(t 为实数 ) (1)若 4 ，求当 |m|取最小值时实数 t 的值； (2)若 a b，问：是否存在实数 t，使得向量 a b 和向量 m 的夹角为 4 ，若存在，请求出 t；若不存在，请说明理由 16 解： (1)因为 4 ， 所以 b 22 ， 22 ， a b 3 22 ， 则 |m| a t b 2 5 2t a b 3 2t 5 t 3 22 2 12， 所以当 t 3 22 时， |m|取到最小值，最小值为 22 . (2)存在满足题意的实数 t， 由条件得 a b a t b|a b|a t b| ， 又因为 |a b| a b 2 6， |a t b| a t b 2 5 (a b)( a t b) 5 t， 则有 5 5 22 ，且 a 与 b 的夹角为锐角； 若 a， b 的夹角为 ，则 |b| 表示向量 b 在向量 a 方向上的射影的数量 其中正确的是 _ 解析：由于 ， ，所以，若 0，则 a b 0，故 正确； 若 a b 0，则 a b，又 a， b， c 是三个非零向量，所以 a c b c，所以 |a c| |b c|， 正确 ； a， b 共线 a b | a|b|，所以 错； 17 对于 ，应有 |a|b| a b，所以 错； 对于 ，应该是 a a a |a|2a，所以 错； | a|b|2 a b，故 正确； 当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a b0，因此 错； |b| 表示向量 b 在向量 a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故 错 综上可知 正确 答案： 2平面上有四个互异点 A、 B、 C、 D，已知 ( 2( 0，则 形状是 ( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D无法确定 解析：选 B 由 ( 2( 0， 得 ( ( ( 0， 所以 ( ( 0. 所以 |2 |2 0，故 | |， 故 等腰三角形 3已知 A， B， C 的坐标分别为 A(3,0)， B(0,3)， C( ， )， 2 ， 32 . (1)若 | |，求角 的值； (2)若 1，求 2 1 的值 解： (1) ( 3， )， ( ， 3)， ( 3)2 10 6 ， ( 3)2 10 6 . 由 | |，可得 ， 即 10 6 10 6 ，得 . 又 2 ， 32 ， 54 . (2)由 1， 得 (
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