人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及2013模拟题)理(打包43套)新人教A版
2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及2013模拟题)《合情推理与演绎推理》理 新人教A版.doc
2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及2013模拟题)理(打包43套)新人教A版
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2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及2013模拟题)理(打包43套)新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
- 内容简介:
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1 第五节 合情推理与演绎推理 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用 握演绎推理的基本模式,并能运用 它们进行一些简单推理 选择题、填空题的形式考查,如 2012 年江西西 南 重于对推理形式的考查 . 归纳 知识整合 1合情推理 (1)归纳推理: 定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理 特点:是由 部分 到 整体 、由 个别 到 一般 的推理 (2)类比推理 定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征 的推理 特点:类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理 探究 提示:不一定,结论是否真实,还需要 经过严格的逻辑证明和实践检验 2演绎推理 (1)模式:三段论 大前提 已知的 一般原理 ; 小前提 所研究的 特殊情况 ; 结论 根据一般原理,对 特殊情况 做出的判断 2 (2)特点:演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理 探究 提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才一定是真实的,错误的前提则可能导致错误的结论 自测 牛刀小试 1下面几种推理是合情推理的是 ( ) 由圆的性质类比出球的有关性质; 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180 ,归纳出所有三角形的内角和都是 180 ; 某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; 三角形的内角和是 180 ,四边形的内角和是 360 ,五边形的内角和是 540 ,由此得出凸多边形的内角和是 (n 2)180. A B C D 解析:选 C 是类比推理, 是归纳推理, 是非合情推理 2观察下列各式: 55 3 125,56 15 625,57 78 125, ,则 52 013的末四位数字为 ( ) A 3 125 B 5 625 C 0 625 D 8 125 解析:选 A 55 3 125,56 15 625,57 78 125, 58 390 625, 59 1 953 125,可得59与 55的后四位数字相同, ,由此可归纳出 5m 4m(k N*, m 5,6,7,8)的后四位数字相同,又 2 013 4502 5,所以 52 013与 55后四位数字相同为 3 125. 3给出下列三个类比结论 (ab)n a b)有 (a b)n )类比,则有 ) ; (a b)2 2a b)2类比,则有 (a b)2 2a b 其中结论正确的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析:选 B 不正确, 正确 4 (教材习题改编 )有一段演绎推理是这样的: “ 直线平行于平面,则直线平行于平面内所有直线;已知直线 b平面 ,直线 a平面 ,直线 b 平面 ,则直线 b 直线 a” ,结论显然是错误的,这是因为 ( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 解析:选 A 大前提是错误的,直线平行于平面,则不一定平行于平面内所有直线,还有异面直线的情况 3 5 (教材习题改编 )在 ,不等式 1A 1B 1C 9 成立;在四边形 ,不等式 1A 1B 1C 1D 162 成立;在五边形 ,不等式 1A 1B 1C 1D 1E 253 成立,猜想,在 1立的不等式为 _ 解析: 9 32,16 42,25 52,且 1 3 2,2 4 2,3 5 2, ,故在 n 边形 不等式 11 1成立 答案: 11 1(n3) 归纳推理 例 1 (1)(2012 江西高考 )观察下列各式: a b 1, 3, 4, 7, 11, ,则 ( ) A 28 B 76 C 123 D 199 (2)设 f(x) 13x 3,先分别求 f(0) f(1), f( 1) f(2), f( 2) f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明 自主解答 (1)记 f(n),则 f(3) f(1) f(2) 1 3 4; f(4) f(2) f(3) 3 4 7; f(5) f(3) f(4) f(n) f(n 1) f(n 2)(n N*,n3) ,则 f(6) f(4) f(5) 18; f(7) f(5) f(6) 29; f(8) f(6) f(7) 47; f(9) f(7) f(8) 76; f(10) f(8) f(9) 123. 所以 123. (2)f(0) f(1) 33 , f( 1) f(2) 33 , f( 2) f(3) 33 , 猜想 f(x) f(1 x) 33 , 证明: f(x) 13x 3, f(1 x) 131 x 3 333 x3 3x . 4 f(x) f(1 x) 13x 3 3 3x 3 3 3x 1333 . 答案 (1)C 利用本例 (2)的结论计算 f( 2 014) f( 2 013) f( 1) f(0) f(1) f(2 015)的值 解: f(x) f(1 x) 33 , f( 2 014) f( 2 013) f( 1) f(0) f(1) f(2 015) f( 2 014) f(2 015) f( 2 013) f(2 014) f(0) f(1) 2 015 33 2 015 33 . 归纳推理的分类 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决 此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等 (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳 1观察下列等式: 1 11 2 31 2 3 61 2 3 4 101 2 3 4 5 1513 113 23 913 23 33 3613 23 33 43 10013 23 33 43 53 225可以推测: 13 23 33 _(n N*,用含 n 的代数式表示 ) 解析:第二列等式右边分别是 11,33,66,1010 , 1515 ,与第一列等式右边比较即可得, 13 23 33 (1 2 3 n)2 14n2(n 1)2. 答案: 14n2(n 1)2 5 类比推理 例 2 (2013 广州模拟 )已知数列 等差数列,若 a, b(n m1 , m, n N*),则 n m 上述结论,对于等比数列 , n N*),若 c, d(n m2 , m, n N*),则可以得到 n _. 自主解答 法一:设数列 公差为 m b m. 所以 n a n b m m . 类比推导方法可知:设数列 公比为 q,由 d m,所以 qn m 以 n cn mn m 法二: (直接类比 )设数列 公差为 列 公比为 q, 因为等差数列中 (n 1)比数列中 1,因为 n m ,所以 nn m 答案 n m 类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法 (1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解; (2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; (3)类比方法:有一些处理问题的 方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移 6 2在 , 点 D. 求证: 111那么在四面体 ,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由 证明:如图所示, 11又 1 111猜想:类比 想四面体 , 两垂直, 平面 1111下面证明上述猜想成立 如右图所示,连接 延长交 点 F,连接 A, 平面 而 面 在 , 111同理可得在 , 111 1111故猜想正确 演 绎 推 理 7 例 3 已知函数 f(x) a(a 0 且 a1) (1)证明:函数 y f(x)的图象关于 点 12, 12 对称; (2)求 f( 2) f( 1) f(0) f(1) f(2) f(3) 的值 自主解答 (1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点 (x, y),它关于点 12, 12 对称的点的坐标为 (1 x, 1 y) 由已知得 y a, 则 1 y 1 a a, f(1 x) x a a a a a, 1 y f(1 x), 即函数 y f(x)的图象关于点 12, 12 对称 (2)由 (1)可知 1 f(x) f(1 x), 即 f(x) f(1 x) 1. 则 f( 2) f(3) 1, f( 1) f(2) 1, f(0) f(1) 1, 则 f( 2) f( 1) f(0) f(1) f(2) f(3) 3. 演绎推理的结构特点 (1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫 小前提,它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论 (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 3已知函数 f(x) 中 a0, b0, x (0, ) ,试确定 f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性 8 解:法一:设 00, b0, ,0b, f( f(0,即 f(f( f(x)在 0, 是减函数; 当 x2 时, , b0, x (0, ) , 令 f( x) b 0,得 x 当 0 x b, b0 ,即 f( x)0 , f(x)在 0, 是减函数; 当 x b0 ,即 f( x)0 , f(x)在 上是增函数 2 个步骤 归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤: 通过观察个别情况发现某些相同性质; 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想 ); 9 检验猜想 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤: 找出两类事物之间的相似性或一致性; 用一类事物的性 质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想 ); 检验猜想 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 1 个区别 合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理; (2)类比是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理; (4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;若大前提和小前提正确,则演绎推理得到的结论一定正确 . 创新交汇 合情推理与证明的交汇创 新 1归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理;类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比题型多为客观题,而 2012 年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中,是高考命题的一个创新 2解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性 (特例的共性或一般规律 );然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题 (猜想 );最后对所得的一般性命题进行检验 典例 (2012 福建高考 )某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1) 37 ; (2) 55 ; (3) 82 ; (4) 18) 18)8 ; (5) 25) 25)5. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据 (1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论 解 法一: (1)选择 (2)式,计算如下: 10 55 1 120 1 14 34. (2)三角恒等式为 0 ) 0 ) 34. 证明如下 : 0 ) 0 ) (0 0 )2 (0 0 ) 34 32 14 32 12 34 34 34. 法二 : (1)同法一 (2)三角恒等式为 0 ) 0 ) 34. 证明如下 : 0 ) 0 ) 1 2 1 0 22 (0 0 ) 12 12 12 12(0 0 ) 32 12 12 12 12 14 34 34 14(1 ) 1 14 14 14 34. 名师点评 1本题的创新点 (1)本题给出一个等于同一个常数的 5 个代数式,但没有给出具体的值,需要学生求出这个常数,这打 破以往给出具体关系式的模式 (2)本题没有给出具体的三角恒等式,需要考生归纳并给出证明,打破了以往只归纳不证明的方式 2解决本题的关键 (1)正确应用三角恒等变换,用一个式子把常数求出来 (2)通过观察各个等式的特点,找出共性,利用归纳推理正确得出一个三角恒等式,并给出正确的证明 11 变式训练 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 ) , ) , 由 得 ) ) 2 . 令 A, B,有 A A 代入 得 2B2 (1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明: 2B2 (2)若 三个内角 A, B, C 满足 A B 1 C,试判断 形状 (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及 (1)中的结论 ) 解: (1)因为 ) , ) , 得 ) ) 2 . 令 A, B,有 A A 代入 得 2B2 (2)由二倍角公式 , A B 1 C 可 化为 1 21 21 1 2 所以 设 三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 由正弦定理可得 根据勾股定理的逆定理知 直角三角形 一、选择题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 ) 1 (2013 合肥模拟 )正弦函数是奇函数, f(x) 1)是正弦 函数,因此 f(x)1)是奇函数,以上推理 ( ) 12 A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D全不正确 解析:选 C 由于 f(x) 1)不是正弦函数,故小前提不正确 2 (2013 银川模拟 )当 x (0, ) 时可得到不等式 x 1x2 , x 4 2x 23 ,由此可以推广为 x n 1,取值 p 等于 ( ) A B n D n 1 解析:选 A x (0, ) 时可得到不等式 x 1x2 , x 4 2x 23 , 在 不等式左边分母 n 的指数次方,即 p 3由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: “ 类比得到 “ ab ba ” ; “( m n)t 类比得到 “( a b)c ac bc ” ; “( m n)t m(n t)” 类比得到 “( ab )c a (bc )” ; “ t0 , xtm x” 类比得到 “ p0 , ap xp a x” ; “| m n| |m| n|” 类比得到 “ |ab| |a|b| ” ; “ 类比得到 “ acbc 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析:选 B 正确, 错误 4 (2012 江西高考 )观察下列事实: |x| |y| 1 的不同整数解 (x, y)的个数为 4, |x| |y| 2 的不同整数解 (x, y)的个数为 8, |x| |y| 3 的不同整数解 (x, y)的个数为 12, ,则 |x| |y| 20 的不同整数解 (x, y)的个数为 ( ) A 76 B 80 C 86 D 92 解析:选 B 通过观察可以发现 |x| |y|的值为 1,2,3 时,对应的 (x, y)的不同整数解的个数为 4,8,12,可推出当 |x| |y| n 时,对应的不同整数解 (x, y)的个数为 4n,所以|x| |y| 20 的不同整数解 (x, y)的个数为 80. 5设 三边长分别为 a、 b、 c, 面积为 S,内切圆半径为 r,则 r 2b c;类比这个结论可知:四面体 S 四个面的面积分别为 切球的半径为 13 R,四面体 S 体积为 V,则 R ( ) A. 234 C 设三棱锥的内切球球心为 O,那么由 V 即: V 13131313 可得: R 36已知 “ 整数对 ” 按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1),(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), ,则第 60 个数对是 ( ) A (7,5) B (5,7) C (2,10) D (10,1) 解析:选 B 依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知第 n 组整数对的和为 n 1,且有 n 个整数对,这样的前 n 组一共有 n n2 个整数对,注意到 2b0)与圆 y a 和 y a 之间的封闭图形,类比上面的结论,由圆的面 积可得椭 圆的面积为_ 解析:如图,任取一条与 x 轴平行的直线,设该直线与 x 轴相距 h,则这条直线被椭圆截得的弦长 2b 被圆截得的弦长 2 则 故 S 椭圆 答案: 、解答 题 (本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分 ) 10给出下面的数表序列: 15 表 1 表 2 表 31 1 3 1 3 5 4 4 8 12其中表 n(n 1,2,3, ) 有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3, 5, , 2n 1,从第 2 行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和 写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表 n(n3)( 不要求证明 ) 解:表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32,它们构成首项为 4,公比为 2 的等比数列 将这一结论推广到表 n(n3) ,即表 n(n3) 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n,公比为 2 的等比数列 11已知椭圆具有性质:若 M, N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 斜率都存在,并记为 的位置无关的定值试对双曲线 1 写出具有类似特 征的性质,并加以证明 解:类似的性质为:若 M, N 是双曲线 1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 斜率都存在,并记为 的位置无关的定值 证明:设点 M, P 的坐标分别为 (m, n), (x, y), 则 N( m, n)因为点 M(m, n)在已知的双曲线上, 所以 同理: 则 y m y m m2m2值 ) 16 12观察: 00 34; 6 34. 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想 解:猜想 30) 30) 34. 证明:左 边 30) 30) 32 12 32 12 34 14 34右边 所以,猜想是正确的 边长是 a,依次连接正方形 边中点得到一个新的正方形,再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形,如图所示现有一只小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了 10 条线段则这 10 条线段的长度的平方和是 ( ) 232 048 23768 . 5111 024 474 096析:选 A 由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为 12a 2 14二段长度的平方为 24 a 2 18 ,从而可知,小虫爬行的线段长度的平方可以
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