人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版
2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）《数列的综合问题 》理 新人教A版.doc
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2014高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题，含详解及2013模拟题）理（打包43套）新人教A版,高考,数学,一轮,汇总,训练,归纳,明确,考点,自测,教师,备选,误区,警示,课后,实战,详解,模拟,摹拟,打包,43,新人
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1 第五节 数列的综合问题 备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题 . 查数列的通项公式与前 n 项和公式，如2012 年新课标全国 比数列综合考查数列的基本计算，如 2012 年江西 北 等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如 2012 年广东 . 归纳 知识整合 1数列综合应用题的解题步骤 (1)审题 弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题 (2)分解 把整个大题分解成几个小题或几个 “ 步骤 ” ，每个小题或每个 “ 步骤 ” 分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等 (3)求解 分别求解这些小题或这些 “ 步骤 ” ，从而得到整个问题的解答 具体解题步骤如下框图： 2常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题 (2)等比数列模型：通过读题 分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题 (3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通 2 过分析递推关系式求解 探究 银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？ 提示：单利公式 设本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 n，则本利和 a(1 属于等差数列模型 复利公式 设本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 n，则本利和 a(1 r)n，属于等比数列模型 自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )已知等差数列 公差为 2，若 ) A 4 B 6 C 8 D 10 解析：选 B 由题意知： 则 (2)2 (2)(4)，解得 6. 2已知 成等差数列，则 M(x， y)的轨迹的图象为 ( ) 解析：选 A 由于 成等差数列，则有 22，所以 4x.又 y 0， x 0，故 M 的轨迹图象为 A. 果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么 x y z 的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 C 由题意知，第三列各数成等比数列，故 x 1；第一行第五个数为 6，第二行第五个数为 3，故 z 34； 第一行第四个数为 5，第二行第四个数为 52，故 y 54，从而 x y z 3. 4等比数列 前 n 项和为 1，且 4 _. 解析：设数列 公比为 q， 44 44 4q 4 0，解得 q 2. 1 241 2 15. 答案： 15 2 4 1 2 x y z 3 5已知数列 前 n 项和为 任意 n N*都有 2313，若 1 9(k N*)，则 k 的值为 _ 解析：由 2313得 当 n2 时， 23(1) 13， 即 21 1. 令 p 2(1 p)得 21 3p，可知 p 13. 故数列 3 是以23为首项，以 2 为公比的等比数列 则 13 23( 2)n 1， 即 23( 2)n 1 13. 由 1 23( 2)k 1 13 9， k N*得 k 4. 答案： 4 等差数列、等比数列的综合问题 例 1 在等比数列 n N*)中， ，公比 q0，设 6，0. (1)求证：数列 等差数列； (2)求 前 n 项和 通项 自主解答 (1)证明： 1 1常数， 数列 等差数列且公差 d (2) 6， 2. ， . 0， 0. 4 2d 2，4d 0， 解得 4，d 1. 4n n n 12 ( 1) 9n 1，4， q 12，16. 25 n(n N*) 在本例 (2)的条件下，试比较 解：显然 25 n0， 当 n9 时， n 0 ， n9 时， n. 16， 8， 4， 2， 1， 12， 14， 18， 4， 7， 9， 10， 10， 9， 7， 4， 当 n 3， 4， 5， 6， 7， 8 时， 解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题，善于联 系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来 (2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前 n 项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法 1 (2013 青岛模拟 )已知等差数列 公差大于零，且 18x 650 的两个根；各项均为正数的等比数列 前 n 项和为 满足 13. (1)求数列 通项公式； (2)若数列 足 n5 ，n5， 求数列 前 n 项和 解： (1)设 公差为 d， 公比为 q. 5 由 18x 65 0，解得 x 5 或 x 13. 因为 d0，所以 得 1， q 3. 所以 3n 1. (2)当 n5 时， n n n2 4 2n； 当 n5 时， ( (25 2 5) 35 3n 51 3 3n 1532 . 所以 2n， n5 ，3n 1532 ， n例 2 (2012 安徽高考 )设函数 f(x) x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 (1)求数列 通项公式； (2)设 前 n 项和 为 n. 自主解答 (1)令 f( x) 12 x 0，即 x 12，解得 x 223( k Z) 由 f(x)的第 n 个正极小值点知， 2 23( n N*) (2)由 (1)可知， 2(1 2 n) 23 n(n 1) 2 所以 n n n 1 2 因为 n(n 1)表示两个连续正整数的乘积， n(n 1)一定为偶数， 6 所以 n 当 n 3m 2(m N*)时， n 2 43 32 ； 当 n 3m 1(m N*)时， n 2 23 32 ； 当 n 3m(m N*)时， n 0. 综上所述 ， n 32 ， n 3m 2 m N* ，32 ， n 3m 1 m N* ，0， n 3m m N* . 解决函数与数列的综合问题应该注意的事项 (1)数列是 一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化 2已知函数 f(x) x 1， ， 是方程 f(x) 0 的两个根 ( )， f( x)是 f(x)的导数，设 1， 1 f an(n 1,2， ) (1)求 ， 的值； (2)已知对任意的正整数 n，都 有 ，记 (n 1,2， ) ，求数列 前 n 项和 解： (1)由方程 x 1 0 解得方程的根为 1 52 ， 1 52 ， 又 ， 是方程的两个实根，且 ， 7 1 52 ， 1 52 . (2) f( x) 2x 1， 1 f 121 121. (n 1,2,3， ) ，且 1， 1 412 . 或 1 1 521 1 52 524 252 21 522 4 12 1 1 1 2 n 12a n 1 ln 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2即 以 2 为公比的等比数列 故数列 前 n 项和 22 (2n 1)4 12 (2n 2 4) 12 . 数列与不等式的综合应用 例 3 (2012 广东高考 )设数列 前 n 项和为 足 21 2n 1 1， nN*，且 5， (1)求 (2)求数列 通项公式 ； (3)证明：对一切正整数 n，有 11 1又 1 满足上式， 故 3n 2n. (3)证明： 113n 2n 13n 11 23 n 13n11 23 3 13n， 11 1 13 132 13n 3131 1313 32 1 13n 0 成立的最小值 n. 解： (1) 等比数列，设其公比为 q， 23，209 ， 9 两式相除得， 310， q 3 或 q 13， 递增数列， q 3， 281. 1 2813 n 1 23 n 5， n 5， 数列 前 n 项和 n 4 n2 12(9n) (2) 1 (1 5) (2 5) (22 5) (2n 1 5) 1 225n0， 即 2n5n 1. 2455 1， 5(只要给出正确结果，不要求严格证明 ). 数列的实际应用 例 4 (2012 湖南高考 )某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 (1)用 d 表示 写出 1与 (2)若公司希望经过 m(m3) 年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值 (用 m 表示 ) 自主解答 (1)由题意得 2 000(1 50%) d 3 000 d， 50%) d 32d 4 500 52d. 1 50%) d 32d. (2)由 (1)得 321 d 32 322 d d 32 22 32d d 10 32 n 1d 1 32 32 2 32 n 2 . 整理得 32 n 1(3 000 d) 2d 32 n 1 1 32 n 1(3 000 3d) 2d. 由题意， 4 000，即 32 m 1(3 000 3d) 2d 4 000. 解得 d 32 m 2 1 00032m 1m 2m 13m 2m . 故该企业每年上缴资金 d 的值为m 2m 13m 2m 时，经过 m(m3) 年企业的剩余资金为 4 000 万元 解决数列实际应用问题的方法 解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力 4某市 2010 年 新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2010 年为累计的第一年 )将首次不少于 4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于 85%？ (参考数据： 解： (1)设中低价房面积形成数列 由题意可知 等差数列，其中 250， d 50， 则 250n n n2 50 25225n. 令 25225n4 750 ， 即 9n 1900 ，而 n 是正整数， 解得 n10. 故到 2019 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万 11 平方米 (2)设新建住房面积形成数列 由题意可知 等比数列，其中 400， q 400(n 1. 由题意可知 有 250 (n 1)50400(1 n 1 当 n 5 时， 即满足上述不等式的最小正整数 n 为 6. 故到 2015 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 1 个问题 分期付款问题 等比数列中处理分期付款问题的注意事项： (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息 (最后一次付款没有利息 ) (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最 后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系 3 个注意 递推、放缩与函数思想的考查 (1)数列与解析几何结合时注意递推 (2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩 (3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质 (多为单调性 ). 创新交汇 数列的新定义问题 1数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题 2解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而 明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题 典例 (2011 北京高考 )若数列 ， an(n2) 满足 |1 1(k 1,2， ，n 1)，则称 数列记 S( (1)写出一个满足 0，且 S(0 的 E 数列 (2)若 12， n 2 E 数列 2 011； (3)对任意给定的整数 n(n2), 是否存在首项为 0 的 E 数列 得 S( 0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 果不存在，说明理由 12 解 (1)0,1,2,1,0 是一个满足条件的 E 数列 (答案不唯一， 0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 数列 (2)必要性：因为 E 数列 所以 1 1(k 1,2， ， 1 999) 所以 2，公差为 1 的等差数列 所以 00 12 (2000 1)1 2 011. 充分性：由于 00 991 ， 99 981 ， ， 所以 00 999 ， 即 00 1 999. 又因为 12， 00 2 011， 所以 00 1 999. 故 1 1 0(k 1,2， ， 1 999)，即 综上，结论得证 (3)令 1 ak(k 1,2， ， n 1)，则 1. 因为 1， 所以 S( (n 1)(n 2)(n 3) 1 (n 1) (n 2) 1 (1 n 1) (1 n 2) (1 1) n n2 (1 n 1) (1n 2) (1 1) 因为 1 ，所以 1 k 1， ， n 1) 所以 (1 n 1) (1 n 2) (1 1)为偶数， 所以要使 S( 0，必须使 n n2 为偶数， 即 4 整除 n(n 1)，亦即 n 4m 或 n 4m 1(m N*) 当 n 4m(m N*)时， E 数列 1 3 0， 2 1， 1(k 1,2， ，m)时，有 0， S( 0； 当 n 4m 1(m N*)时， 1 3 0， 2 1， 1(k 1,2， ，m)， 1 0 时，有 0， S( 0； 当 n 4m 2 或 n 4m 3(m N*)时， n(n 1)不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 13 得 0， S( 0. 名师点评 1本题具有以下创新点： (1)本题为新 定义问题，命题背景新颖 (2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合 2解决本题要注意以下几个问题： 对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等第 (1)问中 E 数列 ，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第 (2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第 (3)问和第 (1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛 盾，从而找到解决问题的突破口 变式训练 1已知数列 ， 果数列 1 1，其中 k 2,3， ， n，则称 “ 衍生数列 ” 若数列 a1， 衍生数列 ” 是 5， 2,7,2，则 _；若 n 为偶数，且 “ 衍生数列 ” 是 则 “ 衍生数列 ” 是 _ 解析：由 1 1， k 2,3， ， n 可得， 5,2 7，解得 ( 2)，解得 2 5，解得 2，所以数列 2,1,4,5. 由已知， ( ( . 因为 n 是偶数，所以 ( 1)n( “ 衍生数列 ” 为 则 ( 1)i( (1)i( ( 1)i( ( 1)i( ( 1)i( 中 i1,2,3， ， “ 衍生数列 ” 是 答案： 2,1,4,5 2 (2012 上海高考改编 )对于项数为 m 的有穷数列 记 ， k 1,2， ， m)，即 ， 的最大值，并称数列 控制数列如1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列 控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的 (2)设 控制数列， 满足 k 1 C(C 为常数， k 1,2， ， m)求证：ak(k 1,2， ， m) 解： (1)数列 ： 2,3,4,5,1； 2,3,4,5,2； 2,3,4,5,3； 2,3,4,5,4； 2,3,4,5,5. (2)证明：因为 ， 1 ， 1， 所以 1 14 因为 k 1 C， 1 k C， 所以 1 k 1 k0 ，即 1 因此， 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 1. 等差数列 ， 8，数列 等比数列，且 ) A 2 B 4 C 8 D 16 解析：选 D 等差数列， 4 又 等比数列， 16. 2数列 公差不为 0 的等差数列，且 连 续的三项，则数列 公比为 ( ) A. 2 B 4 C 2 析：选 C 设数列 公差为 d(d0) ，由 2d)2 a1(6d)，解得2d，故数列 公比 q 222. 3 (2013 泉州模拟 )满足 1， 1 1(n N*)，它的前 n 项和为 满足 025 的最小 n 值是 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 解析：选 C 因为 1， 1 1(n N*)，所以 1 2 2n 1， 2n 1，则满足 025 的最小 n 值是 11. 4根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 件 )近似地满足关系式 1n 5)(n 1,2， ， 12)，按此预测，在本年度内，需求量超过 件的月份是 ( ) A 5、 6 月 B 6、 7 月 C 7、 8 月 D 8、 9 月 解析：选 C 由 130( 15n 9)，再解不等式 130( 15n 9)60)的图象在点 (的切线与 x 轴交点的横坐标为 1， k 为正整数， 16，则 _. 解析：依题意得，函数 y x2(x0)的图象在点 ( 的切线方程是 y 2ak(x 16 令 y 0 得 x 12 1 12此数列 以 16 为首项， 12为公比的等比数列，所以 16 12 k 1 25 k， 16 4 1 21. 答案： 21 9气象学院用 元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费为 n 4910 (n N*)元，使用它直至报废最合算 (所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少 )，一共使用了 _天 解析：由第 n 天的维修保养费为 n 4910 (n N*)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应 n 的值 由题意知使用 n 0 4 5 n 4910 0 4n 920，0 4n 时 n 800. 答案： 800 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分 ) 10设同时满足条件： 22 1； M(n N*， M 是常数 )的无穷数列 “ 嘉文 ” 数列已知数列 前 n 项和 n 1(1)(a 为常数，且 a0 ， a1) (1)求数列 通项公式； (2)设 21，若数列 等比数列，求 a 的值，并证明数列 1 嘉文 ” 数列 解： (1)因为 1(1) 以 a. 当 n2 时， 1 1(1)，整理得 1 a，即数列 以 a 为首项，a 为公比的等比数列所以 a 1 (2)由 (1)知， 1 an 1a 2 (*) 由数列 等比数列，则 3a 2a 2 3 32a 2解得 a13， 17 再将 a 13代入 (*)式得 3n，故数列 等比数列，所以 a 13. 由于122 13n13n 22 2 13n 13n 22 13n 111，满足条件 ；由于13n13，故存在 M 13满足条件 1 嘉文 ” 数列 11已知正项数列 足： 3， 6， 等差数列，且对任意正整数 n，都有 1成等比数列 (1)求数列 通项公式； (2)设 11 1比较 2 11的大小 解： (1) 对任意正整数 n，都有 1成等比数列，且数列 为正项数列， 1(n N*) 由 3， 6 得 3，6， 又 等差数列，即有 2 解得 2， 3 22 ， 数列 首项为 2，公差为 22 的等差数列 数列 通项公式为 2 n2 (n N*) (2) 由 (1) 得 ， 对 任 意 n N* ， 1 n n2 ， 从 而 有 1n n 21n 11n 2 ， 2 12 13 13 14 1n 1 1n 2 1 2n 2. 22 4n 11 2n 2n 3， 2 2 11 n 2n 34n 28n n . 当 n 1， n 2 时， 211. 12已知数列 前 n 项和为 一切正整数 n，点 Pn(n， 在函数 f(x) 2x 的图象上，且过点 Pn(n， 切线的斜率为 (1)求数列 通项公式； (2)若 2数列 前 n 项和 (3)设 Q x|x n N*， R x|x 2n N*，等差数列 任一项 Q R，其中 R 中的最小数， 110n 1，即 1 1n 10 时， 2已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位： 其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同时也拆除面积为 b(单位： 旧住房 (1)分别写出第 1 年末和第 2 年末的实际住房面积的表达式； (2)如果第 5 年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？ (计算时取 20 解： (1)第 1 年末的住房面积为 a 1110 b b(第 2 年末的住 房 面积为a 1110 b 1110 b a 11102 b1 1110 (2)第 3 年末的住房面积为 a 1110 2 b 1 1110 1110 b a 1110 3 b 1 1110 1110 2( 第 4 年末的住房面积为 a 1110 4 b 1 1110 1110 2 1110 3 ( 第 5 年末的住房面积为 a 1110 5 b 1 1110 1110 2 1110 3 1110 4 1 .6 a 6b( 依题意可知， 6b 得 b 以每年拆除的旧住房面积为 3已知数列 前 n 项和 n 1 2(n N*)，且 2， 1. (1)求 k 的值和 (2)是否存在正整数 m， n，使得 1 )型 这种类型一般是等式两边取对数后转化为 1 q 型数列，再利用待定系数法求解 例 6 已知数列 ， 1， 1 1a a0)，求数列 通项公式 解 对 1 1a 得 lg 1 2lg a. 令 lg 1 2a. 由此得 1 2 记 1 2 所以数列 以 2 为公比的等比数列 所以 2n 1a. 所以 2n 1a a 1a 2n 1 2n， 即 lg 2n，所以 2n. 7 1 C(A， B， C 为常数 )型 对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式 例 7 已知数列 首项 35， 1 31， n 1,2,3， ，求 通项公式 解 1 31， 11 23 13 25 11 1 13 11 . 又 11 23， 11 是以 23为首项， 13为公比的等比数列， 11 23 13n 1 23n， 32. 二、破解数列中的 4 类探索性问题 1条件探索性问题 此类问 题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在 “ 执果索因 ” 的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意 例 1 已知数列 ， 2， 3，其前 n 项和 n 2 21 1(n N*)；数列 ， 1 46(n N*) (1)求数列 通项公式； (2)设 2 ( 1)n 1 2 为非零整数， n N*)，试确定 的值，使得对任意 n N*，都有 1 解 (1)由已知得 2
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