内容简介：: 课时作业梯级练七十五参数方程1.在圆锥曲线论中,阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线,并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperbola)和抛物线(parabola),在这本晦涩难懂的书中,有一个著名的几何问题:“在平面上给定两点a,b,设p点在同一平面上且满足 =(0且1),p点的轨迹是圆.”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”.已知点m与长度为3的线段oa两端点的距离之比为 = ,建立适当坐标系,求出m点的轨迹方程并化为参数方程.【解析】由题意,以oa所在的直线为x轴,过o点作oa的垂线为y轴,建立直角坐标系,设m(x,y),则o(0,0),a(3,0).因为 = ,即 = ,化简得(x+1)2+y2=4,所以点m的轨迹是以(-1,0)为圆心,2为半径的圆.由圆的普通方程可得其参数方程为 (为参数).2.在平面直角坐标系xoy中,已知曲线c1:x+y=1,曲线c2: (为参数),以坐标原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线c1,c2的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知l:=(0)与c1,c2的公共点分别为a,b, ,当 =4时,求的值.【解析】(1)因为x=cos ,y=sin ,所以曲线c1的极坐标方程为cos +sin -1=0.曲线c2化为普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2-4x+y2=0,因为x=cos ,x2+y2=2,所以曲线c2的极坐标方程为=4cos .(2)设点a,b的极坐标分别为(1,)和(2,),10,20.因为点a在曲线c1上,所以1cos +1sin -1=0,则1= ,同理,点b在曲线c2上,所以2=4cos .由极坐标的几何意义知, = = =4,所以cos (cos +sin )=1,即cos2+cos sin =1,则cos sin =sin2.又 ,所以sin 0,则cos =sin ,所以= .3.已知在直角坐标系xoy中,圆c的参数方程为 (为参数).(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆c的极坐标方程.(2)已知a(-2,0),b(0,2),圆c上任意一点m(x,y),求abm面积的最大值.【解析】(1)因为圆c的参数方程为 (为参数),所以,普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4,所以,圆c的极坐标方程为2-6cos +8sin +21=0.(2)点m(x,y)到直线ab:x-y+2=0的距离为d= ,abm的面积s= |ab|d=|2cos -2sin +9|= ,所以,abm面积的最大值为9+2 .4.(2021石家庄模拟)在平面直角坐标系xoy中,曲线c的参数方程为 (为参数),以坐标原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为= .(1)求曲线c的极坐标方程;(2)当0r0,结合0r2,得3r20,所以 + = + = = .因为3r24,所以04-r20,结合0r2,得3r20,t20,所以 + = + = = .因为3r24,所以04-r20.故可设t1,t2是方程(*)的两个实根,所以又直线l过点p(3, ),故由上式及t的几何意义得|pa|+|pb|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 .6.在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为 (t为参数,ar).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c的极坐标方程为=4cos ,射线= (0)与曲线c交于o,p两点,直线l与曲线c交于a,b两点.(1)求直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程;(2)当|ab|=|op|时,求a的值.【解析】(1)将直线l的参数方程化为普通方程,得 x+y-a=0.由=4cos ,得2=4cos ,从而x2+y2=4x,即曲线c的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.(2)由得p .所以|op|=2,将直线l的参数方程代入曲线c的方程x2-4x+y2=0中,得t2+(2+ a)t+a2=0,由0,得2 -4a2 +4.设a,b两点对应的参数分别为t1,t2,则|ab|=|t1-t2|= = =2,解得a=0或a=4 .所以,所求a的值为0或4 .7.(2021郑州模拟)在平面直角坐标系xoy中,以o为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线c的极坐标方程为2cos2+32sin2=12,直线l的参数方程为 (t为参数),直线l与曲线c交于m,n两点.(1)若点p的极坐标为(2,),求|pm|pn|的值;(2)求曲线c的内接矩形周长的最大值.【解析】(1)由2cos2+32sin =12得x2+3y2=12,故曲线c的直角坐标方程为 + =1,点p的直角坐标为(-2,0),将直线l的参数方程代入曲线c的直角坐标方程 + =1中,得t2- t-4=0,设点m,n对应的参数分别为t1,t2,则|pm|pn|=|t1t2|=4.(2)由曲线c的直角坐标方程为 + =1,可设曲线c上的动点a(2 cos ,2sin ),0 ,则以a为顶点的内接矩形的周长为4(2 cos +

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