2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练五十七抛物线课时作业理含解析新人教A版202104081205.doc
2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练理含解析打包77套新人教A版
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课时作业梯级练五十七抛物线【基础落实练】（30分钟60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2020全国卷)已知a为抛物线c:y2=2px(p0)上一点,点a到c的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()a.2b.3c.6d.9【解析】选c.设抛物线的焦点为f,由抛物线的定义知|af|=xa+=12,即12=9+,解得p=6.2.(2020全国卷)设o为坐标原点,直线x=2与抛物线c:y2=2px(p0)交于d,e两点,若odoe,则c的焦点坐标为()a.b.c.(1,0)d.(2,0)【解析】选b.将x=2代入y2=2px(p0)得y=2,由odoe得kodkoe=-1,即=-1,得p=1,所以抛物线c:y2=2x的焦点坐标为.3.(2020北京高考)设抛物线的顶点为o,焦点为f,准线为l,p是抛物线上异于o的一点,过p作pql于q,则线段fq的垂直平分线()a.经过点ob.经过点pc.平行于直线opd.垂直于直线op【解析】选b.因为点p在抛物线上,所以|pq|=|pf|,所以fq的垂直平分线经过点p.4已知椭圆c：1的左、右焦点分别为f1，f2.f2也是抛物线e：y22px(p0)的焦点，点a为c与e的一个交点，且直线af1的倾斜角为45，则c的离心率为()a b1c3 d1【解析】选b.由题意可知，c，则p2c.所以e：y24cx.因为f1，直线af1的倾斜角为45，所以直线af1的方程为：yxc.由得所以a.因为f2，所以af2f1f2.在rtaf2f1中，2c，2c.由椭圆的定义得2a，即2c2c2a，解得1.5(2021聊城模拟)已知抛物线c：y24x的焦点f和准线l，过点f的直线交l于点a，与抛物线的一个交点为b，且3，则|ab|()a b c d【解析】选c.由抛物线方程y24x，知焦点f(1，0)，准线l：x1，如图，设l与x轴交点为k，过b作bml，交l于m，则易知bmkf，所以abmafk，设|bf|m，由3，可知|ab|2m，所以|kf|af|m，又由方程知|kf|2，所以m2，即m，所以|ab|2m.二、填空题(每小题5分，共15分)6已知动圆m过定点n，且截y轴所得弦长为8，设圆心m的轨迹为曲线c，则曲线c的方程为_【解析】设动圆圆心m，则，化简整理得y28x，故曲线c的方程为y28x.答案：y28x7已知抛物线x24y焦点为f，经过f的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，点a，b在抛物线准线上的射影分别为a1，b1，以下四个结论：x1x24，|ab|y1y21，a1fb1，ab的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的是_【解析】抛物线x24y焦点为f(0，1)，易知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为ykx1.由得x24kx40，则x1x24k，x1x24，正确；|ab|af|bf|y11y21 y1y22，不正确；(x1，2)，(x2，2)，所以x1x240，所以，a1fb1，正确；ab的中点到抛物线的准线的距离d(|aa1|bb1|)(y1y22)(kx11kx212)(4k24)2 .当k0时取得最小值2，正确答案：8若a，b为曲线c：y28x上的两个动点，且线段ab的中点p到y轴距离d4，则的最大值为_，此时直线ab的方程为_【解析】设直线ab的方程为xmyn，由消去x得y28my8n0，所以64m232n0，2m2n0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，y1y28m，y1y28n，xpmn4m2n4，n44m2，32(2m2n)64(2m2)0，m22.8812，当且仅当1m22m2，即m2(满足m22)时，取得最大值，此时m，n2，直线ab：xy20.答案：12xy20三、解答题(每小题10分，共20分)9已知f为抛物线c：ymx2的焦点(1)设a，动点p在c上运动，证明：6.(2)如图，直线l：yxt与c交于m，n两点(m在第一象限，n在第二象限)，分别过m，n作l的垂线，这两条垂线与y轴的交点分别为d，e，求的取值范围【解析】(1)因为抛物线ymx2的焦点坐标为，所以1，即m，则a的坐标为，且c的准线方程为y1.设p到准线的距离为d，则d，因为a到准线的距离为516，所以d6.(2)由得x22x4t0.设m，n，则x1x22，x1x24t0，所以t0，x1x22.直线dm的方程为yy12，令x0，得yd2x1y1，同理得ye2x2y2，所以ydye2y1y2，因为x1x22，所以5，即的取值范围为.10若抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，o是坐标原点，m为抛物线上的一点，向量与x轴正方向的夹角为60，且ofm的面积为.(1)求抛物线c的方程；(2)若抛物线c的准线与x轴交于点a，点n在抛物线c上，求当取得最大值时，直线an的方程【解析】(1)设m的坐标为m，如图因为向量fm与x轴正方向的夹角为60，f，所以|mf|2，根据抛物线定义得：|mf|x，即x2，解得x，即|mf|2p，则somf|of|mf|sin ofm2psin 120p2，解得p2，即抛物线c的方程为：y24x；(2)设n的坐标为n，a，则，因为点n在抛物线c：y24x上，即有：b24a，所以，因此，当且仅当a，即a1时等号成立，此时n，a，所以直线an的方程为yx1或yx1.【素养提升练】（20分钟35分）1.(5分)已知点p为抛物线c:y2=4x上的一个动点,pm垂直c的准线,垂足为m,a点坐标为(7,8),则|pa|+|pm|的最小值是()a.7b.8c.9d.10【解析】选d.设抛物线c:y2=4x的焦点为f,则|pm|=|pf|,f(1,0),所以|pa|+|pm|=|pa|+|pf|af|=10.2.(5分)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线c上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同两点p和q,则线段pq的中点坐标为()a.(1,-1)b.(2,0)c.d.(1,1)【解析】选a.因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点p(x1,y1),q(x2,y2).则,则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),所以kpq=,又因为p,q关于直线l对称,所以kpq=-1,即y1+y2=-2,所以=-1,又因为pq的中点一定在直线l上,所以=+2=1.所以线段pq的中点坐标为(1,-1).3抛物线c1：x22py的焦点与双曲线c2：y21的左焦点的连线交c1于第二象限内的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线，则p()a b c d【解析】选d.抛物线c1：x22py的焦点f的坐标为，且由x22py得y，y；双曲线y21的左焦点f1的坐标为，直线ff1的截距式方程为：1，两条渐近线方程分别为：yx，yx；设点m的坐标为，根据题意：y|xx0，即，x0p，所以y0.因为m是直线ff1与抛物线的交点，所以m在直线1上，于是有1，1，p.【加练备选拔高】已知双曲线c:-b2y2=1的右焦点到其中一条渐近线的距离等于,抛物线e:y2=2px的焦点与双曲线c的右焦点重合,则抛物线e上的动点m到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1的距离之和的最小值为()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.双曲线c：b2y21的渐近线方程y，右焦点，到其一条渐近线的距离，解得b2，所以双曲线的右焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为，即抛物线方程为y24x，作示意图如图所示过点m作mal1，垂足为a，作准线的垂线mc，垂足为c，连接mf，根据抛物线定义有，即动点m到直线l1：4x3y60和l2：x1的距离之和等于，当a，m，f三点共线时距离之和最小，即点f到直线l1：4x3y60的距离为2.4已知抛物线c：x22py的焦点为f，点a在抛物线c上，且3.(1)求抛物线c的方程及x0的值； (2)设点o为坐标原点，过抛物线c的焦点f作斜率为的直线l交抛物线于m，n两点，点q为抛物线c上异于m，n的一点，若t，求实数t的值【解析】(1)由题意知，抛物线的准线方程为：y，根据抛物线的定义，13，所以p4，故抛物线方程为x28y，点f(0，2)，当y1时，x02.(2)由(1)知，直线l的方程为yx2，联立得x26x160，解得x12，x28，所以m，n，设点q的坐标为，则由oqomton得t，所以又因为点q在抛物线x28y上，所以28，解得t或t0(舍去).5在平面直角坐标系xoy中，已知定点f(1，0)，点a在x轴的非正半轴上运动，点b在y轴上运动，满足0，a关于点b的对称点为m，设点m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)已知点g(3，2)，动直线xt(t3)与c相交于p，q两点，求过g，p，q三点的圆在直线y2上截得的弦长的最小值【解析】(1)因为点a在x轴的非正半轴上运动，点b在y轴上运动，所以设a(a，0)，b(0，b)，m(x，y)，因为f(1，0)，0，所以(a，b)(1，b)ab20*，因为a关于点b的对称点为m，所以0，b，即ax，b，代入*式得y24x，所以曲线c的方程是y24x.(2)由(1)知抛物线的方程为y24x，直线xt(t3)与抛物线方程联立解得，y2，设p(t，2)，q(t，2)，因为p，q关于x轴对称，所以过g，p，q三点的圆的圆心在x轴上，设圆心为e(m，0)，所以|eg|ep|，即，解得m，所以圆e的方程为(xm)2y2(m3)24，令y2，则x12m3，x23，所以圆e在直线y2上截得的弦长为|x1x2|2m33|，因为t30，t22t5(t1)240，所以|x1x2|t34，2444，当且仅当t3，即t32时，取等号，所以当t32时，圆e在直线y2上截得的弦长的最小值为44.1已知抛物线c：y22px的焦点为f，点m是抛物线c上一点，以m为圆心的圆与线段mf相交于点a，且被直线x截得的弦长为，若3，则实数p为()a3 b c2 d1【解析】选a.由题意m在抛物线上，则2px015，则px0，过点m作直线x的垂线，垂足为d，由抛物线的性质可知，x0，又3，则3，因为被直线x截得的弦长为，则，又，在rtmde中，222，即，将代入整理得4xp234，由解得x0，p3.【加练备选拔高】已知抛物线c:y2=2px(p0)的准线方程为x=-,f为抛物线的焦点(1)求抛物线c的方程;(2)若p是抛物线c上一点,点a的坐标为,求|pa|+|pf|的最小值;(3)若过点f且斜率为1的直线与抛物线c交于m,n两点,求线段mn的中点坐标.【解析】(1)由准线方程x=-,得p=1,所以抛物线c的方程为y2=2x.(2)过点p作准线的垂线,垂直为b,则|pb|=|pf|,要使|pa|+|pf|的值最小,则p,a,b三点共线,此时|pa|+|pf|=+=4.(3)直线mn的方程为y=x-.设m(x1,y1),n(x2,y2),把y=x-代入抛物线方程y2=2x,得x2-3x+=0,因为=9-41=80,所以x1+x2=3,=,线段mn中点的横坐标为,纵坐标为-=1,所以线段mn的中点坐标为.2.已知抛物线e:y2=2px(p0)恰好经过等腰梯形abcd的四个顶点,abdc,ad的延长线与抛物线e的准线的交点m.则抛物线的方程为,直线bd经过定点的坐标是.【解析】根据题意,m为抛物线e的准线上的点,所以=,即p=1,所以抛物线e的方程为y2=2x.抛物线e的焦点为,设a(x1,y1),b(x1,-y1),d(x2,y2),设直线ad的方程为y=k,联立方程组得k2x2+(k2-2)x+=0,则x1x2=且0x1x2,所以x10),直线bd的方程为y=(x-n)与方程y2=2x联立得x2-x+=0,则x1x2=n2,即n2=,解得n=,即bd经过点.答案:y2=2x2已知抛物线e：y22px(p0)恰好经过等腰梯形abcd的四个顶点，abdc，ad的延长线与抛物线e的准线的交点m.则抛物线的方程为_，直线bd经过定点的坐标是_【解析】根据题意，m为抛物线e的准线上的点，所以，即p1，所以抛物线e的方程为y22x.抛物线e的焦点为，设a(x1，y1)，b(x1，y1)，d(x2，y2)，设直线ad的方程为yk，联立方程组得k2x2(k22)x0，则x1x2且0x1x2，所以x1x2，设bd与x轴的交点坐标为(n，0)(n0)，直线bd的方程为y(xn)与方程y22x联立得x2x0，则x1x2n2，即n2，解得n，即bd经过点.答案：y22x【加练备选拔高】已知圆m经过点f(0,1)与直线y=-1相切,圆心m的轨迹为曲线c,过点n(0,2)作直线与曲线c交于不同两点a,b,三角形oab的垂心为点h.则点h在
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