内容简介：: 课时作业梯级练四十九立体几何的综合应用1.(2020新高考全国卷)如图,四棱锥p-abcd的底面为正方形,pd底面abcd,设平面pad与平面pbc的交线为l.(1)证明:l平面pdc;(2)已知pd=ad=1,q为l上的点,求pb与平面qcd所成角的正弦值的最大值.【命题意图】本题主要考查空间线面垂直关系及线面角的求解,考查空间想象力与基本计算能力,体现了直观想象与逻辑推理的核心素养.【解析】(1)因为pd底面abcd,ad平面abcd,所以pdad.又底面abcd为正方形,所以addc,又dcpd=d,dc,pd平面pdc,所以ad平面pdc.因为adbc,ad平面pbc,bc平面pbc,所以ad平面pbc,由平面pad与平面pbc的交线为l,可得lad.因此l平面pdc.(2)以d为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则d(0,0,0),c(0,1,0),b(1,1,0),p(0,0,1), =(0,1,0), =(1,1,-1).由(1)可设q(a,0,1),则 =(a,0,1),设n=(x,y,z)是平面qcd的一个法向量,则即可取n=(-1,0,a).所以cosn, = = .设pb与平面qcd所成角为,则sin = = .因为 ,当且仅当a=1时等号成立,所以pb与平面qcd所成角的正弦值的最大值为 .2.已知四棱锥p-abcd的底面abcd是直角梯形,adbc,abbc,ab= ,bc=2ad=2,e为cd的中点,pbae.(1)证明:平面pbd平面abcd;(2)若pb=pd,pc与平面abcd所成的角为 ,试问“在侧面pcd内是否存在一点n,使得bn平面pcd?”若存在,求出点n到平面abcd的距离;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由四边形abcd是直角梯形,ab= ,bc=2ad=2,abbc,可得dc=2,bcd= ,从而bcd是等边三角形,bd=2,bd平分adc.因为e为cd的中点,所以de=ad=1,所以bdae,又因为pbae,pbbd=b,所以ae平面pbd.又因为ae平面abcd,所以平面pbd平面abcd.(2)在平面pbd内作pobd于o,连接oc,又因为平面pbd平面abcd,平面pbd平面abcd=bd,所以po平面abcd.所以pco为pc与平面abcd所成的角,则pco= ,所以由题意得op=oc= ,因为pb=pd,pobd,所以o为bd的中点,所以ocbd.以o为原点,分别以ob,oc,op所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则b(1,0,0),c(0, ,0),d(-1,0,0),p(0,0, ),假设在侧面pcd内存在点n,使得bn平面pcd成立,设 = + (,0,+1),由题意得n(-, ,- (+-1), =(-1, ,- (+-1), =(0, ,- ), =(-1,0,- ),由 ,得解得= ,= ,满足题意,即存在点n,使得bn平面pcd,所以点n到平面abcd的距离为- (+-1)= .3.等边abc的边长为3,点d,e分别是ab,ac上的点,且满足 = = (如图(1),将ade沿de折起到a1de的位置,使二面角a1-de-b成直二面角,连接a1b,a1c(如图(2).(1)求证:a1d平面bced;(2)在线段bc上是否存在点p,使直线pa1与平面a1bd所成的角为60?若存在,求出pb的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)题图(1)中,由已知可得:ae=2,ad=1,a=60.从而de= = .故得ad2+de2=ae2,所以adde,bdde.所以题图(2)中,a1dde,bdde,所以a1db为二面角a1-de-b的平面角,又二面角a1-de-b为直二面角,所以a1db=90,即a1ddb,因为dedb=d且de,db平面bced,所以a1d平面bced.(2)存在.由(1)知eddb,a1d平面bced.以d为坐标原点,分别以射线db,de,da1为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图, 过p作phde交bd于点h,设pb=2a(02a3),则bh=a,ph= a,dh=2-a,易知a1(0,0,1),p(2-a, a,0),e(0, ,0),所以 =(a-2,- a,1).因为ed平面a1bd,所以平面a1bd的一个法向量为 =(0, ,0).因为直线pa1与平面a1bd所成的角为60,所以sin 60= = = ,解得a= .所以pb=2a= ,满足02a3,符合题意.所以在线段bc上存在点p,使直线pa1与平面a1bd所成的角为60,此时pb= .4.如图,在等腰梯形abcd中,abc=60,cd=2,ab=4,点e为ab的中点,现将该梯形中的三角形ebc沿线段ec折起,形成四棱锥b-aecd.(1)在四棱锥b-aecd中,求证:adbd;(2)若平面bec与平面aecd所成二面角的平面角为120,求直线ae与平面abd所成角的正弦值.【解析】(1)由三角形bec沿线段ec折起前,abc=60,cd=2,ab=4,点e为ab的中点,得三角形bec沿线段ec折起后,四边形aecd为菱形,边长为2,dae=60,如图, 取ec的中点f,连接df,bf,de,因为bec和dec均为正三角形,所以ecbf,ecdf,又bfdf=f,所以ec平面bfd,因为adec,所以ad平面bfd,因为bd平面bfd,所以adbd.(2)以f为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 由ec平面bfd,知z轴在平面bfd内,因为bfec,dfec,所以bfd为平面bec与平面aecd所成二面角的平面角,所以bfd=120,所以bfz=30,又因为bf= ,所以点b的横坐标为- ,点b的竖坐标为 .因为d( ,0,0),e(0,1,0),a( ,2,0),b ,故 =(- ,-1,0), = ,

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