2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练十五导数与函数的极值最值课时作业理含解析新人教A版202104081186.doc
2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练理含解析打包77套新人教A版
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课时作业梯级练十五导数与函数的极值、最值 一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列结论错误的是()a.函数的极大值一定比极小值大b.导数等于0的点不一定是函数的极值点c.若x0是函数y=f(x)的极值点,则一定有f(x0)=0d.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值【解析】选a.对于a,如图,在x1处的极大值比在x2处的极小值小.所以a符合题意.对于b,如y=x3在x=0处,导数为0,但不是极值点,不符合题意.对于c,由极值点定义知显然正确,不符合题意.对于d,如图知正确,不符合题意.2.已知函数f(x)是r上的可导函数,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图,则下列结论正确的是()a.a,c分别是极大值点和极小值点b.b,c分别是极大值点和极小值点c.f(x)在区间(a,c)上是增函数d.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选c.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图象可知,函数f(x)在区间(a,+)上是增函数.3.函数f(x)=(1-x)ex有()a.最大值1 b.最小值1c.最大值e d.最小值e【解析】选a.f(x)=-ex+(1-x)ex=-xex,当x0,当x0时,f(x)0,所以f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,所以f(x)有最大值为f(0)=1.4.(2020湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,销售额函数是f(x)=- x3+ ax2+ x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕()a.8万斤b.6万斤c.3万斤d.5万斤【解析】选b.设销售利润为g(x),得g(x)=- x3+ ax2+ x-1- x=- x3+ ax2-1,当x=2时,g(2)=- 23+ a22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=- x3+ x2-1,g(x)=- x2+ x=- x(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.(2021丽江模拟)设函数f =x2+mln 有两个极值点,则实数m的取值范围是()a. b. c. d. 【解析】选b.f 的定义域为 .f = ,令其分子为g =2x2+2x+m ,在区间 上有两个零点,故 解得m .二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)= x3-4x+ 的极大值是,极小值是.【解析】f(x)=x2-4,令f(x)=0,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5.答案: -5【加练备选拔高】已知函数f(x)= x3+x2-2ax+1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为.【解析】f(x)=x2+2x-2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-1,则f(x)在(1,2)上是单调递增函数,因此 解得 a4,故实数a的取值范围为 .答案: 7.(2021郑州模拟)已知函数f(x)=axcos x+ 在区间 上有最大值 ,则实数a=.【解析】因为f(x)=axcos x+ f(x)=a(cos x-xsin x),因为x cos x-xsin x0,所以当a0f(x)为增函数f(x)max=f()= a=- ,当a0时,f(x) ,则当x 时,f(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.当a ,则当x(0,2)时,x-20,ax-1 x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是 .答案: 【加练备选拔高】可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关,如果函数的导函数在某个区间上单调递增,那么在这个区间上函数是向下凹的,反之则是向上凸的,曲线上凹凸性的分界点称为曲线的拐点,则函数f(x)= -x2+1的极大值点为,拐点为.【解析】由题意可知f(x)=x2-2x=x(x-2),故函数f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,故其极大值在x=0处取到,所以f(x)的极大值点为x=0,极大值为1,又拐点是二阶导数也等于零的点,即f(x)=2x-2=2(x-1)=0,所以x=1,f(1)=1-2=-1,拐点为(1,-1).答案:x=0(1,-1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-5)2,其中2x5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=4时,y=10.5,所以 +10=10.5,所以a=1.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-5)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-2) =1+10(x-2)(x-5)2,2x0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间-5,+)上的最大值.【解析】(1)f(x)= = .令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex0,所以y=f(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f(x)与g(x)符号相同.又因为a0.所以当-3x0,即f(x)0,当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5. 1.(5分)设函数f(x)在r上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()a.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)b.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)c.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)d.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选d.由题图可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.(5分)用长为30 m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 m),要求长方体的长与宽之比为32,则该长方体最大体积是()a.24 m3b.15 m3c.12 m3d.6 m3【解析】选b.设该长方体的宽是x m,由题意知,其长是 m,高是 = m(0x3),则该长方体的体积v(x)= x =- x3+ x2,v(x)=- x2+ x,由v(x)=0,得到x=2(x=0舍去),且当0x0;当2x3时, v(x)0,即体积函数v(x)在x=2处取得极大值v(2)=15,也是函数v(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15 m3.3.(5分)若函数f(x)的导数f(x)= (x-k)k,k1,kz,已知x=k是函数f(x)的极大值点,则k=.【解析】因为函数的导数为f(x)= (x-k)k,k1,kz,所以若k是偶数,则x=k不是极值点,则k是奇数,若k0,解得x 或xk;由f(x)0,解得kx ,由f(x)0,解得xk或x ;由f(x)0,解得 x0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2)处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)由已知得x0,f(x)=x-(a+1)+ ,y=f(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)=1,即2-(a+1)+ =1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故所求的切线方程为y=x-2.(2)f(x)=x-(a+1)+ = = .当0a0,函数f(x)单调递增;若x(a,1),f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=- a2+aln a,极小值是f(1)=- .当a=1时,f(x)= 0,所以函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值.当a1时,若x(0,1),f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=- ,极小值是f(a)=- a2+aln a.综上,当0a1时,f(x)的极大值是- ,极小值是- a2+aln a.5.(10分)已知函数f(x)=ex-ax,a0.(1)记f(x)的极小值为g(a),求g(a)的最大值;(2)若对任意实数x,恒有f(x)0,求f(a)的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域是(-,+),f(x)=ex-a.令f(x)=0,得x=ln a,易知当x(ln a,+)时,f(x)0,当x(-,ln a)时,f(x)0,所以函数f(x)在x=ln a处取极小值,g(a)=f(x)极小值=f(ln a)=eln a-aln a=a-aln a.g(a)=1-(1+ln a)=-ln a,当0a0,g(a)在(0,1)上单调递增;当a1时,g(a)0)恒成立.当x0时,由f(x)0,即ex-ax0,得a .令h(x)= ,x(0,+),则h(x)= = ,当0x1时,h(x)1时,h(x)0,故h(x)的最小值为h(1)=e,所以ae,故实数a的取值范围是(0,e.f(a)=ea-a2,a(0,e,f(a)=ea-2a,易知ea-2a0对a(0,e恒成立,故f(a)在(0,e上单调递增,所以f(0)=10恒成立,即ax+ 对x(0,+)恒成立,所以x+ 2,当且仅当x=1时取等号,所以a2.(2)由(1)知x1,x2是x2-ax+1=0的两个根,从而x1+x2=a,x1x2=1,不妨设x1x2,则t= = = ,0t1,由已知 a ,所以t为关于a的减函数,所以 t , =- -1+a =-2+(x1+x2) =-2+ ln t.令h(t)=-2+ ln t,则h(t)= .因为当a=2时,f(x)= -x+2ln x在(0,+)上为减函数,所以当tf(1)=0,从而h(t)0,则当x(-,0) 时,f(x)0;当x 时,f(x)0.故f(x)在(-,0), 上单调递增,在 上单调递减;若a=0,f(x)在(-,+)上单调递增;若a0;当x 时,f(x)0.故f(x)在 ,(0,+)上单调递增,在 上单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.当a0时,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件,当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.当a3时,由(1)知,f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.当0a3时,由(1)知,f(x)在0,1上的最小值为f =- +b,最大值为b或2-a+b.若- +b=-1,b=1,则a=3 ,与0a3矛盾.若- +b=-1,2-a+b=1,则a=3 或a=-3 或a=0,与0a3矛盾.综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在区间0,1上的最小值为-1,最大值为1.【加练备选拔高】设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cr,f(x)为f(x)的导函数.(1)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合-3,1,3中,求f(x)的极小值;(2)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为m,求证:m .【解析】(1)因为ab,b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,从而f(x)=3(x-b) .令f(x)=0,得x=b或x= .令f(x)=0,得x=a或x=b.因为a,b, 都在集合-3,1,3中,且ab,所以 =1,a=3,b=-3.此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化如表:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.(2)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为00,则f(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).由f(x)=0,得x1
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