2021届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题十四空间向量在立体几何中的应用理含解析202012191135.doc
2021届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题含解析打包48套
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2021
高考
数学
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2021届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题含解析打包48套,2021,高考,数学,一轮,专题,重组,第一,部分,解析,打包,48
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专题十四空间向量在立体几何中的应用本试卷满分96分，考试时间80分钟解答题(本大题共8小题，每小题12分，共96分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1(2019厦门模拟)如图，在四棱锥pabcd中，平面abcd平面pad，adbc，abbcapad，adp30，bad90，e是pd的中点(1)证明：pdpb；(2)设ad2，点m在线段pc上且异面直线bm与ce所成角的余弦值为，求二面角mabp的余弦值解(1)证明：bad90，baad，平面abcd平面pad，交线为ad，ba平面pad，bapd，在pad中，sinapd1，apd90，appd，baapa，pd平面pab，pb平面pab，pdpb.(2)如图，以p为坐标原点，过点p垂直于平面pad的射线为z轴，射线pd为x轴，射线pa为y轴，建立空间直角坐标系，ad2，abbcap1，pd，p(0,0,0)，a(0,1,0)，b(0,1,1)，c，e，设，则，m，又，点m在线段pc上且异面直线bm与ce所成角的余弦值为，|cos，|，整理，得9236200，解得或(舍去)，m，设平面mab的法向量m(x，y，z)，则取x2，得m(2，0)，由(1)知pd平面pab，平面pab的一个法向量为n(1,0,0)，cosm，n.二面角mabp的余弦值为.2. (2019天津高考)如图，ae平面abcd，cfae，adbc，adab，abad1，aebc2.(1)求证：bf平面ade；(2)求直线ce与平面bde所成角的正弦值；(3)若二面角ebdf的余弦值为，求线段cf的长解依题意，可以建立以a为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,1,0)，e(0,0,2)设cfh(h0)，则f(1,2，h)(1)证明：依题意，(1,0,0)是平面ade的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线bf平面ade，所以bf平面ade.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面bde的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线ce与平面bde所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面bdf的法向量，则即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段cf的长为.3(2019宜宾二诊)如图，四边形abcd是菱形，ea平面abcd，efac，cf平面bde，g是ab的中点(1)求证：eg平面bcf；(2)若aeab，bad60，求二面角abed的余弦值解(1)证明：设acbdo，连接oe，of，四边形abcd是菱形，ea平面abcd，efac，cf平面bde，oecf，efaoco，of平面abcd，设oaa，obb，aec，以o为坐标原点，oa，ob，of所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则e(a,0，c)，g，b(0，b,0)，c(a,0,0)，f(0,0，c)，(0，b，c)，(a,0，c)，设平面bcf的法向量为n(x，y，z)，则取zb，得n，nc(c)b0，eg平面bcf，eg平面bcf.(2)设aeab2，bad60，ob1，oa，a(，0,0)，b(0,1,0)，e(，0,2)，d(0，1,0)，(，1,2)，(，1,0)，(0，2,0)，设平面abe的法向量n(x1，y1，z1)，则取x11，得n(1，0)，设平面bde的法向量m(x2，y2，z2)，则取x22，得m(2,0，)，设二面角abed的平面角为，则cos.二面角abed的余弦值为.4(2019天津市河西区二模)在rtabc中，abc90，tanacb.已知e，f分别是bc，ac的中点将cef沿ef折起，使c到c的位置且二面角cefb的大小是60.连接cb，ca，如图：(1)求证：平面cfa平面abc；(2)求平面afc与平面bec所成二面角的大小解(1)证法一：f是ac的中点，afcf.如图，设ac的中点为g，连接fg.设bc的中点为h，连接gh，eh.易证：ceef，beef，bec即为二面角cefb的平面角bec60，而e为bc的中点，易知beec，bec为等边三角形，ehbc.efce，efbe，cebee，ef平面bec.而efab，ab平面bec，abeh，即ehab.由，bcabb，eh平面abc.g，h分别为ac，bc的中点，ghabfe，四边形ehgf为平行四边形fgeh，fg平面abc，又fg平面afc，平面afc平面abc.证法二：如图，建立空间直角坐标系，设ab2.则a(0,0,2)，b(0,0,0)，f(0,2,1)，e(0，2,0)，c(，1,0)设平面abc的法向量为a(x1，y1，z1)，(0,0,2)，(，1,0)，令x11，则a(1，0)，设平面afc的法向量为b(x2，y2，z2)，(0,2，1)，(，1，2)，令x2，则b(，1,2)ab0，平面afc平面abc.(2)如图，建立空间直角坐标系，设ab2.则a(0,0,2)，b(0,0,0)，f(0,2,1)，e(0,2,0)，c(，1,0)显然平面bec的法向量m(0,0,1)，设平面afc的法向量n(x，y，z)，(，1，2)，(0,2，1)，n(，1,2)cosm，n，由图形观察可知，平面afc与平面bec所成二面角的平面角为锐角平面afc与平面bec所成二面角的大小为45.5(2019四平二模)如图，在多面体abcdef中，四边形adef为正方形，adbc，adab，ad2bc2.(1)证明：平面adef平面abf；(2)若平面adef平面abcd，二面角abce为30，三棱锥abdf的外接球的球心为o，求异面直线oc与df所成角的余弦值解(1)证明：因为四边形adef为正方形，所以adaf，又adab，abafa，所以ad平面abf，因为ad平面adef，所以平面adef平面abf.(2)因为平面adef平面abcd，adaf，平面adef平面abcdad，所以af平面abcd.由(1)知ad平面abf，又adbc，则bc平面abf，从而bcbf，又bcab，所以二面角abce的平面角为abf30.以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz，如图所示，则b(2，0,0)，d(0,2,0)，c(2，1,0)，e(0,2,2)，f(0，0,2)因为三棱锥abdf的外接球的球心为o，所以o为线段be的中点，则o的坐标为(，1,1)，(，0，1)，又(0，2,2)，则cos，故异面直线oc与df所成角的余弦值为.6(2019辽宁朝阳模拟)在如图所示的几何体abcdef中，平面abcd平面abef，四边形abcd和四边形abef都是正方形，且边长为2，q是ad的中点(1)求证：直线ae平面fqc；(2)求二面角afcb的大小解(1)证明：afbe，adbc，af与ad交于点a，be与bc交于点b，平面adf平面bce，又efabcd，几何体adfbce是三棱柱又abbe，abbc，bebcb，ab平面bce，故几何体adfbce是直三棱柱又四边形abcd和四边形abef都是正方形，efabdc且efabdc，四边形dcef为矩形连接de，交fc于点p，连接pq.p是de的中点，q是ad的中点，pq是三角形dae的中位线，pqae.ae平面fqc，pq平面fqc，直线ae平面fqc.(2)平面abcd平面abef，abbc，bc平面abef，bcbe.ab，bc，be两两垂直以b为坐标原点，ba，bc，be所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系bxyz，则b(0,0,0)，q(2,1,0)，f(2,0,2)，c(0,2,0)，a(2,0,0)，(0,2,0)，(2,0,2)设平面bfc的法向量为m(x，y，z)，则取x1，则z1，m(1,0，1)同理可得平面afc的法向量n(1,1,0)，cosm，n，记二面角afcb的大小为，依题意知为锐角，cos，解得，即二面角afcb的大小为.7. (2019天津市重点中学高三联考)如图所示，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，papd，papd，abad，ab1，ad2，accd.(1)求证：pd平面pab；(2)求直线pb与平面pcd所成角的正弦值；(3)在棱pa上是否存在点m，使得bm平面pcd？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面pad平面abcd，abad，所以ab平面pad，所以abpd.又因为papd，paaba，所以pd平面pab.(2)取ad的中点o，连接po，co.因为papd，所以poad.又因为po平面pad，平面pad平面abcd，所以po平面abcd.因为co平面abcd，所以poco.因为accd，所以coad.如图建立空间直角坐标系oxyz.由题意得，a(0,1,0)，b(1,1,0)，c(2,0,0)，d(0，1,0)，p(0，0,1)设平面pcd的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2，所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，所以直线pb与平面pcd所成角的正弦值为.(3)设m是棱pa上一点，则存在0,1使得.因此点m(0,1，)，(1，)因为bm平面pcd，所以bm平面pcd，当且仅当n0，即(1，)(1，2,2)0，解得.所以在棱pa上存在点m使得bm平面pcd，此时.8(2019呼和浩特市质量普查调研考试)如图，平面四边形abcd，abbd，abbccd2，bd2，将abd沿bd翻折到与平面bcd垂直的位置(1)证明：cd平面abc；(2)若e为ad的中点，求二面角ebca的大小解(1)证明：平面四边形abcd，abbd，abbccd2，bd2，平面abd平面bcd，abbd，平面abd平面bcdbd，ab平面bcd，abcd，又ac2ab2bc28，ad2ab2bd212，ad2ac2cd212，accd，acaba，cd平面abc.(2)因
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