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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
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主讲教师： 第 4 章 中值定理与导数应用 中值定理中值定理洛必达法则洛必达法则函数单调性和凹凸性函数单调性和凹凸性函数的极值与最值函数的极值与最值函数图形描绘函数图形描绘12 洛必达法则洛必达法则I 洛必达法则洛必达法则II 3 其他未定式其他未定式xxxx,0)(limxf, 0 )()(limxgxf)()(limxgxf在自变量的某个变化过程中（例如对于一个函数的极限式，其结果不外乎是四种情非零常数A或不存在”之一，但是对于两个函数和有时不确定，例如假设A,B为常数，有 等），形“组成的极限式，其结果有时确定，Axf)(lim0)(lim BxgBAxgxf)()(limAxf)(lim)(limxg0)()(limxgxf（1）若，则 （2）若，则；0)(lim Axf0)(limxg)()(limxgxf（3）若，则；0)(limxf0)(limxg不存在00)()(lim00Axgxf)(limxf)(limxg不存在00)()(limAxgxf（4）若，则（5）若，则；)()(limxgxf)()(limxgxf000211000上述情形(1)(3)因为结果确定,所以我们称情形(4)和(5)的结果不确定,我们称不定式共有7种，它们是：型， 型，型，型，型， 型，本节我们介绍的罗必达法则及其应用就是这些不定式的定值法。本节我们介绍的罗必达法则及其应用就是这些不定式的定值法。为定式。为不定式。型， 定理 4.3)(xf)(xg设函数与满足下列条件：, 0)(lim, 0)(lim00xgxfxxxx0x)(xf )(xg0)( xgAxgxfxx)()(lim0Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00（1）（2）在点 的某个去心邻域中，和并且（或）；（或 ）都存在，则有求下列极限（1）)0(sinsinlim0bbxaxx（2）202limxeexxx（3）)arcsin(sinlim30xxxx (4) )1ln(arctanlim0xxx这四个极限都是00型不定式（1）babxbaxabxaxxxcoscoslimsinsinlim0012lim2lim2lim00000020xxxxxxxxxeexeexee（2）两次使用罗必达法则。 例例4.6解解（3）)arcsin(sinlim30xxxx,该式属于00型不定式, 且符合洛必达 法则1条件,但是若直接用罗必达法则,分母的导数较繁. 作一个等价无穷小代换,那么运算就方便得多. sinlim )arcsin(sinlim3030罗必达法则等价无穷小代换xxxxxxxx61321lim 3cos1lim22020xxxxxx等价无穷小代换由此例不难看出，当由此例不难看出，当361sinxxx0x时，时， 【注】【注】 1lim 0xxx等价无穷小代换求极限 xxxxxsintanlim20 (4) )1ln(arctanlim0xxx 定理 4.4)(xf)(xg设函数与满足下列条件：,)(lim)(lim00xgxfxxxx0x)(xf )(xg0)( xg)()()(lim0或AxgxfxxAxgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00（1）（2）在的某个空心邻域中，和都存在，（3）则有（或 ）0xxxx00 xx00 xxx1）改为自变量 的任意一个变化过程，例如， 2）使用罗必达法则时是分子分母分别求导，不要与商的导数混淆。时，罗必达法则仍成立。求下列极限（1）xxxlnsinlnlim0 （2）)0(lnlimnxxnxxxexlim （3）0（，0）【注】【注】 例例4.7以上三个极限在相应的极限过程中都是“”型不定式（1）1sincoslim1sincoslimlnsinlnlim000xxxxxxxxxxxnxxxlnlim11limnxxx01limnxnx（2） ，得n（3） 相继应用罗必达法则次，xnxexlimxnxenx1lim xnxexnn22) 1(lim 0!limxnxen解解xxln)0( nxn)0(xe提醒读者提醒读者注意：注意：当时，对数函数、幂函数、指数函数增大的当时，对数函数、幂函数、指数函数增大的“速度速度”是很不一样的，幂函数增大的是很不一样的，幂函数增大的“速度速度”比对数函数快得多，而指数函数增大的比对数函数快得多，而指数函数增大的“速度速度”又比幂函数快得多，即又比幂函数快得多，即 均为无穷大，但这三个函数均为无穷大，但这三个函数nxxx2limxexxlnlimxxnxlnlim利用这个结论我们可以立得下列极限利用这个结论我们可以立得下列极限0000洛必达法则为求不定式的极限提供了一个非常有效的方法，但使用罗必达法则求极限时务必注意：型和（2） 求极限，若不是不定式，则不能使用罗必达法则。至于其他类型的不定式必须通过等价变换化成 型或型不定式，才能使用洛必达法则，具体转化思路如下（1） 只有)()(limxgxf21为型不定式时，转化思路是 情形4.1)(1)(1)(1)(1)()(limxgxfxfxgxgxf00 （型） )tan(seclim2xxx)111(lim0xxex求极限（1） （2）这两例均为型不定式， 21通过通分把它转化成为“00”型不定式如下： （1）0sincoslimcossin1lim)tan(seclim222 xxxxxxxxx通分（2）11lim) 1(1lim)111(lim000xxxxxxxxxexeeexxeex212lim0xxxxexee例例4.8解解)()(limxgxf0)(1)(lim)()(limxgxfxgxf)(1)(lim)()(limxfxgxgxf为型不定式时，转化思路是 或 求极限 xxxlnlim00这是型不定式，把它转化成为型如下：xxxlnlim00)(lim11lim1lnlim0200xxxxxxxx洛必达法则请记住这个极限0lnlim0xxx,它将经常被引用.对任意的自然数1n,都有0lnlim0xxnx 情形4.2例例4.9解解【注】【注】 推推 广广)()(limxgxf1000)(ln)(lim)()(limxfxgxgexf)(ln)(limxfxg0为， ，先把极限式指数化再求极限，转化思路是其中为型，归结为情形4.2。型不定式时，求极限 xxx00lim这是00型幂指函数的极限, 把极限式指数化再求极限1lim0lnlim0000eexxxxxx类似地有：1lim0lnlimlnsinlimsin000000eeexxxxxxxxx求下列极限xxxtan00limxxxarctan00lim 情形4.3例例4.10解解 求极限 xxx)arctan2(lim 这是1型不定式，先把极限式指数化再求极限xxxxxxee1arctanln2lnlim)arctan2ln(limxxx)arctan2(limxxxxxxxxeearctan11lim111arctan1lim22222 e例例4.11解解求极限xxxlim是 0型未定式，先把极限式指数化再求极限1lim0lnlim1eexxxxxx（1） 1limnnnxxxxxx1limlim（2）类似的结论，当）类似的结论，当 0a时，时，1limnna例例4.12解解【注】【注】 )()(lim0xgxfxx)()(lim0xgxfxx)()(lim0xgxfxx)()(lim0xgxfxx(3)存在（或是 ）是存在（或是不存在，这个极限是否存在。）的充分条
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