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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
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主讲教师： 第 9 章 常微分方程概念反思概念反思理论回味理论回味经典探究经典探究方法纵横方法纵横前景展望前景展望124二阶齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶线性微分方程二阶线性微分方程时，当时，当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，当时，当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程证毕证毕是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.代入方程左边代入方程左边, 得得(叠加原理叠加原理) 若函数若函数 为任意常数为任意常数） 定理 9.1证证不一定是所给二阶方程的通解不一定是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解但是并不是通解但是则为解决通解的判别问题则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. x线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使( 无妨设无妨设线性无关线性无关常数容易看出常数容易看出x3线性相关，线性无关线性相关，线性无关xexe3定义定义9.6是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则则数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为(自证自证) 定理 9.2的两个特解为已知方程的两个特解为已知方程0)24(42 yxyxy2221,xxxeyey， 的特解。求满足条件的特解。求满足条件2, 000xxyy 线性无关，则因为线性无关，则因为2112yyxyy 2221xxxeCeCy代入初始条件得代入初始条件得2021 CC，原方程的特解为原方程的特解为 22xxey 该方程的通解为该方程的通解为例例9.18解解是二阶非齐次方程的一个特解是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解, 则是非齐次方程的通解则是非齐次方程的通解 .设设 定理 9.3例如例如, 方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解因此该方程的通解为有通解因此该方程的通解为 已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解 .是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且常数因而线性无关常数因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为有三故所求特解为有三 例例9.19解解微分方程解的结构齐次线性微分方程的通解结构非齐次线性微分方程的通解结构微分方程解的结构齐次线性微分方程的通解结构非齐次线性微分方程的通解结构1.下列函数组哪些是线性相关的？哪些是线性无关的？（下列函数组哪些是线性相关的？哪些是线性无关的？（1） 21,x x （2） sin,cosxx（3） 1,xxee31, x（4） （5） 2sin, sincosxxx2验证验证 1cosyx及及 2sinyx都是方程都是方程 20yy的解，并写出该方程的通解。的解，并写出该方程的通解。3验证验证 122cossincosxyCxCxx是微分方程是微分方程 sinyyx 的通解的通解 4证明：若证明：若 1( )yy x是线性方程是线性方程 0( )yp x y的解，则的解，则 1( ) (yCy xC并举例说明。为任意常数）也是该方程的解并举例说明。为任意常数）也是该方程的解，5若若 1( )yy x是线性齐次方程是线性齐次方程 0( )yp x y的解，则的解，则 *( )yyx是是 ( )( )yp x yQ x的解。的解。 6已知方程已知方程 24420 ()yxyxy的两个特解为的两个特解为 2212,xxyeyxe试求该方程满足初始条件试求该方程满足初始条件 0002( ),( )yy的特解。的特解。 7已知已知222123,xyxyxxyex都是方程都是方程2122() xyxyyxx 的通解。的通解。 的解，求此方程的解，求此方程8已知已知 x和和 2x齐次方程的两个特解，而这非齐次线性微分方程本身是二阶非齐次线性微分方程所对应的一个特解为齐次方程的
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