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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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主讲教师： 第 9 章 常微分方程概念反思概念反思理论回味理论回味经典探究经典探究方法纵横方法纵横前景展望前景展望124二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入得代入得称为微分方程的称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当当时时, 有两个相异实根有两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为( r 为待定常数为待定常数 ),所以令的解为所以令的解为 则微分其根称为则微分其根称为特征根特征根.函数因为 为常数时 函数因为 为常数时r 为常数。为常数。2. 当2. 当时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解可以证明因此原方程的通解为则微分方程有一个特解可以证明因此原方程的通解为是微分方程的一个特解，且这两个解线性无关是微分方程的一个特解，且这两个解线性无关3. 当3. 当时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根通根通 解解的通解的通解. 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为 求解初值问题求解初值问题 特征方程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为求方程求方程例例9.21例例9.20解解解解034 yyy10000)(y,)(y124,2CC 的通解的通解. 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程通解为因此原方程通解为特征方程特征方程:特征根特征根 :原方程通解原方程通解:原方程特解求微分方程满足初始条件的特解。代入初始条件得原方程特解求微分方程满足初始条件的特解。代入初始条件得xxeey324求方程求方程例例9.23例例9.22解解解解一、一、二、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解 为实数为实数 ,不难验证特解为不难验证特解为(1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, 特解形式为特解形式为为为 m 次多项式次多项式 .一一(2) 若若 是特征方程的单根是特征方程的单根 , 特解形式为特解形式为(3) 若若 是特征方程的重根是特征方程的重根 , 故特解形式为故特解形式为小结 对方程小结 对方程, 当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设特解可设特解的通解的通解. 本题而特征方程为本题而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程 :比较系数比较系数, 得于是所求通解为得于是所求通解为2xyy 求求xCxCYsincos21 通解通解201 c ,b .a例例9.24解解的通解的通解. 本题而特征方程为本题而特征方程为是特征方程的根是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程 :比较系数比较系数, 得得于是所求通解为于是所求通解为3232xyyye求求312xxYC eC e通解特征根通解特征根:331212xxxyC eC exe例例9.25解解11,62ab 本题特征方程为本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为其根为设非齐次方程特解为代入方程比较系数得代入方程比较系数得故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为原方程特解为原方程特解为由初始条件得由初始条件得求通解为求通解为例例9.26解解的特解形式的特解形式. 分别求出方程而特征方程为分别求出方程而特征方程为特解为特解为于是特解形式为于是特解形式为224468xyyyxe2446yyyx2448xyyye的特解，特征根的特解，特征根2446yyyx2448xyyye特解为特解为例例9.27求求解解对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 二的通解的通解.特征方程为特征方程为设特解为设特解为于是通解为于是通解为4sinyyx代入得代入得通解通解xCxCYsincos21 0, 2 ba特解为求特解为求例例9.28解解的通解的通解.特征方程为特征方程为设特解为设特解为于是特解为于是特解为2cos21yyxx代入得通解代入得通解12xYCC e11,816abcd 120,2rr特征根特征根2cos2yyxx对于对于对于对于21yy特解为特解为代入得代入得则通解为则通解为121111(1)cos2()sin288162xyCC exxxxx求求例例9.29解解二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程1求下列微分方程的通解（求下列微分方程的通解（1） 230yyy（2） 20yyy（3） 690yyy（4） 054 yyy2求下列微分方程满足初始条件的特解求下列微分方程满足初始条件的特解2150yyy（1）0301( ),( )yy （2）4400200,( ),( )yyyyy（3） 250yy0205( ),( )yy3求微分方程求微分方程 220yyy使其在点使其在点 的一条积分曲线的一条积分曲线，0 1( , )处有水平切线。处有水平切线。4求下列方程的通解求下列方程的通解23xyyye （1）（）（2）48yy（3） 2cosyyx（4） 256xyyyxe4 sinyyxx（5） （6） 9183303cossinyyxx5.
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