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积分
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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
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主讲教师： 第 8 章 无穷级数 级数的概念与性质级数的概念与性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法幂级数幂级数123 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法 数项级数审敛法小结数项级数审敛法小结若若则称为则称为正项级数正项级数 . nSSS21即：部分和数列即：部分和数列 nS特征：于是有：特征：于是有：正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定义定义8.3 正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界 .若若收敛收敛 , 部分和数列部分和数列有界有界, 故故从而又已知故有界从而又已知故有界.单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛,证毕证毕. “ ”“ ”判断级数的敛散性是级数研究中的最基本问题，下面介绍级数的三大审敛法：判断级数的敛散性是级数研究中的最基本问题，下面介绍级数的三大审敛法： 定理 8.2证证nnuuuS 21且且 1)1(nnv 设设,nnvu , 即部分和数列有界，即部分和数列有界，.1收敛收敛 nnu均为正项级数，和设均为正项级数，和设11nnnnvunvvv 21 审敛法审敛法1比较法比较法大收大收 小收小收小发小发 大发大发), 2, 1( nvunn 定理 8.3证证nnS 则则)()2( nSn设设,nnvu 且且 不是有界数列。不是有界数列。.1发散发散 nnv 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 11nnn 因为因为 nnn2, 从而从而nnn211而级数而级数 1112121nnnn发散（调和级数），发散（调和级数）， 由比较审敛法可知原级数发散由比较审敛法可知原级数发散 例 例 8.4解解 讨论讨论 级数级数 的敛散性，的敛散性，(其中其中 是实数是实数) 11npn pp把把p分四种情形讨论分四种情形讨论: （1）0 p，此时，此时0 发散。发散。 11npnpnpnnn lim1lim（2）, 0 p, 011lim1limnpnn发散。发散。 11npn例例8.5解解(3), 10 p,11nnp .级数发散则级数发散则 P, 1 p由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnnS131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111p,有界即有界即nS.级数收敛则级数收敛则 P(4)综上可得：综上可得： 在广义积分中，我们曾研究过在广义积分中，我们曾研究过 p积分，积分， 仔细比较体会仔细比较体会(1) (2)的内涵，是否可以这样理解：的内涵，是否可以这样理解：级数是离散的积分，积分是连续的求和呢？级数是离散的积分，积分是连续的求和呢？级数级数(1)(2) 例例3 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 1)1(1nnn解解: 因为一般项因为一般项,1)1(12nnn。收敛而级数。收敛而级数 121nn所以原级数也收敛所以原级数也收敛 【注】【注】 （1）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；（）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；（2）调和、等比和）调和、等比和P-级数是最常用的参照级数。级数是最常用的参照级数。 请记住这三个级数请记住这三个级数例例8.6解解均为正项级数，和设均为正项级数，和设11nnnnvu大收大收 小收小收小发小发 大发大发 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，那么会有什么结论呢？因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，那么会有什么结论呢？), 0(Nnkkvunn思考思考推论8.28.2设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数, 如果都是正项级数, 如果,limlvunnn 定理定理8.4 比较法比较法极限形式极限形式（更加方便）（更加方便）其中其中0 l ，则级数，则级数与同时收敛，同时发散。与同时收敛，同时发散。 定理 8.4 例例4 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性22211313121211nn 解：解： 因为因为 , 1111lim2 nnnn而级数而级数 11nn故原级数发散发散，特别的取故原级数发散发散，特别的取有什么结论呢？对正项级数有什么结论呢？对正项级数思思 考考例 例 8.7解解是同阶无穷小，若是同阶无穷小，若nnvu ,散性。则两级数具有相同的敛散性。则两级数具有相同的敛则级数则级数 1nnu收敛收敛.设设 1nnu是正项级数是正项级数, 111)(lim1llllluunnn发散不定收敛数或则发散不定收敛数或则比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. 比较比较比较审敛法的缺点比较审敛法的缺点: 必须找参考级数必须找参考级数.定理定理8.5 审敛法审敛法2比值法比值法【注】【注】 级数中含有级数中含有“阶乘阶乘”时，通常使用比值法。时，通常使用比值法。 定理 8.5)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛故级数收敛故级数 nn例例5 ),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn101n.10!1发散故级数发散故级数 nnn例例8.8解解例例6解：解：)!2()!1()!1()!22( !lim lim 1nnnnnnuunnnn)!2()!1()!1()!2)(12)(22( !lim nnnnnnnnn)1)(1()12)(22(lim nnnnn14 根据比值法可知原级数发散根据比值法可知原级数发散 判别级数 判别级数 1!)!2(nnnn 的收敛性的收敛性. 例8.9例8.9解解)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效, 改用比较审敛法比值审敛法失效, 改用比较审敛法,12)12(12nnn,112收敛级数收敛级数 nn.)12(211收敛故级数收敛故级数 nnn例例7【注】【注】判别法失效，并不意味着级数不收敛。判别法失效，并不意味着级数不收敛。 例8.10例8.10111)(limlllllunnn发散不定收敛数或则发散不定收敛数或则nnnnnnuuu1limlim由数学分析知识有结论：由数学分析知识有结论：定理定理8.6 （审敛法（审敛法3 根值法）【备注】根值法）【备注】比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。 定理 8.6 例例9 判别级数判别级数 和和 的敛散性的敛散性 122nnn 122nnn 解解: 212lim lim 2nnnnnnnu , 1 收敛。收敛。 122nnn 显然发散。而级数显然发散。而级数 122nnn 【推广】【推广】 1,1 12aaannn发散收敛，发散收敛，例 8.11例 8.11解解否否发发是是是是否否发发是是失效失效比较法比较法比较法比较法?失效失效请记住请记住下回分解！下回分解！否否设正项级数设正项级数收敛收敛, 能否推出能否推出收敛收敛 ?反之是否成立？反之是否成立？思考题思考题提示提示:由比较判敛法可知由比较判敛法可知收敛收敛 .注意注意: 反之不成立反之不成立. 例如例如,收敛收敛 ,发散发散 .解解 答答（A） 收敛，其和为零收敛，其和为零 （B） 收敛但和不一定为零（收敛但和不一定为零（C） 发散发散 （D） 可能收敛，可能发散可能收敛，可能发散)(,0lim)1(则级数设则级数设 nna 1. 选择题选择题: 12sin)2(nn 的敛散情况是（的敛散情况是（ ）（）（A）收敛）收敛 （B） 收敛且和为收敛且和为 （C） 发散发散 （D） 敛散性不定敛散性不定2 0)1(1 nnnnuu(3) 设设 则该级数（则该级数（ ）（）（A）收敛）收敛 （B）发散）发散 （C）敛散性不定）敛散性不定 （D）若）若 必收敛必收敛0lim nna（4）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 112)12(21nnn 19 . 01nn 1cosnn 1)12(1nn（5）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 131nn 121nnn 11)87()1(nnn 1)78(nn（6）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 11lnnnn 13lnnn 1121)1(nnn)1(1nnn （7）下列级数发散的是（）下列级数发散的是（ ） （A） （B） （C） （D） 122)12(sinnn
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