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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
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主讲教师： 第 8 章 无穷级数 级数的概念与性质级数的概念与性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法幂级数幂级数123 级数的内涵级数的内涵 级数的敛散级数的敛散 级数的训练级数的训练给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依称上式为称上式为无穷级数无穷级数.级数的前级数的前 n 项和项和次相加次相加, 简记为简记为则称无穷则称无穷级数发散级数发散 .称为级数的称为级数的部分和部分和.收敛收敛 ,则称则称无穷级数无穷级数并称并称 S 为为级数的和级数的和, 记作记作定义定义8.1等比级数(又称几何级数)参照级数：参照级数：时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;时时, 等比级数发散等比级数发散 . 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性;)98(0 nn（2）;)31(1000 nn（3）.)3(0 nne （1）需要记住！需要记住！讨论级数讨论级数 0)(nnex的敛散性的敛散性. 0)(nnex是公比为是公比为exq 的等比级数，则当的等比级数，则当1 ex即即ex 时，级数收敛，且时，级数收敛，且xeeexexnn 11)(0当当1 ex, 即即ex 时，级数发散。时，级数发散。解解例 例 1级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.1 1收敛级数可以逐项相加与逐项相减.在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.收敛级数可以逐项相加与逐项相减.在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.2 2收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.3 3设收敛级数设收敛级数则必有则必有;)1()1(0 nn; 3)2(0 n;)11()3(1 nnn;1sin)4(1 nnn.)21(11)5(1 nn 观察下列级数的敛散性：由于一般项不趋于观察下列级数的敛散性：由于一般项不趋于0，因而都发散。，因而都发散。 定理 8.1数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断 数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断 性质性质函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断互相关联互相关联互相关联互相关联敛散性敛散性敛散性敛散性负项级数正项级数任意级数交错级数 级数敛散级数敛散数项判断数项判断8.4.2（1）若若则称为则称为正项级数正项级数 . nSSS21即：部分和数列即：部分和数列 nS特征：于是有：特征：于是有：正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定义定义8.3可否推广呢？如何推广可否推广呢？如何推广思考思考均为正项级数，和设均为正项级数，和设11nnnnvu 审敛法审敛法1比较法比较法大收大收 小收小收小发小发 大发大发), 2, 1( nvunn 定理 8.3均为正项级数，和设均为正项级数，和设11nnnnvu大收大收 小收小收小发小发 大发大发), 0(Nnkkvunn推论8.28.2 级数级数 的敛散性，的敛散性，(其中其中 是实数是实数) 11npn pp级数级数【注】【注】 （1）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；（）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；（2）调和、等比和）调和、等比和P-级数是最常用的参照级数。级数是最常用的参照级数。 请记住这个参照级数请记住这个参照级数 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性22211313121211nn 因为因为 , 1111lim2 nnnn而级数而级数 11nn级数发散发散，级数发散发散，解解例例2设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数, 如果都是正项级数, 如果,limlvunnn 定理定理8.4 比较法比较法极限形式极限形式（更加方便）（更加方便）其中其中0 l ，则级数，则级数与敛散性相同。与敛散性相同。 定理 8.4设设 1nnu是正项级数是正项级数, 111)(lim1llllluunnn发散不定收敛数或则发散不定收敛数或则比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. 比较比较比较审敛法的缺点比较审敛法的缺点: 必须找参考级数必须找参考级数.定理定理8.5 审敛法审敛法2比值法比值法【注】【注】 级数中含有级数中含有“阶乘阶乘”时，通常使用比值法。时，通常使用比值法。 定理 8.5)!2()!1()!1()!22( !lim lim 1nnnnnnuunnnn)!2()!1()!1()!2)(12)(22( !lim nnnnnnnnn)1)(1()12)(22(lim nnnnn14 根据比值法可知原级数发散根据比值法可知原级数发散 判别级数 判别级数 1!)!2(nnnn 的收敛性的收敛性. 解解例例3111)(limlllllunnn发散不定收敛数或则发散不定收敛数或则nnnnnnuuu1limlim由数学分析知识有结论：由数学分析知识有结论：定理定理8.6 （审敛法（审敛法3 根值法）【备注】根值法）【备注】比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。 定理 8.6,1 nnu.为任意实数其中为任意实数其中nu分类：分类：,.);3 , 2 , 1(0)1( nun,.);3 , 2 , 1(0)2( nun;)3(中有限项为正中有限项为正nu;)4(中有限项为负中有限项为负nu.,)5(负项也无穷多中正项无穷多负项也无穷多中正项无穷多nu 任意项级数是指对级数任意项级数是指对级数 级数敛散级数敛散其余如何判断？其余如何判断？ 1nnu为正项级数。为正项级数。不难发现：不难发现： 考虑：考虑：可否利用级数可否利用级数 的敛散性，来考察的敛散性，来考察 的敛散性。的敛散性。 1nnu 1nnu需首先引入需首先引入绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛的概念。的概念。 对任意项级数对任意项级数若若原级数收敛若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原级则称原级收敛收敛 ,数数为条件收敛为条件收敛 .绝对收敛绝对收敛.【如】【如】 绝对收敛绝对收敛 ；则称原级数则称原级数条件收敛条件收敛 .定义定义8.4思思 考考?,)1(11是否收敛收敛是否收敛收敛nnnnuu?,)2(11是否发散发散是否发散发散nnnnuu?)3(1的敛散性如何判别的敛散性如何判别 nnu！ 结论：结论：绝对收敛绝对收敛 收敛。收敛。 定理 8.7由于由于是正项级数，故把正项级数的审敛法稍作修改，得到它的比值法和根值法。是正项级数，故把正项级数的审敛法稍作修改，得到它的比值法和根值法。 修正的比值法（根值法）修正的比值法（根值法） 设设 1nnu是任意项级数是任意项级数, nnnnnnuuulimlim1或若则有则有 定理 8.8绝对收敛。时，级数）当（111nnu发散。时，级数）当（112nnu可能收敛，可能发散。时，级数）当（113nnu的敛散性。判断级数的敛散性。判断级数 1nnnxxnnxxuunnnnnn1limlim11讨论如下：讨论如下：时，时，1 x绝对收敛；级数绝对收敛；级数 1nnnx时，时，1 x发散；级数发散；级数 1nnnx时，时，1 x，级数，级数 111nnnnnx级数发散；级数发散；时，时，1 x，级数，级数112ln)1(nnnnnnx级数条件收敛。级数条件收敛。解解例例4 交错级数：各项符号正负相间如交错级数：各项符号正负相间如的级数的级数 .其中其中 (Leibnitz 判别法判别法) 若交错级数满足条件则级数若交错级数满足条件则级数收敛收敛 , 且其和且其和 其其定义定义8.5 定理 8.91n1n2n2n1n2n(-1)(-1)(-1)nnnknnk绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛条件收敛级数条件收敛级数 1n2n(-1)nnk得敛散性。判断级数得敛散性。判断级数 1100111)1(nnnnn解解例例5否否发发是是是是否否发发是是失效失效比较法比较法比较法比较法?交错级数交错级数否否莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法失效失效失效失效请记住请记住一般级数一般级数一般级数一般级数数项敛散数项敛散全方略全方略否否发发数项敛散数项敛散全方略全方略nnulim0818lim33nnnnnnnnnnnn)1(1lim)1(lim01e 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。结论：结论：发散发散.结论：结论：发散发散.结论：结论：发散发散.例例6否否发发是是是是否否发发数项敛散数项敛散全方略全方略01)1(1limnnnnnnn11sinlim 01 nnn1sinlim 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。结论：结论：发散发散.结论：结论：发散发散.例例 7否否发发是是是是否否发发是是数项敛散数项敛散全方略全方略!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n),( n!1010)!1(11nnuunnnn101 n结论：结论：收敛收敛.结论：结论：发散发散. 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。解解例例 8否否发发是是是是否否发发是是数项敛散数项敛散全方略全方略101lim1lim)1(nnnnnn1)31()13(limlim)2(212nnnnnnnnu11)11(limlim)3(2enunnnnnn结论：结论：三个都收敛三个都收敛. 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。例例 9解解否否发发是是是是否否发发是是失效失效比较法比较法比较法比较法请记住请记住数项敛散数项敛散全方略全方略)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn,112收敛级数收敛级数 nn.)12(211收敛故级数收敛故级数 nnn. 判断级数判断级数 的敛散性。的敛散性。例例10否否发发是是是是否否发发是是失效失效比较法比较法比较法比较法?交错级数交错级数否否莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法失效失效请记住请记住一般级数一般级数一般级数一般级数数项敛散数项敛散全方略全方略显然有显然有; 01lim)1( pnn由由莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法知原知原级数收敛级数收敛。 判断级数判断级数 的敛散性。的敛散性。.)1(11)1()2(ppppnnnn解解例例11否否发发是是是是否否发发是是失效失效比较法比较法比较法比较法?交错级数交错级数否否莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法失效失效请记住请记住一般级数一般级数一般级数一般级数数项敛散数项敛散全方略全方略)1(lim!)!1(limlim11nxxnnxuunnnnnnn所以原所以原级数收敛级数收敛. 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性 .xnxn101lim解解例例12)1(2lim2!)!1(2limlim12)1(122nnnuunnnnnnnn 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.114*2limnnn所以原所以原级数发散级数发散.解解例例13否否发发是是是是否否发发是是失效失效比较法比较法比较法比较法?交错级数交错级数否否莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法失效失效失效失效请记住请记住一般级数一般级数一般级数一般级数数项敛散数项敛散全方略全方略 级数敛散级数敛散函数项判断函数项判断8.4.2（2）函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断 函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断函数项级数敛散性判断 性质性质数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断数项级数敛散性判断互相关联互相关联互相关联互相关联敛散性敛散性敛散性敛散性定理Abel相关概念敛散判断设设为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .对对若常数项级数若常数项级数敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数若常数项级数为定义在区间为定义在区间 I 上的收敛上的收敛,发散发散 ,所有所有为其为其收收 为其为其发散点发散点, 发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 .函数函数, 称称定义定义8.6形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列下面着重讨论下面着重讨论为幂级数的为幂级数的系数系数 .的情形的情形, 即即称称 函数项级数函数项级数相关概念相关概念定义定义8.7发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛 发散收敛 发散若幂级数若幂级数则对满足不等式则对满足不等式的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 , 则对满足不等式则对满足不等式 定理 8.10收敛域的结构：由阿贝尔定理知收敛域的结构：由阿贝尔定理知 0nnnxa;0)1(收收I幂级数在其中绝对收敛幂级数在其中绝对收敛收收),()2( I（3）存在）存在 幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .外发散外发散; 在在(R , R ) 称为称为收敛区间收敛区间.发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛 发散收敛 发散若的系数满足的系数满足即即1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,则则 的收敛半径为的收敛半径为的收敛半径的收敛半径 . 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散时级数收敛时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 故直接由故直接由解解例例14 若幂级数若幂级数的收敛半径的收敛半径则其和函在收敛域上则其和函在收敛域上连续连续, 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 【注】【注】逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.性 质,)1()(11 nnnnxxS, 0)0( S显然显然两边积分得两边积分得)1ln()( 0xdttSx 21111)1()( xxxxSnnn,11x )11( x解解例例15,1时又时又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxS )1ln()0()(xSxS 即即求级数求级数的和函数的和函数例例16无穷级数无穷级数 无穷级数无穷级数 1级数的内涵级数的敛散级数的内涵级数的敛散23级数的训练级数的训练（A） 收敛，其和为零收敛，其和为零 （B） 收敛但和不一定为零（收敛但和不一定为零（C） 发散发散 （D） 可能收敛，可能发散可能收敛，可能发散)(,0lim)1(则级数设则级数设 nna 12sin)2(nn 的敛散情况是（的敛散情况是（ ）（）（A）收敛）收敛 （B） 收敛且和为收敛且和为 （C） 发散发散 （D） 敛散性不定敛散性不定2 0)1(1 nnnnuu(3) 设设 则该级数（则该级数（ ）（）（A）收敛）收敛 （B）发散）发散 （C）敛散性不定）敛散性不定 （D）若）若 必收敛必收敛0lim nna(4) 下列级数收敛的是（下列级数收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D） 151nn 1511nn 15 . 01nn 151nn（5）级数）级数 的敛散情况是（的敛散情况是（ ）)0()1(11 pnnpn（A） 绝对收敛绝对收敛 （B） 条件收敛（条件收敛（C） 绝对收敛绝对收敛 （D） 条件收敛条件收敛 1 p1 p1 p1 p（6）设有级数）设有级数 ，以下命题正确的是（，以下命题正确的是（ ） 1nnu（A） 收敛收敛 收敛（收敛（B） 收敛收敛 收敛（收敛（C） 发散发散 发散发散 （D）以上结论均不对）以上结论均不对 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu（7）下列级数条件收敛的是（）下列级数条件收敛的是（ ）（）（A） （B）（）（C） （D） 1102)1(nnnn 131)1(nnn 11)21()1(nnn 113)1(nnn（8）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 112)12(21nnn 19 . 01nn 1cosnn 1)12(1nn（9）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 131nn 121nnn 11)87()1(nnn 1)78(nn（10）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 11lnnnn 13lnnn 1121)1(nnn)1(1nnn （11）下列级数发散的是（）下列级数发散的是（ ） （A） （B） （C） （D） 122)12(sinnnn 111nn 12)1(2nnn 1223cosnnnn (A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）收敛性与）收敛性与a的取值无关（的取值无关（12）设）设a为常数，则级数为常数，则级数 （ ） 12)1)sin(nnnna(A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）收敛性与）收敛性与a的取值无关（的取值无关（13）设）设a为常数，则级数为常数，则级数 （ ） 1)cos1()1(nnn （14）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） 1!2nnnnn （A） （B） （C） （D） 1!nnnnne 1!2nnnnn 1!nnnn（15）级数）级数 的敛散情况是（的敛散情况是（ ） 1ln)1(nnnn(A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）不能判定其敛散性）不能判定其敛散性（16）下列级数收敛的是（）下列级数收敛的是（ ） （A） （B） （C） （D） 12tannn 11!2)1(2nnnn 111nnn 1)21(11nn(A) 绝对收敛绝对收敛 （B）条件收敛）条件收敛 （C）发散）发散 （D）收敛性与）收敛性与K的取值无关（的取值无关（17）设常数）设常数 ，则级数，则级数 （ ）0 K 121)1(nnnnK（A）R=1 （B）R=2 （C）R=3 （D）R=4（18）设幂级数）设幂级数 在在 时发散，在时发散，在 时收敛，则该级数的收敛半径时收敛，则该级数的收敛半径R为（为（ ） 0)1(nnnxa31 x12 x1x31 R提示提示（A）R=1 （B）R=2 （C）R=3 （D）R=4（19）设幂级数）设幂级数 在在 时条件收敛，则该级数的收敛半径时条件收敛，则该级数的收敛半径R为（为（ ）31 x 0)1(nnnxa1 xR305 提示提示（A）R=0 （B）R=1 （C）R=2 （D） R（20）设）设 为一等差数列，其公差为一等差数列，其公差 ,则级数则级数 的收敛半径的收敛半径R为为( ),.,.,210naaaa0 d 0nnnxa1lim nnnaaRndadnan00)1(lim1 提示提示(21) 级数级数 的收敛域及和函数的收敛域及和函数 为（为（ ） 0)12(nnxn)(xS（A） （B）（）（C） （D）)11()1(12xxx)11()1(12 xxx)11()1(12xxx)11()1(12 xxx1lim1nnnaaR故此幂级数的收敛域为又当故此幂级数的收敛域为又当1 x时，幂级数时，幂级数 012nnxn发散发散 .1 , 1 提示提示 000212nnnnnnxnxxnxSnnxn 012设幂级数的和函数是设幂级数的和函数是)(xS,111112112220xxxxxxxxnn )11( x(22) 设设 ，则级数，则级数 的收敛半径的收敛半径R为（为（ ）2lim1 nnnaa 112nnnxa（A）R=2 （B）R=1 （C） （D）2 R21 R(23) 幂级数幂级数 的收敛区间为（的收敛区间为（ ） 112)12(3)1(nnnnnx（A） （B） （C） （D）3 , 3 )3 , 3( )
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