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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
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主讲教师： 第 8 章 无穷级数 级数的概念与性质级数的概念与性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法幂级数幂级数123 常数项级数的概念级数收敛的必要条件常数项级数的概念级数收敛的必要条件 级数收敛的基本性质级数收敛的基本性质 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设设 a0 表示表示即即内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正则圆内接正引例引例给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即称上式为称上式为无穷级数无穷级数， 其中第， 其中第 n 项项叫做级数的叫做级数的一般项或通项一般项或通项, 级数的前级数的前 n 项和项和次相加次相加, 简记为称为级数的简记为称为级数的部分和部分和.（8.1）定义定义8.1当级数收敛时当级数收敛时, 部分和是级数的和的近似值，称差值部分和是级数的和的近似值，称差值为级数的为级数的余项余项.则称无穷则称无穷级数级数（8.1）发散发散 .显然显然收敛收敛 ,则称无穷级数（则称无穷级数（8.1）也称级数收敛于和）也称级数收敛于和 S, 记作如果级数（记作如果级数（8.1）的部分和数列）的部分和数列 有极限，有极限，定义定义8.2判定级数判定级数 .)22(21861641421nn的敛散性的敛散性.由于由于 )22(21nnun)22121(21nn 所以所以 )22(21861641421nnSn)22121()8161()6141()4121(21nn)22121(21n例例8.1解解而而 nnnSlimlim)22121(21n41 所以该级数收敛，其和为所以该级数收敛，其和为 。41（1）判定级数）判定级数.)12()12(1751531311nn（2）判定级数）判定级数 的敛散性。的敛散性。 11lnnnn的敛散性。的敛散性。讨论等比级数(又称几何级数)( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 1) 若若则则 ，级数收敛级数收敛 ；则则 则部分和级数发散则部分和级数发散 .例例8.2解解2). 若若因此级数发散因此级数发散 ;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数从而为偶数从而综合综合 1)、2)可知可知,时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;时时, 等比级数发散等比级数发散 .则则级数成为级数成为不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性;)98(0 nn（2）;)31(1000 nn（3）.)3(0 nne （1）讨论级数讨论级数 0)(nnex的敛散性的敛散性. 0)(nnex是公比为是公比为exq 的等比级数，则当的等比级数，则当1 ex即即ex 时，级数收敛，且时，级数收敛，且xeeexexnn 11)(0当当1 ex, 即即ex 时，级数发散。时，级数发散。例例8.3解解设级数设级数则必有则必有【注注】该定理的逆否命题常用来作为级数发散的该定理的逆否命题常用来作为级数发散的0lim nnu，则级数，则级数 1nnu发散发散”。 判别方法，即判别方法，即“若收敛，若收敛， 定理 8.1证证;)1()1(0 nn; 3)2(0 n;)11()3(1 nnn;1sin)4(1 nnn.)21(11)5(1 nn观察下列级数的敛散性：观察下列级数的敛散性： 由于一般项不趋于由于一般项不趋于0，因而都发散。，因而都发散。 【注】【注】提醒读者特别注意，不要误认为提醒读者特别注意，不要误认为 “若若 ，则级数，则级数 收敛收敛”。事实上，当。事实上，当 时，级数可能收敛也可能发散。例如时，级数可能收敛也可能发散。例如 0lim nnu 1nnu0lim nnu,211 nnnun, 0,11 nnnun, 0收敛发散收敛发散 设有两个收敛级数k 为常数，为常数， 则：则： （1）级数）级数也收敛也收敛 ,其和为其和为 c S .（2）级数）级数也收敛也收敛, 其和为其和为以上两个性质表明，收敛级数可逐项数乘、相加或减以上两个性质表明，收敛级数可逐项数乘、相加或减 .性质8.1求级数求级数 的和的和 1)21)1(5(nnnn 121121211nn由于等比级数由于等比级数 ，11)1(15)1(5nnnnnn5)111.3121211(lim5nnn故有故有 11121)1(15)21)1(5(nnnnnnnnn1+56且且例例8.4解解在级数前面加上或去掉有限项在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性不会影响级数的敛散性. 将级数将级数的前的前 m 项去掉后项去掉后 得到新级数特别地，当级数得到新级数特别地，当级数 由于级数的前由于级数的前m项之和是个定常数，不影响级数的敛散性，所以级数同敛散。与时，项之和是个定常数，不影响级数的敛散性，所以级数同敛散。与时，性质8.2证证若级数收敛，则在级数的相邻间任意加括弧后所成的新级数仍收敛，且其和不变。若级数收敛，则在级数的相邻间任意加括弧后所成的新级数仍收敛，且其和不变。 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但但发散发散.例如例如，性质8.3 若级数若级数 与与 均发散，则级数均发散，则级数 1nna 1nnb 1)(nnnba是否发散？是否发散？ 若级数若级数 收敛，而级数收敛，而级数 发散，则级数发散，则级数 1nna 1nnb 1)(nnnba是否发散？是否发散？ 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.推论8.
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