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积分
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应用
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刘春凤
- 资源描述：
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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主讲教师： 有理函数的积分有理函数的积分 1 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分2 简单无理函数的积分简单无理函数的积分3有理函数有理函数 形如形如 mmmnnnbxbxbaxaxaxQxPxR110110)()()(即两个多项式的商表示的函数称为有理函数.称为有理函数.假定分子与分母之间没有公因式，即两个多项式的商表示的函数称为有理函数.称为有理函数.假定分子与分母之间没有公因式，,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式. .（1）分母中若有因式 ，则分解后为（1）分母中若有因式 ，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理真分式化为部分分式之和的一般规律：有理真分式化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA 1. 化有理真分式为部分分式1. 化有理真分式为部分分式（2）若分母中含有因式 ，其中（2）若分母中含有因式 ，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为, 042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常数都是常数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 上述结论必须记住，这是设定部分和形式的依据.上述结论必须记住，这是设定部分和形式的依据.将有理真分式将有理真分式 分解成部分分式的方法：分解成部分分式的方法： )(xR（1）把分母分解成一次因式和二次质因式的乘积（）把分母分解成一次因式和二次质因式的乘积（2）正确写出）正确写出 的全部部分分式的形式的全部部分分式的形式)(xR（3）确定）确定 的每一个部分分式中的系数的每一个部分分式中的系数 )(xR6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx设将分解成部分分式的和.设将分解成部分分式的和.6532 xxx例例1解解2. 有理分式函数积分的类型有理分式函数积分的类型 axdx）（）（ 1 naxdx)()2( cbxaxdx2)3( cbxaxdxnmx2)(4 ）（）（基本型：基本型： axdxCaxaxdx )ln()1()( naxdxnCnaxaxaxdaxdxnnn 1)()()()(1求求求求例例2解解例例3解解 852xxdx 852xxdxdxxxdx2222)752(11)72()27()25( )752()752(11722xdxCx752arctan72求求例例4解解 dxxxx122求原式 求原式 dxxxx123)12(212dxxxdxxxx112311221222222)23()21()21(231)1(21xxdxxxxdCxxx2321arctan3223|1|ln212Cxxx312arctan3|1|ln212例例5解解dxxxx 2332求求dxxdxx2112原式 原式 C2ln1ln2xxC2)1(ln2xx例例6解解 dxxxxx)2)(1(27求求21)2)(1(27xCxBxAxxxx设 右端通分，得设 右端通分，得 )2)(1()1()2()2)(1()2)(1(27xxxxCxxBxxxAxxxx得恒等式得恒等式 )1()2()2)(1(27 xCxxBxxxAx比较两边系数，得方程组：比较两边系数，得方程组： 22720ACBACBA例例7解解解之，得解之，得 2, 3, 1 CBA2213122723xxxxxxx则则 所以所以2213122723xdxxdxdxxdxxxxxCxxx |2|ln2|1|ln3|lnCxxx32)1()2(ln dxxxxx2541232求求)2()1(254223xxxxx因为 所以因为 所以 21)1()2()1(1222xCxBxAxxx右端通分，得恒等式，右端通分，得恒等式， 22)1()2)(1()2(1xCxxBxAx解之，得解之，得 5, 4, 2 CBAdxxdxxdxxdxxxxx2514)1(225412232Cxxx|2|ln5|1|ln412故故 例例8解解求求 dxx 13311)1)(1(313223xxCBxxAxxxx通分得恒等式：通分得恒等式： )1)()1(32xCBxxxA比较同次项系数，可得：比较同次项系数，可得：2, 1, 1 CBA故故 dxx 133dxxxxxdx1212例例9解解 dxxxxx13)12(211ln22222)23()21()21(231)1(211lnxxddxxxxxxC2321arctan23123)1ln(211ln2xxxxC312arctan311ln2xxxx1.常见的题型有常见的题型有 dxxxR)cos,(sinxdxxmncossindxxxxRsin1)cos,(sindxxxxR cos1)cos,(sin12342cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx2sin2coscos22xxx2sec2tan122xx,2tan12tan122xx令令2tanxu ,11cos,12sin222uuxuux则则duudx212 dxxxR)cos,(sin duuuuuuR22221211,12万能代换公式万能代换公式 dxxxR)cos,(sin2.类型类型1 求求 dxx cos451用万能代换法。令用万能代换法。令 2tanxu ,11cos22uuxduudx212，则，则 dxxcos451duuuu22212)1(1451 duu 292C3arctan32uC2tan31arctan32x例例10解解求求 )1(cotsinxxdx用万能代换法。令用万能代换法。令 2tanxu ，则，则 xxxxcossin1)1(cotsin1222221211112cossinuuuuuuuxx duuuuu22212112duudx212原式原式 duuu2212)1(2)1(122 udu例例11解解Cuu2121ln2212Cxx212tan212tanln213.类型类型2 xdxxmncossin思路：当思路：当 nm ,至少有一个奇数时，直接凑微分求解求至少有一个奇数时，直接凑微分求解求 xxxdcossin23原式原式 xxxcosdcos)cos1(22 xxxcosd)cos(cos42Cxx5cos3cos53例例12解解思路：当思路：当 nm ,为偶时，用倍角或半角公式也可积分为偶时，用倍角或半角公式也可积分 求求 xxxdcossin22原式原式 xxd)2(sin412 ）（）（ xx4d24cos1161Cxx4sin32181求积分求积分 xdxx52cossin)1( xdxx44cossin)2(例例13解解4. 类型类型3 dxxxxR sin1)cos,(sindxxxxR cos1)cos,(sin思路思路 该类型的一般做法是把分母化成该类型的一般做法是把分母化成 x2sin或或 x2cos求求 dxxcos11原式原式 dxxxx)cos1)(cos1(cos1 dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxxCxxsin1cot例例14解解讨论类型讨论类型),(nbaxxR 解决方法解决方法作代换去根号.作代换去根号.令令求求 411xdx令令 tx41，则，则 14 txdttdx34dtttdtttxdx11141411334故故 tdtdttt14)1(42C1ln42131423ttttC)11ln(414)1(2)1(34344243xxxx例例15解解求求 )(34xxxdx被积函数中出现了三个根式被积函数中出现了三个根式 43,xxx为了同时去掉根号，设为了同时去掉根号，设 tx 12，则，则 dttdxtx111212,所以原式所以原式 dttttt)(1246311dtttdttt)111(1122224Carctan121243tttCarctan1212412124xxx例例16解解简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）（作代换去根号）（作代换去根号）123求下列不定积分求下列不定积分 12712xxdx）（）（dxxxxx 34512 ）（）（dxxx 4213 ）（）（dxxxx )1()1(1422）（）（dxxxx 116532）（）（dxxx 4463）（）（ dxxxxxx22237232）（）
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