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35
积分
- 关 键 词:
-
应用
微积分
上册
教材
教学
课件
刘春凤
- 资源描述:
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介:
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第 6 章 定积分及其应用,定积分的概念与性质,定积分的计算,定积分的应用,6.3定积分的应用,平面图形的面积,1,旋转体的体积,2,平行截面已知的立体的体积,3,平面曲线的弧长,4,1. 直角坐标系下平面图形的面积,如下图,如果,则曲线,与直线,及,轴所围成的平面,图形的面积,的,为高,微元是,如果,在,上不是非负的,那么它的面积,的微元应是以,为,底的矩形面积,于是,不论,是否为非负的,即,总是,由上述公式得,也可先画出,与直线,及,轴所围成,求由曲线,与直线,及,轴所围成的平面图形的面积,的平面图形,则由定积分的几何意义知,解,求由两条曲线,与两条直线,所围成的平面图形的面积,如果,任取一子区间,其上的面积用以,为高,为底的矩形,面积近似代替,即面积微元,如下图所示,如果,在,负的。则在,上的面积,上不是非,近似值应是,即面积微元,因此不论什么情况,总有,由上述公式知,解,根据正弦、余弦函数的性质知当,时,当,时,所以,求抛物线,与直线,图形的面积,所围成的,作出它的草图,如下图所示,并求抛物线与直线,的交点,即解方程组,的交点,如果选择 y 作积分变量,任取一个子区间,则在,上的面积微元,于是,解,如果选择,求由曲线,及 x 轴所围成的平面,图形的面积,作出它的草图,如下图所示,如选择 x 为积分变量,则,作积分变量,则,取后一个表达式计算比较简单,解,求平面图形面积的步骤,A,B,C,D,E,画图定出图形所在范围,求围成平面图形的各条曲线的交点坐标,确定关于 x 积分还是关于 y积分或需分成 几部分,然后定出积分限,写出面积的积分表达式,求出积分值(面积,因为图形关于,代入上述积分式,轴,求椭圆,的面积(下图所示,其中,轴对称,所以椭圆面积,是它在第一象限部分的面积的四倍。即,把,由定积分的换元公式得,中,解,处的极径,用,2. 极坐标系下平面图形的面积,任取一个子区间,为半径,以,为圆心,的小扇形的面积作为面积微元,如下图中斜线部分的面积。即,利用对称性知,解,所围成的曲边梯形绕,轴旋,及,具体解法如下,设旋转体是由曲线,与直线,轴,转而成.用过点,且垂直于,轴的平面截该旋转体所得的截面是半,径为,的圆,则截面面积为,于是旋转体的体积为,类似地可以求得,由曲线,与直线,及,轴所围成的曲边梯形绕,轴旋转而成的旋转体,的体积为,求由椭圆,分别绕,轴和,而成的旋转体的体积,轴旋转,绕,轴时,由上述公式并利用对称性,得,绕,轴时,由上述公式并利用对称性,得,当,时,则得球的体积为,解,的高为,的正抛物线弓形绕其底边,底长为,旋转,求由此得到的旋转体体积,以抛物线弓形的底边为,轴,且以底边上的中垂线,轴。则抛物线,为,弓形的顶点C的坐标为,底边的两个端点的坐标分别为,设在该坐标系下抛物线的方程为,因此抛物线过点A、B、C,由此,解得,即抛物线方程为,解,于是抛物线弓形绕其底边旋转所得到的旋转体体积为,求,和直线 所围成的平面图形绕,x轴旋转而成的旋转体的体积,先求出两曲线的交点:解方程组,得交点,减去由曲边三角形OPA绕 x 轴,该旋转体的体积是等于由直角三角形OPA绕 x 轴旋转,而成的圆锥体的体积,旋转而成的旋转体的体积,即,解,所以,代入公式得,是,轴)的截面所截,设一物体,它被垂直于直线(设为,的连续函数,的面积,与,之间,则此物体的体积为,事实上,由元素法,从而,且此物体的位置在,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,设函数 在,上具有一阶连续的导数,在,中任取子区间,其上一段弧,MN的长度为,由下图知,它可以用曲线在点,处的切线上,相应该子区间的小段MT的长度近似,由微分的几何意义,可知弧长的微元,所以,为,若曲线是由参数方程,则弧长的微元为,则,若曲线由极坐标方程,弧长微元为,则,表示,表示,求悬链线,从,到,的一段弧
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