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积分
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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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主讲教师： 第 6 章 定积分及其应用定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的计算定积分的计算定积分的应用定积分的应用平面图形的面积平面图形的面积1旋转体的体积旋转体的体积 2平行截面已知的立体的体积平行截面已知的立体的体积3平面曲线的弧长平面曲线的弧长41. 直角坐标系下平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积0)( xf)(xfy 如下图，如果，则曲线与直线如下图，如果，则曲线与直线bxax ,x及轴所围成的平面 图形的面积的为高、及轴所围成的平面 图形的面积的为高、A微元是 微元是 dxxfdA)( )(xf ba,A如果在上不是非负的，那么它的面积如果在上不是非负的，那么它的面积)(xfdx的微元应是以为 底的矩形面积的微元应是以为 底的矩形面积dxxfdA)( badxxfA)()(xf于是，不论是否为非负的，即于是，不论是否为非负的，即)(xfy abxxx xyo总是总是 由上述公式得由上述公式得dxxA 213417)(203013 dxxdxx3xy 2, 1 xx也可先画出与直线及轴所围成也可先画出与直线及轴所围成3xy 2, 1 xxx求由曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。求由曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。x的平面图形，则由定积分的几何意义知 的平面图形，则由定积分的几何意义知 417)(203013 dxxdxxA例6.29例6.29解解求由两条曲线与两条直线所围成的平面图形的面积。求由两条曲线与两条直线所围成的平面图形的面积。如果如果 ,),()(baxxgxf 任取一子区间任取一子区间 ,dxxx 其上的面积用以其上的面积用以 )()(xgxf 为高，为高， dx为底的矩形面积近似代替，即面积微元为底的矩形面积近似代替，即面积微元 dA，如下图所示，如下图所示 如果在负的。则在上的面积上不是非近似值应是如果在负的。则在上的面积上不是非近似值应是xyo)(xgy )(xfy abxx dxxgxfdA)()( ,ba,xxx )()(xgxf dxxgxf)()( 即面积微元即面积微元 因此不论什么情况，总有因此不论什么情况，总有 dxxgxfAba )()( 由上述公式知由上述公式知 dxxxA 20cossin dxxgxfdA)()( 求求2, 0,cos,sin xxxyxy平面图形的面积。所围成的平面图形的面积。所围成的例6.30例6.30解解根据正弦、余弦函数的性质知当根据正弦、余弦函数的性质知当 4, 0 x时，时， xxcossin ；当；当2,4 x时， 时， xxcossin 所以所以 40)cos(sin dxxxAdxxx 24)cos(sin2440sincossincosxxxx)12(2xy22 4 xy 求抛物线与直线图形的面积。 所围成的 求抛物线与直线图形的面积。 所围成的 作出它的草图作出它的草图,如下图所示如下图所示,并求抛物线与直线的交点，即解方程组并求抛物线与直线的交点，即解方程组422xyxy的交点的交点 。4 , 2 y,dyyy 如果选择 如果选择 y 作积分变量，,任取一个子区间，则在上的面积微元 作积分变量，,任取一个子区间，则在上的面积微元 dyyydyxxdA2)4()(212xy22 4 xy于是于是 182)4(242 dyyyA,dyyy )4 , 8(),2, 2(BA 例6.31例6.31解解如果选择 求由曲线如果选择 求由曲线2,ln xxy及及 x 轴所围成的平面图形的面积。轴所围成的平面图形的面积。 作出它的草图作出它的草图,如下图所示如下图所示2xyOxyln 如选择如选择 x 为积分变量，为积分变量，2 , 1 x，则，则 21ln xdxAy2ln, 0 y作积分变量，则作积分变量，则dyeAy 2ln0)2(12ln2)2()2(2ln02ln0 yyeydyeA取后一个表达式计算比较简单。取后一个表达式计算比较简单。例6.32例6.32解解求平面图形面积的步骤：求平面图形面积的步骤：ABCDE 画图定出图形所在范围；画图定出图形所在范围； 求围成平面图形的各条曲线的交点坐标；确定关于求围成平面图形的各条曲线的交点坐标；确定关于 x 积分还是关于积分还是关于 y积分或需分成几部分，然后定出积分限；积分或需分成几部分，然后定出积分限； 写出面积的积分表达式；求出积分值（面积）。写出面积的积分表达式；求出积分值（面积）。 因为图形关于代入上述积分式轴、 因为图形关于代入上述积分式轴、tbytaxsin,cos . 0, 0ba 求椭圆的面积（下图所示）其中 求椭圆的面积（下图所示）其中xy轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍。即轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍。即 aydxA04Oxyabtbytaxsin,cos 把由定积分的换元公式得 把由定积分的换元公式得 adttatbydxA002)sin(sin44 中，中，例6.33例6.33解解tdtab 202sin4 dttab 202)cos1(4 202)cos2(4 tdtab202sincos2124 tttabab 处的极径用处的极径用2. 极坐标系下平面图形的面积2. 极坐标系下平面图形的面积由曲线及两条半直线成的图形称为曲边扇形。所围由曲线及两条半直线成的图形称为曲边扇形。所围任取一个子区间任取一个子区间 d , )( r为半径，以为半径，以 d为圆心的小扇形的面积作为面积微元，如下图中斜线部分的面积。即为圆心的小扇形的面积作为面积微元，如下图中斜线部分的面积。即 d xo d )( rdrdA2)(21 drA2)(21 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的面积所围平面图形的面积)0( a. . dadA22)cos1(21利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0例6.34例6.34解解所围成的曲边梯形绕轴旋 及所围成的曲边梯形绕轴旋 及具体解法如下：具体解法如下：)(xfy bxax ,xx设旋转体是由曲线与直线轴转而成设旋转体是由曲线与直线轴转而成.用过点用过点 ),(baxx 且垂直于且垂直于x轴的平面截该旋转体所得的截面是半 径为轴的平面截该旋转体所得的截面是半 径为| )(|xf的圆，则截面面积为 的圆，则截面面积为 22)(| )(|)(xfxfxAxdxx xyoxyo)(xfy 于是旋转体的体积为于是旋转体的体积为 badxxfV2)( 类似地可以求得，由曲线类似地可以求得，由曲线 )(yx dycy ,yy与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为 dcdyyV2)( xyoxyo)(yx cd12222byaxxy 求由椭圆分别绕轴和而成的旋转体的体积。 轴旋转 求由椭圆分别绕轴和而成的旋转体的体积。 轴旋转 绕 绕x轴时，由上述公式并利用对称性，得 轴时，由上述公式并利用对称性，得 aadxaxbdxyV002222122234ab 绕绕y轴时，由上述公式并利用对称性，得 轴时，由上述公式并利用对称性，得 bdyxV022 dybyab 220212 ba234ba 当时，则得球的体积为当时，则得球的体积为334aV例6.35例6.35解解的高为的正抛物线弓形绕其底边的高为的正抛物线弓形绕其底边a2h 底长为旋转，求由此得到的旋转体体积。 底长为旋转，求由此得到的旋转体体积。 xy 以抛物线弓形的底边为轴,且以底边上的中垂线轴。则抛物线 为弓形的顶点 以抛物线弓形的底边为轴,且以底边上的中垂线轴。则抛物线 为弓形的顶点C的坐标为 ,的坐标为 ,)0 ,(),0 ,(aBaA 底边的两个端点的坐标分别为设在该坐标系下抛物线的方程为 底边的两个端点的坐标分别为设在该坐标系下抛物线的方程为 2120bxbxby因此抛物线过点因此抛物线过点A、B、C，由此，由此 , 0,12 bhb20ahb 解得：。即抛物线方程为 解得：。即抛物线方程为 )1(22axhyAOBy x2ah ), 0(h例6.36例6.36解解于是抛物线弓形绕其底边旋转所得到的旋转体体积为于是抛物线弓形绕其底边旋转所得到的旋转体体积为 aaaadxaxhdxyV22222)1(dxaxaxha)12(2222202 axaxaxh0234523252 .15162ah 求 求2xy 和直线和直线 所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。轴旋转而成的旋转体的体积。 先求出两曲线的交点：解方程组先求出两曲线的交点：解方程组 ,2xyxy得交点得交点 ).1 , 1( ),0 , 0(PO1V减去由曲边三角形减去由曲边三角形OPA绕 绕 x 轴该旋转体的体积是等于由直角三角形轴该旋转体的体积是等于由直角三角形OPA绕绕 x 轴旋转而成的圆锥体的体积旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的圆锥体的体积旋转而成的旋转体的体积 ，21VVV xyo1APBxy 2V即即例6.37例6.37解解所以所以104210dxxdxxV152 代入公式得代入公式得10410221.,dxxVdxxV是轴）的截面所截设一物体，它被垂直于直线（设为是轴）的截面所截设一物体，它被垂直于直线（设为)(xSx的连续函数， 的面积的连续函数， 的面积)(ba dxxSdv)( xax bx 与与之间， 则此物体的体积为之间， 则此物体的体积为xoabxoabxdxx 事实上，由元素法，从而事实上，由元素法，从而.)( badxxSV.)( badxxS且此物体的位置在且此物体的位置在 一平面经过半径为 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.，计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 取坐标系如图底圆方程为取坐标系如图底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形 RR xyo x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 例6.38例6.38解解,ba,ba,dxxx 设函数 在上具有一阶连续的导数,在中任取子区间,其上一段弧 设函数 在上具有一阶连续的导数,在中任取子区间,其上一段弧 l )(,(xfxMMN的长度为由下图知，它可以用曲线在点处的切线上相应该子区间的小段MT的长度近似。MN的长度为由下图知，它可以用曲线在点处的切线上相应该子区间的小段MT的长度近似。 由微分的几何意义由微分的几何意义,可知弧长的微元可知弧长的微元xoyxoyabababxdxx dy dydxdxdydydxdl222)(1)()()(xfy 所以所以 .)(12dxylba 为为若曲线是由参数方程若曲线是由参数方程)( , )(, )(ttytx则弧长的微元为则弧长的微元为 2222)()()()(dttdttdydxdl.)()(22dttt则则 dtttl22)()(若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程21),( rr弧长微元为弧长微元为,)()(22drrdl则则 drrl 2122)()(表示，表示，表示，表示，)0 2 aeeayaxax（）（）（bx bx 求悬链线从到的一段弧的长度。 求悬链线从到的一段弧的长度。 因为 因为）（）（axaxeey 21代入公式得代入公式得 dxylbb 2)(1dxeebbaxax )2(41122dxeeaxaxb)(0 ).(ababeea 例6.39例6.39解解 求摆线求摆线 )0( ),cos1(),sin(atayttax第一拱的弧长第一拱的弧长 .20 t 因为因为 ,sin)(),cos1()(tatytatx代入公式得代入公式得 dtttal 2022sincos1dtta 20cos22dttadtta20202sin22sin2a8 例6.40例6.40解解0 aar 0 2 求阿基米德螺线上从变到的一段弧的长度。 因为 求阿基米德螺线上从变到的一段弧的长度。 因为ar )( 代入公式得 代入公式得 daal 2022 da 2021 2022)1ln(2112 a.)412ln(214122a例6.41例6.41解解 旋转体的体积 旋转体的体积2 2 平面图形的面积 平面图形的面积3 3 1 1 badxxfA)(drA2)(21 badxxfV2)( 平面曲线的弧长 平面曲线的弧长4 4 平行截面已知的立体的体积 平行截面已知的立体的体积3 3 3 3.)( badxxSV .)(12dxylba dtttl22)()(drrl 2122)()(求曲线求曲线4 xy，1 y，0 x所围成的图形绕所围成的图形绕y轴 旋转构成旋转体的体积.轴 旋转构成旋转体的体积. 问问 题题14yxy交点交点),1 ,4(立体体积:立体体积:dyxVy 12dyy 1216116y .16 xyo1 y解解 答答一、 选择题：1、曲线一、 选择题：1、曲线xyln 与直线与直线ex1 ，ex 及及0 y所围成的区域的面积所围成的区域的面积 S（） ；（A）（） ；（A）)11(2e ； （B）； （B）ee1 ； （C）； （C）ee1 ； （D）； （D）11 e.2、曲线.2、曲线 sin2 r与与 2cos2 r所围图形公共部分的面积所围图形公共部分的面积 S（） ；（A）（） ；（A）23112；（B）；（B）41324；（C）；（C）21312；（D）；（D）2316. .3、曲线3、曲线,cos3 ax 3sinay 所围图形的面积所围图形的面积 S（） ；（） ；2323)(aA ；283)(aB ；221)(aC；2161)(aD . .4、由球面4、由球面9222 zyx与旋转锥面与旋转锥面2228zyx 之 间包含之 间包含z轴的部分的体积轴的部分的体积 V( )； （A）( )； （A） 144； （B）； （B） 36； （C）； （C） 72； （D）； （D）
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