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积分
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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
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主讲教师： 第 6 章 定积分及其应用定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的计算定积分的计算定积分的应用定积分的应用定积分的分部积分法定积分的分部积分法变限函数及其导数变限函数及其导数1微积分基本公式微积分基本公式 2定积分的换元积分法定积分的换元积分法34定积分常用结论汇总定积分常用结论汇总5是是 的一个函数，称为积分上限函数或变上限积分，的一个函数，称为积分上限函数或变上限积分，)(tf,ba,bax )(tf xadttf)(xbxadttfxxa ,)()(在闭区间上连续，则在部分区间上的定积分设函数记作在闭区间上连续，则在部分区间上的定积分设函数记作)(x 即即函数的表示方法拓广了，可用变上限积分表达函数。函数的表示方法拓广了，可用变上限积分表达函数。,xa定义定义6.2【注】【注】 xtdtex0)().1( ),0( 0)0(00 dtet已知，求已知，求edtet11)1( 10 例6.6例6.6解解)(tf,ba,bax 若函数在区间上连续，则变上限积分 若函数在区间上连续，则变上限积分 xadttfx)()()(tf)(xf在区间且它的导数等于被积函数在上限处的函数值即在区间且它的导数等于被积函数在上限处的函数值即,ba) )()()(bxaxfdttfxxa （， （，上可导上可导 ,并并 定理 6.1给自变量给自变量x以增量 ，以增量 ，)()(lim0xfxxxx 按导数定义，只须证 按导数定义，只须证,baxx )(x )(x ,由 的定义得对应的函数的增量即,由 的定义得对应的函数的增量即 xaxxadttfdttfxxxx xxxxaxxxxadttfdttfdttfdttf根据积分中值定理知道在根据积分中值定理知道在 与与xx x之间至少存在之间至少存在 ，使 ，使 xfdttfxxxx 成立。 即可。成立。 即可。)(x 证证一点一点)(tf,ba0 x)()(,xffx xffxxxxx limlim0 xfdttfxa 又因为在区间上连续，所以，当时, 有，从而有故又因为在区间上连续，所以，当时, 有，从而有故该公式有时也被称为微积分第一基本公式。该公式有时也被称为微积分第一基本公式。)(tf （原函数存在定理）如果函数 （原函数存在定理）如果函数,ba,bax xadttfx)()(在区间上连续，则函数在区间上连续，则函数)(xf,ba就是在区间上的一个原函数。就是在区间上的一个原函数。（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理的重要意义：定理的重要意义： 定理 6.2 xttdtex0sin)(2).(x xetdtexxxtsinsin)(220 已知，求根据定理可得 已知，求根据定理可得)(tf,ba,bax )(tf,bx,)( bxdttf)()()(xfdttfdttfxbbx如果函数在闭区间上连续，则在部分区间上的定积分分下限函数或变下限积分，且称为积如果函数在闭区间上连续，则在部分区间上的定积分分下限函数或变下限积分，且称为积例6.7例6.7解解)(tf)(),(),(xgxbxa)()( )()(xbfxbdttfxba )()( )()(xafxadttfbxa )()( )()( )()()(xafxaxbfxbdttfxbxa 若连续，公式可以推广为若连续，公式可以推广为（2）（3）（2）（3）可导，变限函数的求导可导，变限函数的求导（1）（1）求导得求导得x0cosxyeyyexycos0cos00xyttdtdte)(xyy 求由方程 所确定的函数的导数。故 所给方程两边对 求由方程 所确定的函数的导数。故 所给方程两边对 321xxtdtxF .xF xxxxtdtxFxx211311122332 已知，求 根据式(3)可得 已知，求 根据式(3)可得例6.8例6.8解解例6.9例6.9解解极限是 求极限 极限是 求极限 .tanlim300xtdttxx 0x0, 0tan30 xtdttx分析：分析：注意到时，所以这个注意到时，所以这个00型不定式，含有 变限函数的型不定式，含有 变限函数的00 型不定式通常使用罗必达法则求极限。 型不定式通常使用罗必达法则求极限。 300tanlimxtdttxx 313tanlim)()tan(lim20300 xxxxtdttxxx例6.10例6.10解解121lnlnttuduuyuduuxdxdydxdydtdxdtdyttttlnln2 t 设 ，求。= 设 ，求。= xdttx0)1( 1 xx 0 x, 1 x 求函数的极值。，令解得 求函数的极值。，令解得 因为因为 , 1 x, 01)1( 所以函数在所以函数在1 x极小值， 为极小值， 为 10)1(1dtt21 处取得处取得例6.11例6.11解解例6.12例6.12解解 xadttfx)()()()(xfx 积分上限函数的导数 积分上限函数的导数2 2 积分上限函数的定义 积分上限函数的定义3 3 1 1设设)(xf在在,ba上连续，则上连续，则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的函数还是的函数还是t与与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？ 问问 题题的函数都是的函数都是)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx dttfxa )(duufbx )(x与与解解 答答一、 填空题： 1、 一、 填空题： 1、 baxdxedxd22=_ .2、=_ .2、 xadxxfdxd)(_ . 3、_ . 3、 223)1ln(xdtttdxd_ . 4、_ . 4、 20)(dxxf_，其中_，其中21,210,)(2xxxxxf . . 5、设5、设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin， ， （1） 、当（1） 、当nm 时， 时， 1I=_ ,=_ ,2I=_ ， （2） 、当=_ ， （2） 、当nm 时，时，1I=_ ,=_ ,2I=_ . 6、设=_ . 6、设,sincos nxdxmx （1） 、当 （1） 、当nm 时，时，3I=_ , （2） 、当=_ , （2） 、当nm 时，时，3I=_ . 7、=_ . 7、 94)1(dxxx_. 8、_. 8、 33121xdx_ . 9、_ . 9、 xdttxx020coslim_ . _ . 二、 求导数： 1、二、 求导数： 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确定，求所确定，求dxdy ； 2、 ； 2、 设设12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t,求,求22dxyd ； ； 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4、设 2031)(xxdxxg，求)1(g .习题答案：习题答案：一、1、0； 2、一、1、0； 2、)()(afxf ； 3、； 3、)1ln(23 xx ； 4、 ； 4、65； 5、(1)； 5、(1) ,； (2)0,0； 7、； (2)0,0； 7、;6145 8、 8、6 ； 9、1. 二、1、； 9、1. 二、1、1sincos xx； 2、； 2、tt ln212 ； 3、； 3、)sincos()cos(sin2xxx ； 4、； 4、2 . . 如果函数 如果函数)()()(aFbFdxxfba )(xf,ba)(xF在区间上连续，是在区间上连续，是)(xf,ba在区间上任一原函数，那么在区间上任一原函数，那么 xadttfx)()()(xf 由定理6.2知道，是在 由定理6.2知道，是在,ba上的一个原函数，又由题设知，上的一个原函数，又由题设知，)(xF也是也是)(xf,ba在区间上的一个原函数，由原函数的性在区间上的一个原函数，由原函数的性 质知同一函数的两个不同原函数相差一个常数质知同一函数的两个不同原函数相差一个常数 定理 6.3证证bxaCdttfxFxa ,)()(把把ax 代入上式中， 代入上式中， 0)()( aadttfa因为,定出常数因为,定出常数)(aFC ，于是得 ，于是得 )()()(aFdttfxFxa 令代入上式中，移项，得再把积分变量令代入上式中，移项，得再把积分变量 t 换成换成 x，得，得 微积分基本公式微积分基本公式牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式即即 bx ).()()(aFbFdxtfba ).()()(aFbFdxxfba （6.2）（6.1）（6.2）（6.1）这样(6.1)式就可写成如下形式：这样(6.1)式就可写成如下形式：)()(aFbF baxF)()()()()(aFbFxFdxxfbaba 1）为了书写方便，可记作或1）为了书写方便，可记作或baxF)(2）该公式充分表达了定积分与原函数之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。2）该公式充分表达了定积分与原函数之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。.11312 dxx211x 3, 1 xarctan211x 31312arctan11 xdxx 计算 被积函数在上连续，是由牛顿 计算 被积函数在上连续，是由牛顿莱布尼兹公式，得的一个原函数，莱布尼兹公式，得的一个原函数，127)1arctan(3arctan 例6.13例6.13解解.10 dxxx23xxx 1 , 02552xxx 10dxxx 计算 被积函数在上连续，是由牛顿 计算 被积函数在上连续，是由牛顿莱布尼兹公式，得的一个原函数，莱布尼兹公式，得的一个原函数，52521025 x例6.14例6.14解解.)1(21 dxeexx 21)1(dxeexxeexx2121ln 计算 把定积分利用性质6.1分成三项之和，然后 每一项用牛顿 计算 把定积分利用性质6.1分成三项之和，然后 每一项用牛顿莱布尼兹公式进行计算.莱布尼兹公式进行计算.2121211dxedxedxxx22lne例6.15例6.15解解.sin102 dxx,cossin12xx xcosxcos2, 0 ,2002cossin1dxxdxx2sinsin220xx计算 计算 分析分析 化简被积函数被积函数中出现了，由于在两区间和上符号不同，必须分区间利用可加性来计算。 化简被积函数被积函数中出现了，由于在两区间和上符号不同，必须分区间利用可加性来计算。202)cos(cosdxxxdx例6.16例6.16解解 31,110,3xxxxf31104343xx411 .30 dxxf 设函数，计算 利用定积分对区间的可加性，得 设函数，计算 利用定积分对区间的可加性，得 30311031dxdxxdxxf例6.17例6.17解解导数上单值且有连续 上变化，且导数上单值且有连续 上变化，且, , )(xf,ba 若函数在区间上连续,函数 若函数在区间上连续,函数)(tx , 在区间在区间)(t 当当t t在（或）上变化时， 在（或）上变化时， )(tx 的值的值,)(a b )( ，则 ，则 dtttfdxxfba)()()(6.3)(6.3)定积分的换元公式定积分的换元公式在在,ba 定理 6.4)(xf,ba 因为在区间上连续,所以它可积。设因为在区间上连续,所以它可积。设)(xF)(xf是的一个原函数，则由牛顿是的一个原函数，则由牛顿莱布尼兹公式，得莱布尼兹公式，得)()()()(aFbFabxFdxxfba 又由不定积分换元法知又由不定积分换元法知CtFdtttf )()()(于是于是)()()()()()()(aFbFFFtFdtttfba 证证2040,2,2txtdtdxtx 401xdx 计算 计算tx 用定积分换元法，令，则 用定积分换元法，令，则4020203ln24021ln21112121ttdttdtttxdx于是于是例6.18例6.18解解.18ln3ln dxextex1,12, )1ln(22dtttdxtx328ln3lntx32228ln3ln121dtttdxex 计算 令，则换限：于是 计算 令，则换限：于是 23ln22311ln2121112322 tttdtt例6.19例6.19解解1) 换元必须同时换限，而且新的积分变量的上下积分限要与原积分变量的上下限相对应；2） 用换元法计算定积分时，求出其原函数后直接代入新的积分限即可，不需要还原。1) 换元必须同时换限，而且新的积分变量的上下积分限要与原积分变量的上下限相对应；2） 用换元法计算定积分时，求出其原函数后直接代入新的积分限即可，不需要还原。.111 dxeexx111111)1ln()1(111xxxxxeededxee 计算 计算利用定积分换元法求定积分时，如果不换元则不换限，直接求出原函数算上下限的函数值做差。利用定积分换元法求定积分时，如果不换元则不换限，直接求出原函数算上下限的函数值做差。1)11ln()1ln(ee例6.20例6.20解解 观察观察【注】【注】 计算计算 adxxa022.)20(,sin ttax200 tax 如图，令，如图，令， 则有原式则有原式4cos22022atdta adxxaI022.222ayxI 即为圆即为圆41所围成的面积的应的几何意义所围成的面积的应的几何意义,不难看出，不难看出，Ox22xayya例6.21例6.21解解所对所对 是奇函数是偶函数是奇函数是偶函数)( 0)()(2)(0xfxfdxxfdxxfaaa)(xf,aa 设函数在对称区间上连续，求证： 设函数在对称区间上连续，求证： 根据定积分性质根据定积分性质 aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( 0)(adxxftx 对于积分，作变换，则有对于积分，作变换，则有 aaaadxxfdtfdttfdxxf0000)()()()( 把式代入式中，得把式代入式中，得例6.22例6.22证证 aaaaadxxfxfdxxfdxxfdxxf000)()()()()()(xf)()(xfxf 当是偶函数，即时，得当是偶函数，即时，得 aaaadxxfdxxfxfdxxf00)(2)()()()(xf)()(xfxf 当是奇函数，即时，得当是奇函数，即时，得 aaaadxxfxfdxxfxfdxxf000)()()()()(此结论常用。此结论常用。 3342251sindxxxxx 计算 计算42251sin)(xxxxxf3,3 因为为上的奇函数， 因为为上的奇函数， 01sin334225 dxxxxx所以所以dxxxxx 112211cos2111122211cos112dxxxxdxxxdxxxxx 112211cos2 计算 把原式一分为二得： 计算 把原式一分为二得：例6.23例6.23解解例6.24例6.24解解 因为其中第二部分的被积函数为奇函数，其值为零，所以只要计算第一部分积分即可，注意到第一部分被积函数为偶函数，故有 因为其中第二部分的被积函数为奇函数，其值为零，所以只要计算第一部分积分即可，注意到第一部分被积函数为偶函数，故有dxxxxx 112211cos2 1122112dxxx 1022114dxxx 10222114dxxxx10210144dxxdx4444 22231sindxxxdxxx 1121sin2计算下列积分计算下列积分(2) (1)(2) (1) 证明 证明babadxxbafdxxf.)()( 比较积分等式两端的被积函数 比较积分等式两端的被积函数 )(xf与与),(xbaf 可作如下的变量代换：可作如下的变量代换：, txba ,dtdx abtbax令 则于是令 则于是baabdttfdxxbaf)()(.)()(babadxxfdttf例6.25例6.25证证)(),(xvvxuu . ba 设函数在区间上具有连续导数，则 设函数在区间上具有连续导数，则( )( )( ) ( )( )( )bbaabu x dv xu x v xv x du xa(6.4)(6.4) 由不定积分的分部积分公式 由不定积分的分部积分公式,)()()()()()(dxxuxvxvxudxxvxu得得 babadxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()( babadxxuxvxvxu)()()()( 定理 6.5证证 badxuv babadxvuuv baudv babavduuv简记作或（6.4）式称为定积分的简记作或（6.4）式称为定积分的分部积分公式分部积分公式。 求定积分 . 求定积分 .1lnexdx1111lnln(1)1eeexdxxxxdxeex 计算 计算 30.arctanxdx 根据定积分的分部积分公式得根据定积分的分部积分公式得 30arctanxdx30arctanxx 30arctanxxddxxx 30213arctan3302)1ln(2133x 2ln33)4ln(2133例6.26例6.26解解例6.27例6.27解解 2020.cossindxxfdxxf2020cossinxdxxdxnn为奇数为偶数为奇数为偶数nnnnnnnnnn 1235431. 1 12343.212 证明（1）（2）（ 证明（1）（2）（ n为正整数 ）为正整数 ）)2cos(sinxx tx2 （1）根据三角函数关系：，令，则 （1）根据三角函数关系：，令，则 0220,txdtdx于是 于是 2002)(2sin()(sin dttfdxxf例6.28例6.28证证2020.)(cos)(cosdxxfdttfxxfnsin)(sin 2020cossinxdxxdxnn特别地，当时，特别地，当时，n正整数，有（2） 用定积分的分部积分法正整数，有（2） 用定积分的分部积分法xdxInn 20sin xdxxnsinsin201 xxdncossin201 2022201cossin)1(sincosxdxxnxxnnxdxxnn 2022sin)sin1()1( )1(sin)1(202 nxdxnn xdxn 20sin 把上式看作以为未知量的方程，解之,得把上式看作以为未知量的方程，解之,得.)1()1(2nnInIn nI21 nnInnI 称它为递推公式。连续使用上述递推公式，可导出如下结果：当 称它为递推公式。连续使用上述递推公式，可导出如下结果：当n为偶数时，有为偶数时，有02143231InnnnIn 2000sin xdxI 20 dx2 22143231 nnnnIn其中，代入上式中，得当其中，代入上式中，得当n为奇数时，有为奇数时，有. 13254231nnnnIn本例结果可直接引用，本例结果可直接引用，例如例如10. 8 . 6 . 4 . 29 .7 .5 .3 .12sin2010 xdx11. 9 .7 .5 .3.10. 8 . 6 . 4 . 21cos2011 xdx 请读者证明并使用下列结论：请读者证明并使用下列结论： 020sin2sinxdxxdxnn 为偶数为奇数为偶数为奇数nxdxnxdxxdxnnn sin4 0sinsin2020 在定积分这一章，推导和联想到了一系列特殊的定积分的结论，汇总于此，应熟练运用这些结论。 在定积分这一章，推导和联想到了一系列特殊的定积分的结论，汇总于此，应熟练运用这些结论。22221adxxaaa , ,)(0aaCxf设设 aaaxfxfxxfxxf奇函数偶函数奇函数偶函数)( 0)(d)(2d)(0（1） （2）（1） （2） 2020cossinxdxxdxnn（3）（3）20201325423122143231cossin 为奇数为偶数为奇数为偶数nnnnnnnnnnxdxxdxnn 020sin2sinxdxxdxnn 20sin40sin为偶数为奇数为偶数为奇数nxdxnxdxnn（4）（5）（6）（4）（5）（6）)()()(aFbFdxxfba 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。dtttfdxxfba)()()( badxuv babadxvuuv 定积分的换元积分法 定积分的换元积分法2 2 微积分基本公式 微积分基本公式3 3 1 1 定积分的分部积分法 定积分的分部积分法3 3 3 3指出求指出求 2221xxdx的解法中的错误,并写出正确的解法.的解法中的错误,并写出正确的解法. 解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec143
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