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刘春凤
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主讲教师： 第 4 章 中值定理与导数的应用中值定理中值定理洛必达法则洛必达法则函数的单调性与凹凸性函数的单调性与凹凸性函数的极值与最值函数的极值与最值*函数图形的描绘函数图形的描绘123 函数的极值及其判别条件函数的极值及其判别条件 求函数极值的步骤求函数极值的步骤 闭区间上连续函数最值的求法闭区间上连续函数最值的求法4 最值问题举例最值问题举例 2)(23xxxxfy)3 , 1()2749,31( 观察函数的图形1x31x2749)31(, 3) 1(ff1x31x)3 , 1()2749,31(, 3) 1(f2749)31(f1x31x当和时，曲线的最低点，但与和附近的函数值、分别是最高点和最低点。也就是说分别是当和值和最小值。为了描述这种点的性质，引进函数极值既不是曲线的最高点，也不是相比，附近的最大的概念。)(xf0xx ),(00xx),(),(0000xxxxx)()(0xfxf)(0xf)(xf0x)(xf),(),(0000xxxxx)()(0xfxf)(0xf)(xf0x)(xf 设函数在点的一个邻域内有定义，如果对任意，总有，则称为函数的极大值极大值，称为函数的极大值点极大值点；如果对任意总有，则称为函数的极小值极小值，称为函数的极小值点极小值点。oxyoxy定义定义4.51x31x极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点极值，极大值点与极小值点和函数的极大值点和极小值点。 统称为极值点。统称为极值点。如图4.11所示，分别为oxyab 1）极值是一个局部性的概念，在整个区间上极大值未必是最大值，极小值未必是最小值； 2）极大值未必大于极小值。 现在的问题是如何求函数的极值点，如何判定极值点是极大值点还是极小值点？为此我们先介绍极值点的必要条件。 【注】【注】 定理 4.70x)(xf0x)(xf)(0xf 0x)(0xf )(0xf)(0xf0)()(lim000xxxfxfxx)(0xf0)()(lim000xxxfxfxx)(0xf)(0xf)(0xf 0)(0 xf0x3( )f xx0x( )f x （极值点的必要条件）（极值点的必要条件）是函数值点，则必为函数若若不存在，则为一阶可疑点；若不妨设为极大值,则=又 =，所以，即注意到，是所以一阶可疑点未必是极值点。若的一阶可疑点，反之不然。存在，为驻点。的驻点，但不是极值点，的极证证 定理 4.8（极值的第一充分条件）（极值的第一充分条件）( )f x0x00,xx0x),(00xxx( )0fx),(00xxx( )0fx0()f x),(00xxx( )0fx ),(00xxx( )0fx 0()f x( )fx0x( )f x0x设函数在点的某邻域内连续,且在两侧可导。（1）如果当时，而当时则（2）如果当时，而当时则（3）如果在两侧不变号，则在 处无极值。为极大值。为极小值。),(00xxx( )0fx ),()(00xxxf0()( )f xf x),(00xxx( )0fx ),()(00xxxf0()( )f xf x0000,),(xxxxx0()( )f xf x0()f x( )f x( )fx0x( )f x0x0x（1）当时，则所以。当时，则所以，从而对任意总有，所以是（2）同理可证。（3）如果在两侧不变号，那么在的两侧均单调增加或单调减少，从而下图明示了该定理的内涵。的极大值。不是极值点。证证 （4）用一阶可疑点把定义域分开后列表判定。（）用一阶可疑点把定义域分开后列表判定。（1）求的定义域；）求的定义域；)(xf( )fx（2）求（）求（3）求一阶可疑点（）求一阶可疑点（5）求出极值）求出极值求函数25( )32f xx的极值,352( )25fxx ( )0fx 2x( )fx（1）定义域为（2）（3）无解，时（4）把所求得的信息列表如下：不存在x2 , 2)( xf( )f x(2)3f 为极大值 不存在+2例 例 4.18解解( )lnxf xeax21xa已知函数在处有极值，求的值1( )lnxfxeaxx1( )02f0)2ln2(21ae22ea 若处函数有极值，则应有，所以21x即当函数( )f x在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也 可以利用下列定理来判定( )f x在驻点处取得极大值还是极小值。例 例 4.19解解 定理 4.9（极值的第二充分条件）二阶导数（极值的第二充分条件）二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .(1)存在存在由第一判别法知由第一判别法知(2) 同理可证同理可证 .证证【注】【注】0)( 0xf0()0fx)(xf0x,)(,)(4241xxfxxf33)(xxf0x00()()0fxfx当，时，在大值，也可能有极小值，也可能没有极值。例如，这三个函数在处就分别属于这3种情况.因此，当时，定理4.9失效，需用定理4.8判定。处可能有极求函数的极值,( )0fx ( )66fxx 定义域为定义域为2( )369fxxx 令，得驻点令，得驻点11x32x，因，因 ( 1)120f 6) 1(f，所以为极大值，所以为极大值， (3)120f 26)3(f因，所以为极小值。因，所以为极小值。例 例 4.20解解某种糕点商生产某种糕点的收入函数)(xR与成本 )(xCxxR)(13)(xxxC函数分别是（千元），（千元）151 xx，的单位是百公斤.问他应生产多少公斤糕点才不赔钱？利润函数13)()()(xxxxCxRxP 0)(xP0)(xP只有当时才不赔钱，时会赚钱131)3()(xxxxxxxP9x9x9x当（百公斤）时才不赔钱；时，赔钱，时赚钱。例 例 4.21解解而2) 1(2)(xxxPmP它恒大于0.边际利润大于0 ,表明多生产可以提高总利润 （包含减少亏损的含义）,本题中,当900x公斤时,多生产可以减少亏损,因为这时的总利润小于零.直到900公斤 后，才能真正赚钱。 是接受能力的一种度量，通过研究一组学生的学习行为,心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力)依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：436 . 21 . 0)(2xxxG)(xGx其中是提出概念所用的时间（单位：min）。 例 例 4.22(a) x为何值时，学生接受能力增强或降低？(b) 第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？(c) 最难的概念应该在何时讲授？授吗？(d) 一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲6 . 22 . 0)( xxG(a)0)( xG令， 则13x。 13x0)( xG)(xG当时，单调上升； 13x0)( xG当时，单调下降。 )(xG解解13x(c) 在时取极大值，所以最难的概念应该在 )(xG提出问题后的第13分钟讲授。(d) 因为9 .59)13(G，这个概念需要55的接受能力，小 于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。13, 010x)(xG(b) ，单调上升，学生的兴趣在增长。)(xfy 0C,baba,设函数，且在内只有设函数，且在内只有 有限个一阶可疑点，则其最大值有限个一阶可疑点，则其最大值),(),(maxbfafM 可疑点值可疑点值 ),(),(minbfafm 可疑点值可疑点值 ( )f xba,【情形【情形4.4】连续函数在区间内单调，连续函数在区间内单调， 此时其最大值和最小值都在区间端点处取到。此时其最大值和最小值都在区间端点处取到。 ( )f xba,( )f xba,【情形【情形4.5】 若在内存在最值，且在内若在内存在最值，且在内 只有一个极值，则该极值必为最值。只有一个极值，则该极值必为最值。 定理 4.1032( )231214f xxxx4 , 3求函数在上的求函数在上的 最大值与最小值。最大值与最小值。 2( )6612fxxx( )0fx 21x12x令得驻点，令得驻点，( 3)23f ( 2)34f (1)7f(4)142f而而 ，所以最大值，所以最大值 max( 3),( 2),(1),(4)142Mffff最小值最小值 min( 3),( 2),(1),(4)7mffff例 例 4.23解解（5）求一阶可疑点）求一阶可疑点0x)(xfy （2）设未知量，列出函数表达式）设未知量，列出函数表达式解最值应用题的步骤：解最值应用题的步骤：（1）审题，寻找题目中的等量关系（）审题，寻找题目中的等量关系（3）根据实际意义写出定义域）根据实际意义写出定义域)(xf （4）求（一般只有一个）求（一般只有一个, 多的点应是不合题意的）多的点应是不合题意的）)(0xf（6）判定是最大值还是最小值）判定是最大值还是最小值oRr 图 4.16 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0和1，这个基本单元通常被称为如图所示：磁道上的定长弧段可作为基 比特(bit).为了保障磁盘的分辨率，磁道宽度必须大于 t，每比特所占的磁道长度不得小于 b，为了检索数据便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于 r与 RR之间的环形区域，试确定 ，使磁盘具有最大存储量。 r例 例 4.24)(rBrRtrRbr2)(22)(rRrrrRrBbtbt已知存储量磁道数每磁道的比特数，因为存储区是半径介于 与之间，故磁道数最多可达 由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到，所以，磁盘总存储量设磁盘总存储量为解解)(rB)( rB)2(2)( rRrBbt)2(2)( btrB0)( rB2Rr 0)2( RB2Rr )(rB2Rr 2Rr 42)(2maxRrBbt我们的问题是求的极值。为此先求令，解得 又，故在处，取得极大值。是惟一驻点，所以当有最大存储量。注意到时，磁盘具xyxy)(xfy rrxy )1 (Nx) 1(),1 (rNxrxy鱼群渔船一种可再生资源，若目前鱼群公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼公斤，反映与之间相互关系的曲线设鱼群的自然生长率为，一般可以认为但是由于自然资源的限制，当鱼群的数量过大时，其生长环境就会恶化，导致鱼群生长率降低。为此我们乘上一个修正因子，其中N是自然环境所能负荷的总数为群的总数变为称为再生产曲线，记为。的最大鱼群数量，于是鱼群的再生产曲线为例 例 4.25为保障鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞，问鱼群的数量控为多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？)(xg)()(xgxfyx)()(xgxfx2) 1()1 ()()(xNrxrxNxrxxxfxg)(xg02) 1()( xNrrxg设每年的捕获量为，则第二年的鱼群总量应为要限制鱼群总量保持在某一数值 ，则有所以 现在的问题是要求的极大值。令解解rNrx2) 1(002)( 0NrxgrNrx2) 1(00xrNrx2) 1(0Nrrxgg4) 1()(20max得驻点，且，说明是极大值点。注
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