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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
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主讲教师： 第 4 章 中值定理与导数应用 中值定理中值定理洛必达法则洛必达法则函数单调性和凹凸性函数单调性和凹凸性函数的极值与最值函数的极值与最值函数图形描绘函数图形描绘12 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 确定函数单调区间的步骤确定函数单调区间的步骤3 曲线的凹凸性及其判别法曲线的凹凸性及其判别法4 确定函数凹凸区间的步骤确定函数凹凸区间的步骤)(xfy ,bax0)( xfy)0)( (xfy如果函数在那么它的图形是一条沿曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即与导数的符号有着密切的联系。上单调增加（单调减少），轴正向上升（下降）的曲线。由此可见，函数的单调性xyoxyoabABabBA)(xfy ,ba),(ba设函数连续，在内可导。设函数连续，在内可导。),(bax0)( xf)(xfy ,ba（1）若时，有，则；）若时，有，则；0)( xf,ba（2）若。）若。),(bax时，有，则时，有，则)(xfy 反之，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面的定理给出了一个用导数的符号来判定函数单调性的方法： 在因为函数在因为函数 )(xfy ,ba),(ba连续，在内可导。在连续，在内可导。在,ba1x2x)(21xx 在上任取两点 ， ,应用拉格朗日中值定理得 )()()()(211212xxxxfxfxf 定理 4.5证证012 xx),(bax0)( xf0)( f0)( )()(1212xxfxfxf)()(21xfxf)(xfy ,ba),(bax0)( xf0)( f0)( )()(1212xxfxfxf)()(21xfxf)(xfy ,ba由于,且时,恒有,故于是，即，表明同理，若时，恒有，故于是，即，表明，证毕。，)( xf),(ba)(xfy ,ba)(xfy ,ba3)(xxf0)0( f03)( 2 xxf)(xfy),(注:(1)若除个别点等于零外，在区间为正（负），则仍有（或例如，但是 (2)该定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），结论依然成立。上处处）；若若0)(0 xf0x)(xf，则称是函数的一个，则称是函数的一个驻点驻点； 驻点和导数不存在的点统称为函数的驻点和导数不存在的点统称为函数的一阶可疑点一阶可疑点。)(xf0x)(xf0x)(xf 0x)(xf 0)(0 xf)(0xf 一个函数在其定义域内可能有多个单增区间和单减区间，我们要确定它们关键在于寻找增减区间的分界点。若为函数的增减区间分界点且在两侧存在，则在两侧必然异号，因而或定义定义4.1不存在. 导数等于零的点和导数不存在点划分函数定义域后，就可以使函数在各个部分区间上单调，因此确定函数单调区间的步骤如下：)(xf 求函数的定义域求函数的定义域 用一阶可疑点把定义域分开后列表判定用一阶可疑点把定义域分开后列表判定)(xf 求求 求一阶可疑点求一阶可疑点)(xf19323xxx求函数=的单调区间。0)( xf31x12x 定义域为)(xf 9632xx= 令 得驻点 把以上信息汇总列表如下：00(1,+)1(-3,1)-3(-,-3)x)(xf )(xf),(例例4.13解解)(xf32) 1(xx 求函数的单调区间 定义域为)(xf332-5xx 0)( xf1x520x 令 得驻点；又时导数不存在 把所求信息汇总列表如下：x)0 ,(0)52, 0(52),52()(xf )(xf0不存在),(例例4.14解解)(xf )(xfy )(xf0x3)(xxf0x3)(xxf1）用可疑点把定义域分开后，可保证部分区间内保持固定符号，从而可用部分区间内某点 导数值符号确定此区间导数符号。的增减区间分界点必为疑点，反之不然。是函数的驻点，但不是函数的增减区间分界点。在各个2）函数的一阶可例如 【注】【注】 函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降。但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题。例如，图中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著的不同，左边的曲线是向上凹的曲线弧，右边的曲线是向上凸的曲线弧，它们的凹凸性不同，下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法。 xyo)(xfy xyoabABabBA)(xfy 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹凹的(2) 若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .图形是凸凸的（或凹弧），记作：Ixf)(； （或凸弧），记作：Ixf)(。 定义定义4.2xx),(ba)( xf)( xf)( xf观察图4.6可以看出,在凹弧上,曲线各点切线斜率随的增加而增加，在凸弧上，曲线各点的切线斜率随的增加而减少，如果在区间内是凹弧时，递增，而当曲线是凸弧时，据此下面的函数凹凸性判别法就不难理解了。存在，则当曲线递减，)(xfy 0C,ba设函数，在 ),(ba二阶导数， 内具有),(bax 0)( xf)(xfy ,ba（1）若时，有，则； ),(bax 0)( xf)(xfy,ba（2）若时，有，则。 定理 4.6)(xfy 0x)(xfy )(,(00xfx)(,(00xfx)(xf 0)( xf)(xf 设在区间I上连续， 是 I 的内点，如果曲线在经过性改变了，则称显然拐点是曲线上凹凸区间的分界点，所以在拐点必然异号，因而在拐点处或不存在。用二阶导数等于零的点和二阶导数不存时，曲线的凹凸为曲线的拐点。拐点。左右邻近在点划分函数定义域后，就可确定曲线的凹凸区间和拐点。函数)(xf的二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点统称为)(xf的二阶可疑点二阶可疑点。定义定义4.3定义定义4.4)(xf 求函数的定义域 )(xf 求的二阶可疑点 )(xf 求的二阶可疑点把 用)(xf)(xf的定义域分开后列表判定求曲线)1ln(2xy的凹凸区间和拐点212xxy222)1 ()1 (2xxy ),( 定义域为0 y1x 令得 把所求信息汇总列表如下：xy _y)2ln, 1()2ln, 1 (拐点拐点拐点拐点_)1,( 1 )1 , 1( 1), 1( 例例4.15解解求曲线31)2( xy的凹凸区间和拐点32)2(31xy35)2(92 xy),( 定义域为 把所求信息汇总列表如下：0 y2xy 无解，时不存在，x), 2( y _y)0 , 2(拐点拐点2)2 ,(+不存在不存在例例4.16解解因此称 为“议会函数”。在一次美国总统选举后,把当选总统所得公众选 举票数的百分比记作p，记) 10()1 ()(333pppppH这个函数有着有趣的性质（称为立方律），)(pH的值可用来逼近当选总统所在党获得众议院议席的百分比，)(pH例如1939年，民主党候选人富兰克林罗斯福赢得了公众61的选票，从而当选总统。在这次选举中，议会函数79. 0)61. 0(H，即估计民主党 例例4.17将占众议院议席的79。在实际选举中，民主党赢得333个议席，共和党赢得89个席位，即民主党占78.9。 求)(pH的一阶、二阶导数，分析凹凸性。333)1 ()(ppppH，如图示fx_:=(x3)/(x3+(1-x)3)Plotfx,x,0,1解解22322) 133()36(3) 133(pppppppdpdH22222222) 133() 1(3) 133(3) 12(ppppppppp3222) 133() 12)(1(6pppppdpHd022dpHd210 p当时， ，即在)21, 0(上是凹的。 121 p022dpHd)1 ,21(而当时，即在上是凸的。 0dp
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