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- 关 键 词：
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应用
微积分
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教材
教学
课件
刘春凤
- 资源描述：
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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第 4 章,主讲教师,中值定理与导数的应用,第 4 章 中值定理与导数应用,中值定理,洛必达法则,函数单调性和凹凸性,函数的极值与最值,函数图形描绘,4.1 中值定理,1,2,罗尔定理,拉格朗日中值定理,满足下列条件,1) 在区间 a , b 上连续,2) 在区间 (a , b) 内可导,3) f ( a ) = f ( b,使,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m,若 M = m , 则,因此,设函数,证,下面证明,由于,是最大值,所以对,恒有,由,的存在及极限的保号性可知,因此,不妨设,即,使,若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,如果连续光滑曲线,的两个端点,和,等高，则在,上必有一点,曲线在,点的切线平行于,轴。（如图,已知函数,在区间,罗尔定理的条件，求定理结论中的,令,解得,取,即可,满足,验证罗尔定理对函数,在区间,上的正确性,是初等函数 且在,上有定义,解,解,由初等函数连续性可知,在,上连续，又,在,内存在，且,所以,在,上满足罗尔定理条件,得,取,则,显然,罗尔定理条件的,存在,令,说明满足,不求函数,的导数,说明,有几个实根,因为,又,因而至少存在,使得,即 至少有4个实根,解,设,有,个实根,问,有几个实根,有几个实根,有几个实根,1）求证方程,恰有三个实根,2）证明:若,则方程,有惟一实根,满足下列条件,1) 在区间 a , b 上连续,2) 在区间 (a , b) 内可导,使得,设函数,为找到拉格朗日定理的证明方法，我们不妨先观察该定理的几何意义,连接曲线,的两个端点,和,则弦AB的斜率等于,把拉格朗日定理的结论,改写为,此式表明，在开区间,内至少有一点,使得,在点,处的切线与弦AB平行,如图4.2所示,而弦AB方程为,比较罗尔定理和拉格朗日定理的条件，区别在于,是否等于,如果能消除这个差别就可以借助,和弦AB在,区间的两个端点处的高度相等,罗尔定理证明拉格朗日定理了.注意到,我们构造辅助函数,则有,而且,在,上满足罗尔定理,条件,分析,构造辅助函数,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的,则,在,上连续，在,上可导，且,由罗尔定理,使,即,所以,证毕,证,增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,1）从几何意义上看，构造辅助函数,是使得,有水平切线,被称为拉格朗日公式，式中,可写成,于是公式可写为等价形式,的目的,2,注,3）拉格朗日定理被称为微分中值定理，该定理应用广泛，在微分学中占有重要地位，它的重要性就在于它把导数与函数值的差用等号连接，为用导数研究函数问题提供了一个等量关系,4）在拉格朗日定理中，若,结论相应地变成,定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日定理的,这正是罗尔定理的结论，可见拉格朗日中值,特殊情形,已知,在,上满足拉格朗日中值定理条件,则定理结论中的,因为,令,解得,取,即为所求,解,如果函数,在区间,内任意一点的导数,都等于0，则函数,在,内是一个常数,使得,又,则,所以,在区间,推论4.1常被应用于证明恒等式,因为,在,内可导,所以,在,上连续,在,证,上可导，由拉格朗日中值定理,注,由推论可知,常数,令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立,欲证,时,只需证在 I 上,证,证明,经验,自证,证明对,有,证明对,有,如果函数,与,在区间,内每一点的导数,与,都相等，则这两个函数在区间,相差一个常数,由推论4.1可知,该结论常用来证明两个函数相等,内至多,因为,证,注,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,2. 微分中值定理的应用,1) 证明恒等式,2) 证明有关中值问题的结论,关键: 利用逆向思维 设辅助函数,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,上,方程,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示,由结论可知, 只需证,即,
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