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积分
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应用
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刘春凤
- 资源描述：
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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主讲教师： 第5章 不定积分不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质换元积分换元积分分部积分分部积分几种特殊函数的积分几种特殊函数的积分积分表的使用方法积分表的使用方法原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 1 不定积分的性质不定积分的性质 2不定积分的几何意义不定积分的几何意义 3不定积分基本公式不定积分基本公式4( )f x( )( )Fxf x 已知函数已知函数 在某区间在某区间I上有定义，若上有定义，若 若存在可导函数若存在可导函数F(x) ,使得对于使得对于I内任意一点内任意一点x满足满足 ( )( )dF xf x dx 或例如，在区间或例如，在区间 有有 (,) 32()3xx ，因此在区间，因此在区间 (,) 内内 3x是是 23x的一个原函数。的一个原函数。 (sin )cosxx 例如，在区间例如，在区间 有有 (,) ，因此在区间，因此在区间 (,) 内内 sin x是是 cos x的一个原函数。的一个原函数。 定义定义5.1则称则称F(x)是是f (x)在在I上的一个原函数上的一个原函数.(2) 若一个函数存在原函数，一共有多少？(3) 若原函数不唯一，它们之间有什么联系？(1) 一个函数在什么条件下存在原函数？简言之：连续函数一定有原函数(2) 若一个函数存在原函数，一共有多少？(3) 若原函数不唯一，它们之间有什么联系？(1) 一个函数在什么条件下存在原函数？简言之：连续函数一定有原函数.问题问题原函数存在定理：原函数存在定理：若函数若函数0( )f xC I ，那么，那么f (x)在在I上存在可导函数上存在可导函数( )F x，使得，使得( )( )Fxf x 定理 5.1关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意数 ，（1）若 ，则对于任意数 ，)()(xfxF CCxF )(都是都是)(xf的原函数的原函数.（2）若 和 都是 的原函数，（2）若 和 都是 的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（ 为任意常数）（ 为任意常数）C证明证明)()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）（ 为任意常数）C任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量不定积分的定义：不定积分的定义：定义5.2 定义5.2 若在区间若在区间I内有的带有任意常数项的原函数称为内有的带有任意常数项的原函数称为f (x)在区间在区间I上的不定积分，记为上的不定积分，记为 ( )( )Fxf x ，则，则( )f x( )f x dx .cos dxx ,cos)(sinxx 因为因为x 0 时0 时.1 dxx,1)(lnxx.sincosCxdxx 类似地类似地.cossinCxdxx .ln1 Cxdxx又当又当x 0 时0 时,1)ln(xx.)ln(1 Cxdxx.ln1 Cxdxx例例1例例2解解解解求求求求.112dxx,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx类似地类似地.cot112 Cxarcdxx.arcsin112 Cxdxx.arccos112 Cxdxx例例3解解求求)()(xfdxxf dxxfdxxfd)()( C)()( xFdxxF C)()(xFxdF求不定积分与求导数互为逆运算求不定积分与求导数互为逆运算, 即或即或 (2) 或或 (1) 被积函数前的非零常数可以移到积分号外面被积函数前的非零常数可以移到积分号外面, .)()( dxxfkdxxkf（k是常数，是常数，)0 k 性质5.15.1性质5.25.2即即 dxxgxf)()(;)()( dxxgdxxf 两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分的代数和两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分的代数和, 即即 证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）性质5.35.3的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.的的积分曲线积分曲线 . )(xfy 34)( xxfyCxdxxxf 434)(6)1( f5 C5)(4 xxf 已知平面曲线在其上任意点处的切线斜率等于该点的横坐标的立方的 已知平面曲线在其上任意点处的切线斜率等于该点的横坐标的立方的4倍,并通过点(1,6),求该曲线的方程。则由题可知于是 又因为,代入上式得所以即为所求。设所求曲线的方程为倍,并通过点(1,6),求该曲线的方程。则由题可知于是 又因为,代入上式得所以即为所求。设所求曲线的方程为例例4解解( k 为常数)或或原式原式 =求积分求积分原式原式=求积分求积分例例5例例6解解解解原式原式求积分求积分解解例例7.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 求积分求积分解解例例8求积分求积分.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx1112.lnarctanCxx解解例例9原式=原式=求积分求积分解解例例10.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxdxx 22111.arctan1Cxx求积分求积分解解例例11已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的切线斜率为处的切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交点为轴的交点为)5 , 0(，求此曲线的方程.，求此曲线的方程. ,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy解解例例12原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义1不定积分的性质不定积分的性质2不定积分的几何意义不定积分的几何意义3基本积分公式基本积分公式4积分恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式积分恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,1. 求下列不定积分：求下列不定积分： dxx1)1(dxxx 42)2( dxxx21)3(dxxx )4( ghdh2)5( dxx22)1()6( xxdx)7(dxxx)1)(1()8(3 dxxxx )11()9(2 dxxx11)10( dxxx221)11( dxaxaaax)()12()1,0( aadxxxx 1133)13(224 dxxxx)sec(tantan)14( dxexx3)15( dxxx22cossin2)16( dxxxxcossin2cos)17( xdxsin1)18(211
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