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积分
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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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主讲教师： 2第 6 章 定积分及其应用定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的计算定积分的计算定积分的应用定积分的应用3定积分问题举例定积分问题举例1定积分的定义定积分的定义 2定积分的几何意义定积分的几何意义3定积分的性质定积分的性质 积分中值定理积分中值定理44实例1实例1 （曲边梯形的面积问题）求其面积（曲边梯形的面积问题）求其面积 A .矩形面积矩形面积ahha ahb梯形面积梯形面积)(2bahyaAcbxB)(xfy 设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线)0)()( xfxfy，轴及，轴及 x以及两直线以及两直线bxax ,围成围成 ,所所5用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyoabxyo显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）6观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放播放播放7观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系8观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系9观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系10观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系11观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系12观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系13观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系14观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系15观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系16观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系17观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系18观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系19观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系20观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系21观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系22解决步骤 解决步骤 1) 分割分割. 在区间在区间 a , b 中任意插入中任意插入 n 1 个分点个分点bxxxxxann 1210,1iiixx 用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2) 近似代替近似代替. 在第在第i 个窄曲边梯形上任取作以个窄曲边梯形上任取作以,1iixx 为底为底 ,)(if 为高的小矩形为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA 得得yAxxixi+1By)(xfy 233) 求和求和. niiAA1 niiixf1)( 4) 取极限取极限. 令令, max1inix 则曲边梯形面积则曲边梯形面积 niiAA10lim niiixf10)(lim )()(1 iiiiiixxxxfA ),2,1,ni 24实例2实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度 设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间间隔是时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程.，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值251）分割1）分割212101TtttttTnn 1 iiittt3）求和3）求和iinitvs )(1 4）取极限4）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值, ,1iiitt 任取任取2）近似代替2）近似代替,)(代替变速以代替变速以iv 得得iiitvs )( ), 2,1(ni 解决步骤 解决步骤 26即即 baxxfd)(iniixf 10)(lim 在区在区,)(上定义在设函数上定义在设函数baxf的若对的若对,ba任一种分法任一种分法,210bxxxxan ,1 iiixxx令令任取任取, ,1 iiixx ,0max1时只要时只要 inix iniixf 1)( 总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I , 则称此极限则称此极限 I 为函数为函数)(xf,ba上的定积分上的定积分, baxxfd)(记作间记作间定义定义6.127 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和此时称此时称 在在 上可积上可积 .,ba)(xf28(1) (1) 函数在区间上可积,要求区间有限.函数在这区间内是有界的.函数在区间上可积,要求区间有限.函数在这区间内是有界的.【注注】虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.bababaduufdttfdxxf)()()(2)(2) 定义中对小区间的划分和选点是任意的 定义中对小区间的划分和选点是任意的.(3) (3) 定积分和积分变量的字母的选取无关.例如定积分和积分变量的字母的选取无关.例如29(4) (4) 定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的 划分和选点无关. 划分和选点无关. badxxfA)(由积分定义,可知以由积分定义,可知以 上连续曲线 为曲边的曲边梯形的面积上连续曲线 为曲边的曲边梯形的面积0)( xfy,ba30 利用定义计算定积分 利用定义计算定积分xexf )(nxniii1,1 niief1)( 1)(12101nnnniniineeeenxfs nnneen111)(11 11)1(11nene.10 dxex为方便计，将区间 为方便计，将区间 n 等分，等分，1 , 0在在 上连续，故 上连续，故 在在 上可积上可积)(xf1 , 01 , 0左侧取点左侧取点例6.1例6.1解解31nn0,1111111)1(limlim eenesnnnn 于是有于是有edxex1110 32曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba 各部分面积的代数和各部分面积的代数和, 0)( xf baAdxxf)(, 0)( xf baAdxxf)(33dxx 1021 4 利用定义几何意义计算定积分 利用定义几何意义计算定积分.1 102dxx 定积分 表示曲线 与直线 定积分 表示曲线 与直线dxx 1021 21xy1, 0 xx及及x轴围成的图形面积，该图形是圆心在原点，半径为1的四分之一圆,其面积为轴围成的图形面积，该图形是圆心在原点，半径为1的四分之一圆,其面积为4 xy例6.2例6.2解解34(设所列定积分都存在)(设所列定积分都存在) （线性）线性组合的定积分等于定积分的线性组合,即存在 （线性）线性组合的定积分等于定积分的线性组合,即存在ki (i = 1,2.n)为常数,使得 为常数,使得 bannbabanndxxfkdxxfkdxxfkxfk)(.)()(.)(1111性质的好处是把较复杂的积分变成几个简单的积分.性质的好处是把较复杂的积分变成几个简单的积分. （可加性）（可加性）bccabadxxfdxxfdxxf)()()(c点可在点可在a,b的区间内的区间内,也可在区间外也可在区间外.性质6.16.1性质6.26.2【注】【注】【注】【注】35 （单位性） 如果在 （单位性） 如果在 上 ,则上 ,则其几何意义是高为1的矩形面积等于底边乘高.其几何意义是高为1的矩形面积等于底边乘高.如如 cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf则则,ba1)( xfabdxba 1ababxdxniiba)(lim1lim1010性质6.36.3【注】【注】36则则0)( dxxfba. . )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf， dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ， 性质6.46.4性质6.56.5推论6.16.137 (可估性) 设 (可估性) 设M与与m分别是分别是f ( x )在区间在区间a,b是的最大值与最小值,则是的最大值与最小值,则)(),()()(baabMdxxfabmba 该性质可用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在该区间中的最大值该性质可用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在该区间中的最大值M和最小值和最小值m. .性质6.66.638如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续， 则在积分区间则在积分区间,ba上至少存在一个点 上至少存在一个点 ，使，使 dxxfba )()(abf . . )(ba -定积分中值定理-定积分中值定理积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f几何意义:几何意义:是曲边梯形的面积等于以 为底边, 为高的矩形面积是曲边梯形的面积等于以 为底边, 为高的矩形面积)(ab )( f性质6.76.739由性质6.5，得由性质6.5，得 比较下列各对积分值的大小。 比较下列各对积分值的大小。 103dxx 103dxx 10 xdx 10)1ln(dxx1 , 033xx 103103dxxdxx(1) 与 (2) 与 (1) 因为在上，(1) 与 (2) 与 (1) 因为在上，)1ln()(xxxf 1 , 001111)(xxxxf1 , 0)( xf0)0( f0 x (2) 令, 在区间上，所以，又，当时， (2) 令, 在区间上，所以，又，当时，例6.3例6.3解解400)0()( fxf0)1ln( xx)1ln(xx 1010)1ln(dxxxdx即从而由性质6.5，得即从而由性质6.5，得41 112dxex2)(xexf 1 , 1 0)( xf0 xeefef1)1(, 1)0(10 0 x1 xem1 1 M22112 dxeex 估计定积分的值。在区间上的最大值和最小值。，得驻点，因为比较驻点，区间端点得最小值，最大值根据估值定理得 先求令的函数值, 估计定积分的值。在区间上的最大值和最小值。，得驻点，因为比较驻点，区间端点得最小值，最大值根据估值定理得 先求令的函数值,例6.4例6.4解解42. 0sinlim1 nnndxxx n1 nxxxfsin)( 1, nn1, nn sinsin1 nndxxx. 0sinlimsinlim1 nnndxxx证明 因为，不妨设，则在由积分中值定理知，使所以上连续，证明 因为，不妨设，则在由积分中值定理知，使所以上连续，例6.5例6.5证证43（注意估值性质、积分中值定理的应用）（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（注意估值性质、积分中值定理的应用）（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小典型问题典型问题 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 性 质2 2 定 积 分 的 定 义 定 积 分 的 定 义3 3
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