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积分
- 关 键 词：
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应用
微积分
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教材
教学
课件
刘春凤
- 资源描述：
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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无穷级数,第 8 章,主讲教师,第 8 章 无穷级数,级数的概念与性质,常数项级数审敛法,幂级数,8.3 幂级数,1,2,3,函数项级数,幂级数及其收敛性,幂级数的运算,设,为定义在区间 I 上的函数项级数,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ，记作,若常数项级数,为定义在区间 I 上的,收敛,发散,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 ，记作,函数, 称,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,如果级数 收敛, 其和S依赖于x，即是x 的,称,函数,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,有和函数,例如,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,为幂级数的系数,的情形, 即,称,幂级数在x=0总是收敛的，即一切幂级数的收敛域都包含原点,注,收敛,发散,Abel定理,若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散,时该幂级数发散,则对满足不等式,设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,证,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛,也收敛,反之, 若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真,的 x , 原幂级数也发散,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,3）存在 幂级数在 (R , R ) 收敛,R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域,R 称为收敛半径,在R , R,可能收敛也可能发散,外发散,在,R , R ) 称为收敛区间,若,的系数满足,1) 若 0,则根据比值审敛法可知,当,原级数收敛,当,原级数发散,即,时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即,时,则,证,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,据此定理,因此级数的收敛半径,的收敛半径R,求幂级数,的收敛半径及收敛域,求幂级数,解,解,的收敛半径为R，请思考下列,级数的收敛半径是多少,的收敛半径及收敛域,求幂级数,在端点x=-1处，级数为,在端点x=1处，级数为,收敛,发散,所以，收敛域为（-1，1,解,的收敛半径,级数缺少偶次幂项,不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径,时级数绝对收敛,故直接由,求幂级数,当,当考虑端点处的敛散性。当,当,时。级数变为,级数发散,解,故收敛半径为,收敛域为,当,时。级数变为,显然也发散,求级数 的收敛区间,则该级数的收敛半径,收敛,发散,解,设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有,和函数,若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变,注,两边积分得,解,求级数,的和函数,易求出幂级数的收敛半径为 1,及,收敛,解,幂级数逐项求导或逐项积分后，收敛半径和,收敛域是否发生变化,答案】收敛半径不变，收敛域有可能发生变化,解 答,它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域分别是,例如,1. 幂级数
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